教学设计1 数学归纳法与贝努利不等式

数学归纳法与贝努利不等式一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！目标认知：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能运用它证明一些与正整数n（取无限多个值）有关的数学命题．理解数学归纳法的原理，能准确使用证明格式．了解贝努利不等式，会利用数学归纳法明贝努利不等式．重点：用数学归纳法证明一些与正整数n（取无限多个值）有关的数学命题．运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．难点：学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．学习策略：数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n（取无限多个值）有关的数学命题．但是，并不能简单地说所有与正整数有关的数学命题都可使用数学归纳法证明．在学习过程中，要特别注意数学归纳法的适用范围和证题步骤．用数学归纳法证明数学问题，关键在于两个步骤缺一不可．“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”．贝努利不等式是用数学归纳法证明的重要不等式之一，在数值的近似估计和证明不等式中有很大的作用．二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。知识要点——预习和课堂学习知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。课堂笔记或者其它补充填在右栏。知识点一：归纳法（一）归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫归纳法．根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，分为归纳法和归纳法．（二）不完全归纳法不完全归纳法是根据事物的后得到一般结论的推理方法．基本特点：由事物得出的结论，这个结论一般为，因此不完全归纳法所得到的命题是成立（填一定或者不一定）．但这种方法易于操作，是一种非常重要的思考问题的方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段．用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径．（三）完全归纳法完全归纳法是一种在研究了事物的后得出的一般结论的推理方法，又叫．基本特点：由事物的得出的结论，因此这个结论是．通常在事物包含的特殊情况不多时，采用．知识点二：数学归纳法数学归纳法是一种完全归纳法，是证明与自然数相关的命题的重要方法．（一）数学归纳法的定义：一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数的所有正整数都成立时，可以用以下三个步骤完成：（1）（归纳奠基）；（2）（归纳递推）；（3）下结论：．上述证明方法叫做数学归纳法．注意：（1）用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤；证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性．证明了第二步，就获得了递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础．只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论；（2）在第二步中，在递推之前，时结论是否成立是不确定的，因此用假设二字，这一步的实质是证明命题对的正确性可以传递到时的情况．有了这一步，联系第一步的结论（命题对成立），就可以知道命题对也成立，进而再由第二步可知即也成立，…，这样递推下去就可以知道对于所有不小于的正整数都成立．在这一步中，时命题成立，可以作为条件加以运用，而时的情况则有待利用归纳假设、已知的定义、公式、定理加以证明，不能直接将代入命题．（二）数学归纳法的适用范围：数学归纳法一般适用于有关的数学命题．但是，并不能简单地说所有与正整数有关的数学命题都可使用数学归纳法证明．由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的命题，常常用数学归纳法来证明它的正确性．知识点三：贝努利不等式定理（贝努利（Bernoulli）不等式）：设任何实数为大于1的自然数，则．用数学归纳法证明：．经典例题——经典例题——自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。课堂笔记或者其它补充填在右栏。类型一：利用数学归纳法证明等式例1．用数学归纳法证明：（n∈N*）．证明：总结升华：．举一反三：【变式1】用数学归纳法证明：

．【变式2】用数学归纳法证明：

．【变式3】证明：．类型二：利用数学归纳法证明不等式例2．求证：(n≥3,n∈N)．证明：总结升华：．举一反三：【变式1】设且n>1，求证：．【变式2】已知：x>-1，且x≠0,n∈N,且n≥2，求证：(1+x)n>1+nx．【变式3】设a，b为正数，n为自然数，证明：．类型三：分析法证明不等式利用数学归纳法证明整除性例3．用数学归纳法证明能被9整除．证明：总结升华：．举一反三：【变式】用数学归纳法证明(n∈N)能被14整除．类型四：利用数学归纳法证明几何问题例4．平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证这n条直线把平面分成个部分．证明：总结升华：．举一反三：【变式】平面上有n个圆，每两圆交于两点，每三圆不交于同一点，求证n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2部分．类型五：利用数学归纳法证明递推关系给出的数列问题例5．对于数列，若且，．（1）求并猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．解析：总结升华：．举一反三：【变式1】已知数列{an}满足a1=a，．（1）求a2，a3，a4；（2）推测通项an的表达式