高考数学活题的巧解方法

高考数学活题的巧解方法一、代入法若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x,y)而运动，而Q点的轨迹方程已知（也 0 0可能易于求得）且可建立关系式xf(x)，yg(x)，于是将这个Q点的坐标 0 0表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得P点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线C：yx2与直线l：xy20交于两点A(x,y)和B(x,y)，且xx，记曲线C在点A和点B之间那一段L与 A A B B A B线段AB所围成的平面区域（含边界）为D.设点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合.若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；15【巧解】联立yx2与yx2得x1,x2，则AB中点Q(,)， A B 225s t设线段PQ的中点M坐标为(x,y)，则x2 ,y2 ，25即s2x,t2y，又点P在曲线C上，2 5 1 11∴2y(2x)2化简可得yx2x，又点P是L上的任一点， 2 2 81 5且不与点A和点B重合，则12x2，即x，4 4 11 1 5∴中点M的轨迹方程为yx2x（x）. 8 4 4【例2】（2008年，江西卷）设P(x,y)在直线xm(ym,0m1)上，过0点P作双曲线x2y21的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点M(1,0)。过m点A作直线xy0的垂线，垂足为N，试求AMN的重心G所在的曲线方程。【巧解】设A(x,y),B(x,y)，由已知得到yy0，且x2y21，x2y21，1 2 2 12 1 1 2 2（1）垂线AN的方程为：yyxx， 1 1 yyxx xyxy 由1 1得垂足N(1 1,1 1)，设重心G(x,y) xy0 2 2 3 x(x1 1 x9x3ym 1 1xy ) 31m 2 1 4 所以 解得 y1(y0x1y1) 9y3x1 31 2 y m 1 4 1 1由x2y21可得(3x3y)(3x3y)2 1 1 m m 1 2即(x)2y2为重心G所在曲线方程 3m 9巧练一：（2005年，江西卷）如图，设抛物线C:yx2的焦点为F，动点P在直线l:xy20上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.，求△APB的重心G的轨迹方程.巧练二：（2006年，全国I卷）在平面直角坐标系xOy中，有一个以F(0,3)和1F(0,3)为焦点、离心率为3的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动22点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量OMOAOB，求点M的轨迹方程二、直接法直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。从近几年全国各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用的是此法。但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进行分析、验证，或在选项中取值带入题设计算，验证、筛选而迅速确定答案。x2y2【例1】（2009年高考全国II卷）已知双曲线C:1(a0,b0)的右焦a2b2点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点。若AF率为（）6（A）57（B）58（C）59（D）54FB，则C的离心【巧解】设A(x,y)， 1 1(cx,y)4(xc,y) 1 1 2 2∴y4y，设过F点斜率为2 y xc由3 消去xb2x2a2y2a2b20 6b2cyyB(x,y)，F(c,0)，由AF4FB2y3的直线方程为xc，3 b2 2b2c3得：(a2)y2yb40，33 6b2c3y，得∴1 2 3(b23a2)，将y4y代入得2 3(b23a2)化简yy3b4 1 2 4y23b4 12b23a2 2b23a2得 2b2cy23(b23a2)，∴ 4b4c2 3b4 ，y23b4 3(b23a2)2 4(b23a2)2 4(b23a2) 36 6化简得：16c29(3a2b2)9(3a2c2a2)，∴25c236a2，e2，即e。 25 5故本题选（A）（A）13（B）213（C）22（D）13【例2】（2008年，四川卷）设定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)13，若f(1)2，则f(99)（）【巧解】f(x) f(x) f(x2) 13f(x)∴函数f(x)为周期函数，且Tf(1)2故选（C）1巧练一：（2008年，湖北卷）若f(x)x2bln(x2)在(1,)上是减函数，2则b的取值范围是（）A．[1,) B．(1,) C．(,1] D．(,1)巧练二：（2008年，湖南卷）长方体ABCD—ABCD的8个顶点在同一个球面上，111且AB=2，AD=3，AA=1，则顶点A、B间的球面距离是（）1 2 2A．22 B．2 C． D．4三、定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解题。选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查，凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和第二定义解题，是一种重要的解题策略。【例1】（2009年高考福建卷，理13）过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为450的直线交抛物线于A、B两点，线段AB的长为8，则p． ppyx【巧解】依题意直线AB的方程为yx，由 2消去y得： 2 y22pxp2x23px0，设A(x,y)，B(x,y)，∴xx3p，根据抛物线的定义。4 1 1 2 2 1 2p|BF|x，|AF22故本题应填2。p|x，∴|AB|xxp4p8，∴p2，12 1 25【例2】（2008年，山东卷，理10）设椭圆C的离心率为，焦点在x轴上且13长轴长为26.若曲线C上的点到椭圆C的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，1则曲线C的标准方程为（）2x2y2（A）14232 x2 y2（B）113252x2y2（C）13242 x2 y2（D） 1132122【巧解】由题意椭圆的半焦距为c5，双曲线C上的点P满足2||PF||PF||8|FF|,∴点P的轨迹是双曲线，其中c5，a4，∴b3，1 2 12x2y2故双曲线方程为1，∴选（A）4232x2y2巧练一：（2008年，陕西卷）双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别是a2b2F，F，过F作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF垂直于x轴，121 2则双曲线的离心率为（）A．6 B．3 C．2 D．333巧练二：（2008年，辽宁卷）已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）179（A） （B）3 （C）5 （D）22四、向量坐标法向量坐标法是一种重要的数学思想方法，通过坐标化，把长度之间的关系转化成坐标之间的关系，使问题易于解决，并从一定程度上揭示了问题的数学本质。在解题实践中若能做到多用、巧用和活用，则可源源不断地开发出自己的解题智慧，必能收到事半功倍的效果。【例1】（2008年，广东卷）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC=a，BD=b，则AF=（）1 1 2 1 1 1 1 2A．a+bB．a+bC．a+bD．a+bAxyAxyOBDCE【巧解】如图所示，选取边长为2的正方形ABCD3则B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，O(1,1)，E(,)，2 y3x 2∴直线AE的方程为y3x，联立 得F(,2)y2 32∴AF(,2)，设AFxACyBD，则AFx(2,2)y(2,2)(2x2y,2x2y)32x2y2 2 1 212 1∴ 3解之得x，yAFACBDab，故本题2x2y2 33 3 3 3选B【例2】已知点O为ABC内一点，且OA2OB3OC0，则AOB、AOC、 BOC的面积之比等于 （）A．9：4：1 B．1：4：9 C．3：2：1 D．1：2：3ABCxyO【巧解】不妨设ABCxyOABBC3，建立如图所示的直角坐标系，则点B(0,0)A(0,3)，C(3,0)，设O(x,y)，∵OA2OB3OC0，即(x,3y)2(x,y)3(3x,y)(0,0)6x9 3 1 31∴ 解之得x，y，即O(,)，又直线AC的方程为xy30，6y3 2 2 2231|3|则点O到直线AC的距离h22 2，∵|AC|32，因此 1212 2S |AB||x|，S |BC||y|，S |AC|h，故选AOB 2 4 BOC 2 4 AOC 2 2C巧练一：（2008年，湖南卷）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点， 1 9 1 3 1 3且DC2BD,CE2EA,AF2FB,则ADBECF与BC（）A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直巧练二：设O是ABC内部一点，且OAOC2OB，则AOB与AOC面积之比是.五、查字典法查字典是大家比较熟悉的，我们用类似“查字典”的方法来解决数字排列问题中数字比较大小的问题，避免了用分类讨论法时容易犯的重复和遗漏的错误，给人以“神来之法”的味道。利用“查字典法”解决数字比较大小的排列问题的思路是“按位逐步讨论法”（从最高位到个位），查首位时只考虑首位应满足题目条件的情况；查前“2”位时只考虑前“２”位中第“2”个数应满足条件的情况；依次逐步讨论，但解题中既要注意数字不能重复，又要有充分的理论准备，如奇、偶问题，3的倍数和5的倍数的特征，0的特性等等。以免考虑不全而出错。【例1】（2007年，四川卷）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）（A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个【巧解】本题只需查首位，可分3种情况，①个位为0，即0型，首位是2，3，4，5中的任一个，此时个数为A1A3；②个位为2，即2，此44种情况考虑到万位上不为0，则万位上只能排3，4，5，所以个数为A1A3；34③个位为4，4型，此种特点考虑到万位上不为0，则万位上只能排2，3，5，所以个数为A1A3；故共有A1A32A1A3240个。故选（B） 34 44 34【例2】（2004年全国II卷）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（） A．56个 B．57个 C．58个 D．60个【巧解】（1）查首位：只考虑首位大于2小于4的数，仅有1种情况：即3型，此特点只需其它数进行全排列即可。有A4种，4查前２位：只考虑前“２”位中比３既大又小的数，有4种情况：24，25，41，42型，而每种情况均有A3种满足条件，故共3有4A3种。3查前３位：只考虑前“3”位中既比１大又小于5的数，有4种情况：234，235，431，432型，而每种情况均有A2种满足条件，故共2有4A2种。2（3）查前4位：只考虑前“4”位中既比4大又小于2的数，此种情况只有23154和43512两种情况满足条件。故共有A44A34A2258个，故选C 4 3 2巧练一：用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且不大于4310的四位偶数共有（） A．110种 B．109种 C．108种 D．107种巧练二：（2007年，四川卷）用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且20000大的五位偶数共有（）（A）48个 （B）36个 （C）24个 （D）18个六、挡板模型法挡板模型法是在解决排列组合应用问题中，对一些不易理解且复杂的排列组合问题，当元素相同时，可以通过设计一个挡板模型巧妙解决，否则，如果分类讨论，往往费时费力，同时也难以解决问题。【例1】体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有 （）A．8种 B．10种 C．12种 D．16种【巧解】先在2号盒子里放1个小球，在3号盒子里放2个小球，余下的6个小球排成一排为：OOOOOO ，只需在6个小球的5个空位之间插入2块挡板，如：OO|OO|OO，每一种插法对应着一种放法，故共有不同的放法为C210种.故5选B【例2】两个实数集Aa,a,,a，Bb,b,b，若从A到B的映射f使 1 2 50 12 25得B中每个元素都有原象，且fafafa，则这样的映射共 1 2 50有（）个A．A24 B．C24 C．C25 D．A25 50 49 50 49【巧解】不妨设A和B两个集合中的数都是从小到大排列，将集合A的50个数视为50个相同的小球排成一排为：OOOOOOOOO，然后在50个小球的49个空位中插入24块木板，每一种插法对应着一种满足条件fafafa对应方法，故共有不同映射共有C24种.故选B 1 2 50 49巧练一：两个实数集合A={a,a,a,…,a}与B={b,b,b,…,b}，若从A1 2 3 15 1 2 3 10到B的是映射f使B中的每一个元素都有原象，且ff(a)<f(a)<…<f(a),则这样的映射共有 10 11 15 （）A．C5个 B．C4个 C．1015个 D．510A10 10 9 15巧练二：10个完全相同的小球放在标有1、2、3、4号的四个不同盒子里，使每个盒子都不空的放法有（）种A．24 B．84 C．120 D．96七、等差中项法等差中项法是根据题目的题设条件（或隐含）的特征，联想到等差数列中的等差中项，构造等差中项，从而可使问题得到快速解决，从而使解题过程变得简捷流畅，令人赏心悦目。【例1】（2008年，浙江卷）已知a0,b0,且ab2，则（） 1 1（A）ab （B）ab （C）a2b22（D）a2b23 2 2【巧解】根据ab2特征，可得a,1,b成等差数列，1为a与b的等差中项。可设a1x，b1x，其中1x1；则ab1x2，a2b222x2，又0x21，故0ab1，2a2b24，由选项知应选（C）【例2】（2008年，重庆卷）已知函数y1xx3的最大值为M,最小值为m23m,则的值为（）23M 1 1（A） （B） （C） （D） 4 2 2 2y【巧解】由y1xx3可得，为1x与x3的等差中项，2 y y y令1xt，x3t，其中|t|， 2 2 2 y y y2 y则(t)2(t)21xx34，即t22，又|t|，则 2 2 4 2 y2 y2y20t2，故02，解之得2y22，即M22，m2∴22∴22222m ，故选（C）My2巧练：（2008年，江苏卷）x,y,zR*,x2y3z0,的最小值.xz八、逆向化法逆向化法是在解选择题时,四个选项以及四个选项中只有一个是符合题目要求的都是解题重要的信息。逆向化策略是把四个选项作为首先考虑的信息，解题时，要“盯住选项”，着重通过对选项的分析，考查，验证，推断进行否定或肯定，或者根据选项之间的关系进行逻辑分析和筛选，找到所要选择的，符合题目要求的选项。1【例1】（2008年，湖北卷）函数f(x)ln(x23x2x23x4)的x定义域为（） A．(,4][2,) B．(4,0)(0,1)C．[4,0)(0,1]D．[4,0)(0,1)【巧解】观察四个选项取端点值代入计算即可，取x1，出现函数的真数为0，不满足，排含有1的答案C，取x4代入计算解析式有意义，排不含有4的答案B，取x2出现二次根式被开方数为负，不满足，排含有2的答案A，故选D评析：求函数的定义域只需使函数解析式有意义，凡是考查具体函数的定义域问题都可用特值法代入验证快速确定选项。【例2】（2008年，江西卷）已知函数f(x)2mx22(4m)x1,g(x)mx，若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（）A．（0，2） B．（0，8）C．（2，8）D．（，0）【巧解】观察四个选项中有三个答案不含2，那么就取m2代入验证是否符合题意即可，取m2，则有f(x)4x24x1(2x1)2，这个二次函数的函数值1f(x)0,对xR且x恒成立，现只需考虑g(x)2x当x时函数值2是否为正数即可。这显然为正数。故m2符合题意，排除不含m2的选项A、C、D。所以选B2x1巧练一：（2007年，湖北卷）函数y（x<0）的反函数是（）2x1A.ylogx1（x<－1） B.ylogx1（x>1） 2x1 2x1C.ylogx1（x<－1） D.ylogx1（x>1） 2x1 2x12巧练二：（2004年，重庆卷）不等式x 2的解集是（） x1A．(1,0)(1,) B．(,1)(0,1)C．(1,0)(0,1) D．(,1)(1,)九、极限化法极限化法是在解选择题时,有一些任意选取或者变化的元素,我们对这些元素的变化趋势进行研究,分析它们的极限情况或者极端位置,并进行估算,以此来判断选择的结果.这种通过动态变化,或对极端取值来解选择题的方法是一种极限化法.【例1】正三棱锥ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使AE CF (0)，EB FD设为异面直线EF与AC所成的角，为异面直线EF与BD所成的角，则的值是（） A． B． C． D． 6 4 3 2【巧解】当0时，EA，且FC，从而EFAC。因为ACBD，排除选择支A,B,C故选D（或时的情况，同样可排除A,B,C），所以选D【例2】若a(2)x,bx32,clogx，当x＞1时，a,b,c的大小关系是323（）A．abcB．cabC．cbaD．acb2【巧解】当x0时，a，b1，c0，故cab，所以选B3巧练一：若0x,则2x与3sinx的大小关系 （）2A．2x3sinxB．2x3sinxC．2x3sinxD．与x的取值有关巧练二：对于任意的锐角,，下列不等关系式中正确的是（）（A）sin()sinsin（B）sin()coscos（C）cos()sinsin（D）cos()coscos十、整体化法整体化法是在解选择题时,有时并不需要把题目精解出来,而是从题目的整体去观察,分析和把握,通过整体反映的性质或者对整体情况的估算,确定具体问题的结果,例如,对函数问题,有时只需要研究它的定义域,值域,而不一定关心它的解析示式,对函数图象,有时可以从它的整体变化趋势去观察,而不一定思考具体的对应关系,或者对4个选项进行比较以得出结论,或者从整体,从全局进行估算,而忽略具体的细节等等,都可以缩短解题过程,这是一种从整体出发进行解题的方法.【例1】已知是锐角，那么下列各值中，sincos可能取到的值是（）451A．B．C．D．3 3 2 【巧解】∵sincos2sin()，又是锐角，∴0 4 2232，∴ sin()1，即12sin()2，故选B4 4 4 2 44【例2】(2002年,全国卷)据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》指出“2001年国内生产总值达到95933亿元,比上一年增长7.3%.”如果“十·五”期间(2001-2005年)每年的国内生产总值按此年增长率增长,那么,到“十·五”末,我国国内生产总值约为（）（A）115000亿元(B)120000亿元(C)127000亿元(D)135000亿元【巧解】注意到已知条件给出的数据非常精确,2001年国内生产总值达到95933亿元,精确到亿元,而四个选项提供的数据都是近似值,精确到千亿元,即后三位都是0,因此,可以从整体上看问题,忽略一些局部的细节.把95933亿元近似地视为96000亿元,又把0.0732近似地视为0.005,这样一来,就9593317.3%496000140.07360.073296000(10.29260.005)126720127000.巧练一：如图所示为三角函数yAsin(x)，（||,A0)的图象的一部2Oxy2243Oxy2243 A．4 B．2 C． D．118巧练二：（全国卷）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方DEFCBA3形，EF∥AB，EF，EF与面AC的DEFCBA29（A）（B）5215（C）6（D）2十一、参数法在解题过程中，适当引入一个或几个新变量代替原式中的某些量，使得原式中仅含有这些新变量，以此作为媒介，在进行分析和综合，然后对新变量求出结果，从而解决问题的方法叫参数法。x2y2【例1】（2008年，安徽卷）设椭圆C:1(ab0)过点M(2,1)，且左a2b2焦点为F(2,0)1（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于两不同点A,B时，在线段AB上取点Q，满足APQBAQPB，证明：点Q总在某定直线上。c2221【巧解】(1)由题意：1，解得a24,b22，所求椭圆方程为a2b2c2a2b2x2y214 2|AP||AQ| (2)由APQBAQPB得： 设点Q、A、B的坐标分别|PB||QB|为(x,y),(x,y),(x,y)。由题设知AP,PB,AQ,QB均不为零，记 1 1 2 2APAQPBQB ,则0且1APAQPBQBAPPB,AQQB， xx yy xx yy于是41 2，11 2，x1 2，y1 2 1 1 1 1 从而 4x，① y，② 12 12又点A、B在椭圆C上，即 x22y24, ③x22y24, ④ 1 1 2 2①②2并结合③，④得4x2y4,即点Q(x,y)总在定直线2xy20上。y2【例2】（2004年，辽宁卷）设椭圆方程为x21，过点M（0，1）的直线l4111交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足OP(OAOB)，点N的坐标为(,)， 2 22当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程；【巧解】直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为ykx1.记A(x,y)、B(x,y),由题设可得点A、B的坐标(x,y)、(x,y)是方 1 1 2 2 1 1 2 2程组ykx1 ① y2 的解. x21 ② 4将①代入②并化简得，(4k2)x22kx30，所以 2kx1x24k2, 于是yy8. 1 24k2 1xxyy k 4 OP(OAOB)(1 2,1 2)(, ). 2 2 2 4k24k2设点P的坐标为(x,y),则 kx4k2, 消去参数k得4x2y2y0③y4.4k2当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为4x2y2y0.xy巧练一：（2008年，全国I卷）直线1通过点M(cos,sin)，则有ab （） 1 1 1 1A．a2b21B．a2b21C．1D．1a2b2a2b2巧练二：如图，已知直线l与抛物线x24y相切于点P(2，1)，且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）.若动点M满足ABBM2|AM|0，求点M的轨迹C；若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.十二、交轨法如果所求轨迹是两条动曲线（包括直线）的交点所得，其一般方法是恰当地引进一个参数，写出两条动曲线的方程，消去参数，即得所求的轨迹方程，所以交轨法是参数法的一种特殊情况。【例1】已知椭圆C：x2y21(ab0)的离心率为6,短轴一个端点到右焦点Fa2b2 3的距离为3.6（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过椭圆的焦点F交椭圆C交于A、B两点,分别过A、B作椭圆的两条切线，A、B为切点，求两条切线的交点P的轨迹方程。c6，【巧解】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意a 3解之得c2a3，x2b1，所求椭圆方程为y21．3x2（Ⅱ）由（I）知F(2,0)，设A(x,y)，B(x,y)，P(x,y)，对椭圆y21 1 1 2 2 0 0 3 2x x求导：2yy0，即y，则过A点的切线方程PA为 3 3yxyy1(xx)整理得xx3yy3①同理过B点的切线方程PB为 1 3y 1 1 11xx3yy3②，又P(x,y)在两切线PA、PB上，∴xx3yy32 2 0 0 10 10xx3yy3，因此，A(x,y)，B(x,y)两点在均在直线xx3yy3上， 20 20 1 1 2 2 0 0320320又∵F(2,0)在直线xx3yy3上，∴xy03，即x为交点00 0 2P的轨迹方程【例2】过抛物线C：yx2上两点M，N的直线l交y轴于点P（0，b）.（Ⅰ）若∠MON是钝角（O为坐标原点），求实数b的取值范围；（Ⅱ）若b=2，曲线C在点M，N处的切线的交点为Q.证明：点Q必在一条定直线上运动.【巧解】（Ⅰ）设点M，N坐标分别为(x,x2),(x,x2)(xx),则OM(x,x2),ON(x,x2).1 2 2 1 2 1 1 2 2由题意可设直线l方程为y=kx+b,yx2 k24b0 由 消去y得x2kxb0,xxk ykxb x11x22bOMONMON是钝角,cosMON0,且cosMON1. |OM||ON| 由OMONxxx2x2bb20,得0b1. 12 12此时O,M,N三点不共势,cosMON1不成立.b的取值范围是(0,1).6分（Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知x1x2k, xxb2, 1 2∵函数y=x2的导数y′=2x，抛物线在M(x,x2),N(x,x2)两点处切线的斜率分别为k2x,k 1 1 2 2 M 1 N点M，N处的切线方程分别为l:yx22x(xx),1 1 1l:yx22x(xx).2 2 2 yx22x(xx),由1 1 1(xx),解得交点Q的坐标(x,y)满足yx22x(xx)1 2 2 2 2xx kx1 2,x, 2即2yxx,y2,Q点直线y2上运动.巧练一：已知定点A（1，0）和定直线x1上的两个动点E、F，满足AEAF，动点P满足EP//OA,FO//OP（其中O为坐标原点）.（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点M(1,0)与轨迹C交于A、B两点,分别过A、B作轨迹C的两条切线，A、B为切点，求两条切线的交点P的轨迹方程。巧练二：如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°.曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.分别过E、F.作轨迹C的两条切线，E、F.为切点，求两条切线的交点Q的轨迹方程。十三、几何法利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律，然后得出题目结论的方法叫做几何法。【例1】(2008年，浙江卷)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0,则|c|的最大值是（）（A）1 （B）2 （C）2 （D）222OxyC||c【巧解】不妨设以a、b所在直线为x轴，y轴OxyC||cc(x,y)由已知(ac)(bc)0得ab(ab)c|c|20，整理得x2y2xy01 1112即(x)2(y)2，所以向量c的坐标是以(,)为圆心，22 2 22为半径的一个圆且过原点，故|c|的最大值即为圆的直径为2，故本题选（C）2【例2】（2008年，江苏卷）若AB=2，AC=2BC,则S 的最大值.ABCB(2,0)),(yxCA)0,4(Dy【巧解】建立如图平面直角坐标系，设C(x,y)，A(0,0)，B(2,0)，由ACB(2,0)),(yxCA)0,4(Dy化简得x28xy280x配方得(x4)2y28，所以C点轨迹是以D(4,0)为圆心，22为半径的一个圆（除去与x轴的两个交点），所以当C点纵坐标绝对值为22222，即|y|22时，S 有最大值为 22，所以答案为22 ABC 2 1 1巧练一：已知A(m,m)，B(1,0)，其中m0，则|AB|的最小值m m为.巧练二：已知实数x、y满足(x2)2y2(x2)2y26，则2xy的最大值等于.十四、弦中点轨迹法有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦重点轨迹。“点差法”解决有关弦中点问题较方便，要点是巧代斜率。【例1】（2009年高考海南、宁夏卷）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为.【巧解】由F(1,0)知抛物线C的方程为y24x，设A(x,y)，B(x,y)，代 1 1 2 2入抛物线方程则有：y24x，y24x，两式相减有y2y24(xx)，1 1 2 2 1 2 1 2yy即12(yy)4k(yy)4，又yy4，∴4k4，即k1。xx121212 1 2故l：y2x2，即yx，∴本题应填yxAB【例2】椭圆ax2by21与直线y1x交于A、B两点，若过原点与线段ABa33中点的直线的倾斜角为300，则的值为（）33（A） 4 （B） 3（C） 2（D）33b3【巧解】设AB的中点为M(x,y)，A(x,y)，B(x,y)，则xx2x0 0 1 1 2 2 1 2 0ax2by21yy2y，又1 1 ，两式相减，得2 0 ax2by212a(xx)(xx)b(yy)(yy)0，2 1 2 1 2 1 2 yy ax即2ax(xx)2by(yy)0，∴1 2011 2 0 1 2 xx by2 0ax y3 a3∴01，又0tan300，∴，故选（B）by x 3 b 3 0 02巧练一：若椭圆mx2ny21与直线xy10交于A、B两点，过原点与线2n段AB中点的直线的斜率为，则的值为. 2 mx2y2巧练二：若椭圆1的弦被点P(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率是369为.十五、比较法现实世界的同类量之间，有相等关系，也有不等关系。两个可以比较大小的量a和b，若ab0，ab0，ab0，则它们分别表示ab，ab，ab，我们把根据两个量的差的正、负或零判断两个量不等或相等的方法叫做差式比较a a法；当两个量均为正值时，有时我们又可以根据1，1或1来判断ab，b bab，ab，这个方法叫做商式比较法。这两种方法在数列与函数、不等式交汇问题中应用广泛。比较法之一（作差法0步骤：作差——变形——定号——结论作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。变形：常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”。定号：就是确定是大于0，还是等于0，还是小于0，最后下结论。概括为“三步，一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键。注意：若两个正数作差比较有困难，可以把式子灵活变形，通过作商或将它们的平方差来比较大小。【例1】已知数列a中，a1，且点P(a,a)(nN*)在直线xy10上 n 1 n n1（1）求a的通项公式；n 1 1 1若函数f(n)...(nN,n2)，求函数f(n)的最 nana na 1 2 n小值.【巧解】（1）点P(a,a)在直线xy10上，即aa1且a1 n n1 n1 n 1数列{a}是以1为首项，1为公差的等差数列na1(n1)1n nann 1 1 1（2）f(n)，n1n2 2n 1 1 1 1 1f(n1)n2n3 2n2n12n2 1 1 1 1 1 1f(n1)f(n)02n12n2n12n22n2n17f(n)是单调递增的，故f(n)的最小值是f(2)12【例2】（Ⅰ）已知函数f(x)3x26x2.S是数列{a}的前n项和，点 n n（n，S）（n∈N*），在曲线yf(x)2上，求a. n n 1 ab（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若b()n1,cn n，且T是数列{c}的前n项n 2 n 6 n n和.试问T是否存在最大值？若存在，请求出T的最大值，若不存在，请说明理 n n由.【巧解】（Ⅰ）点（n，S）在曲线yf(x)2上，所以s3n26n. n n当n=1时，a=S=3，当n≥2时，a=S-S=9-6n， 1 1 n n n-1a96n.n 1 1 96n1 1（Ⅱ） b()n1,cab()n1(32n)()n,n2 n6nn 6 2 2 11 1Tccc()2(32n)()n.n 1 1 n22 21利用错位相减法，T(2n1)()n1. n 2 1 1T1(2n1)()n0,T1(2n3)()n10,n 2 n1 21nT1(2n1)(2)n1,nTn11(2n3)(1)n12T1T1,n1 n1TTT.n1 n 121存在最大值T.2巧练一：（2005年，全国卷）若aln2,bln3,cln5，则3 5（）A．a<b<cB．c<b<aC．c<a<bD．b<a<c5巧练二：已知函数f(x)a2xb的图象过点A(1,),B(2,). 2 2（Ⅰ）求函数yf(x)的反函数yf1(x)的解析式；（Ⅱ）记a2f1(n)(nN*)，是否存在正数k，n 1 1 1使得(1)(1)(1)ka a a 1 2 n2n1对nN*均成立.若存在，求出k的最大值；若不存在，请说明理由.十六、基本不等式法借助基本不等式证明不等式或求某些函数最值的方法叫基本不等式。常用的基本不等式有下面几种形式：①若a、bR，则a2b22ab，（当且仅当aba2b2时取等号），反之ab也成立，②若a0、b0，则ab2ab，（当2ab且仅当ab时取等号），反之ab( )2也成立。③若a、b、c都是正数，则2a3b3c3a3b3c33abc，（当且仅当abc时取等号），反之abc也成2立。④若a、b、c都是正数，则abc33abc，（当且仅当abc时取等abc号），反之abc( )3也成立。对于公式a2b22ab及公式ab2ab的2理解，应注意以下几点：①两个公式成立的条件是不同的，前者只要求a、b是实数，而后者强调a、b必须是正数。②要对两个公式的等号及“当且仅当ab时取等号”的含义要有透彻的理解并会在函数、三角函数、解析几何等知识中灵活应用。解题功能及技巧是：①二、三元不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能。②在创设应用不等式的使用条件时，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧。③“和定积最大，积定和最小”，即n个(n2,3)正数的和为定值，则可求积的最大值，积为定值，则可求和的最小值。应用此结论求某些函数最值要注意三个条件：就是“一正——各项都是正数；二定——积或和是定值；三等——等号能否取到”，求最值时，若忽略了上述三个条件，就会出现错误，导致解题失败。必要时要做适当的变形或换元，以满足上述条件。sinx【例1】（2008年，重庆卷）函数f（x）=（0≤x≤2）的值域是（）54cosx11（A）[－,]4411（B）[－,]3311（C）[－,]2222（D）[－,]33 sinx sin2x cos2x1【巧解】∵f(x) ，∴f2(x) 54cosx 54cosx54cosx令t54cosx，∵0x2，1cosx1，∴t0 ∴cosxt5，∴cos2x1 4 1(t910) 4 54cosx t 16 t 19 1 9 1(2t10)，当且仅当t，即t3时取等号，此时cosx， t 2 24 1 1 1 11即x或，∴f2(x)，因而f(x)，故f(x)的值域为[－,] 3 3 4 2 2 22 2sin2x1【例2】（2008年，辽宁卷）设x(0,),则函数y的最小值 2 sin2x为.【巧解】由二倍角公式及同角三角函数的基本关系得： 2sin2x12sin2x13sin2xcos2x3tan2x13 1y =tanx，sin2x 2sinxcosx 2sinxcosx 2tanx 2 2tanx 3 1∵x(0,),∴tanx0，利用均值定理，y2tanx 3，当且仅当2 2tanx1tan2x时取“=”，∴y3，所以应填3.minx2x1巧练一：函数y(x0)的最小值是。x22x11巧练二：求函数yx2(15x)(0x)的最大值。5十七、综合法利用某些已知证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。ab【例1】已知a,b是正数，且1，x,y(0,)，求证：xy(ab)2xy ab bxay【巧证】左xy(xy)()abab2ab(ab)2xy yx aybx x2a右，当且仅当，即时，取“＝”号，故xy(ab)2。x y y2b111【例2】已知a,b,c是正数，且abc1，求证：9abc 111abcabcabc ba ca cb【巧证】 3()()()abc a b c ab ac bc132229，当且仅当abc时取“＝”号。31巧练一：已知函数f(x)x2lnx．设g(x)f(x)，2求证：[g(x)]ng(xn)2n2(nN*)．巧练二：已知a,b,c,d都是实数，且a2b21，c2d21，求证：|acbd|1十八、分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法通常叫分析法。注意：①分析法是“执果索因”，步步寻求不等式成立的充分条件，可以简单写成BBBBA，②分析法与综合法是对立统一的两种方法。综 1 2 n合法是“由因导果”；③分析法论证“若A则B”这个命题的证明模式（步骤）是：欲证明命题B成立，只须证明命题B成立，，从而有，只须证明命题B成 1 2立，从而又有，只须证明命题A成立，而已知A成立，故B必成立。④用分析法证明问题时，一定要恰当用好“要证”，“只须证”，“即证”，“也即证”等词语。【例1】求证3726【巧证】∵370，260，要证3726，只须证(37)2(26)2，即证1022110224也即证2124，∵2124，2124显然成立，∴原不等式3726成立。【例2】设a0，b0，且2cab，证明cc2abacc2ab【巧证】要证cc2abacc2ab只须证c2abacc2ab，即证|ac|c2ab两边平方得：a22acc2c2ab，也即证a2ab2ac，∵a0且2cab∴a2ab2ac显然成立，∴原不等式成立。巧练一：求证3725 1 1 25巧练二：已知a0，b0，ab1，试证明：(a)(b)a b 4十九、放缩法欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得BB，1BB……BA或AA，AA，。。。AB，在利用传递性，达到欲证的1 2 i 1 1 2 i目的，这种方法叫放缩法。放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当放缩否则是达不到目的，此方法在数列与函数、不等式综合问题中证明大小关系是常用方法。放缩法的方法有：（1）添加或舍去一些项，如：a21|a|；n(n1)n将分子或分母放大（或缩小）n(n1)利用基本不等式，如：n(n1) 2 1 11 11 1 1 11 1利用常用结论：①k1k ；k1k2k②；（程度大）k2k(k1)k1kk2k(k1)kk1 1 4 4 4 1 1③2()（程度小）k24k24k21(2k1)(2k1)2k12k1 2k 2k 2k1 1 1 ④ (2k1)2(2k1)(2k2)(2k1)(2k11)2k112k1【例1】已知数列{a}中,a2,aaa2a(nN*). n 1 nn1 n1 n求{a}的通项公式；n3设ba(a1)(nN*),S是数列{b}的前n项和,证明:S3. n n n n n 4 n 1 2【巧解】由aaa2a,得1nn1n1naan n111111112n即1(1).1()n1,a.a2aa222nn2n1n1nn（2）当n=1时，Sa(a1)2, 1 1 12n 2n 2n S3,n2时,ba(a1) ( 1)1 n n n 2n12n1 (2n1)2 2n 2n1 1 1 ,(2n1)(2n2)(2n1)(2n11)2n112n11 1 1 1 1 1S2( )( )( )n 21221 221231 2n112n1133.2n1 2n (2n1)1 1 1 又nN*时,b n(2n1)2 (2n1)2 2n1(2n1)21 1 1[(1()n][1()n] 1(1)2S2 24 4 2n 2n n 1 1 1 141 11()n[1()n]3 4 41 11 41113()n()n.2 34 323443当nN*时,都有S3.n【例2】已知数列a的各项均为正数，S为其前n项和,对于任意nN*,满足关系 n nS2a2n n（Ⅰ）求数列a的通项公式；n（Ⅱ）设数列b的前n项和为T，且b 1 ，求证：对任意正整数n n n(loga)22nn，总有T2;n【巧解】（Ⅰ）解：S2a2(nN*),① n nS2a2(n2,nN*)②n1 n1①—②，得a2a2a.(n2,nN*)n n n1aa0,n2.(n2,nN*)n an1即数列a是等比数列.aS, n 1 1a2a2,即a2.a2n.(nN*) 1 1 1 n1（Ⅱ）证明：∵对任意正整数n，总有b.n(loga)2n2n 1 1 1 1 1 1T1 n1222 n2 1223 (n1)n11 1 1 1 11 22.23 n1n n巧练一：已知数列{a}的通项为a，前n项和为S，且a是S与2的等差中项； n n n n n数列{b}中，b1,点P（b，b）在直线xy20上， n 1 n n1（Ⅰ）求数列{a}、{b}的通项公式a，b； n n n n 1 1 1（Ⅱ）设{b}的前n项和为B，试比较与2的大小；n n B B B 1 2 n巧练二：已知数列{a}和{b},{a}的前n项和为S,a0，且对任意nN，都有 n n n n 22Sn(a1),点列P(a,b)都在直线y2x2上.n n n n n求数列{a}的通项公式；n 1 1 1 2求证： (n2,nN) |PP|2|PP|2 |PP|25 12 13 1n二十、反证法从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、公理、定理、法则或已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。基本证明模式是：要证明MN，先假设MN，由已知及性质推出矛盾，从而肯定MN，适用范围：①否定性命题；②唯一性命题；③含有“至多”、“至少”问题。④根据问题条件和结论，情况复杂难于入手，可考虑试用反证法。反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：否定结论推导出矛盾肯定结论成立，应用反证法证明的主要三步是：第一步，反设——作出与求证结论相反的假设；第二步——归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步——肯定结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。【例1】若0a2,0b2,0c2,证明(2a)b，(2b)c，(2c)a不能同时大于1