北京市西城区(北区)20122013学年高二下学期期末考试数学理试题

2012-2013学年北京市西城区（北区）高二（下）期末数学试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．（5分）i是虚数单位，若复数A．1+3iB．1﹣3i

z知足

z（2﹣i）=7﹣i，则C．3﹣i

z等于（

）D．3+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．剖析：由题意求出复数z，再分子分母同乘以2+i后化简即可．解答：解：由z（2﹣i）=7﹣i得，===3+i，应选D．评论：此题考察了复数的乘除运算，关于除法分子分母同乘以分母的共轭复数后再化简．2．（5分）甲骑自行车从A地到B地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口碰到红灯的概率都是，且在每个路口能否碰到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有碰到红灯，直到第3个路口才初次碰到红灯的概率是（）A．B．C．D．考点：n次独立重复试验中恰巧发生k次的概率．专题：概率与统计．剖析：依据由题意可得，甲在前2个路口没有碰到红灯，概率都是，第三个路口碰到红灯，概率等于，依据相互独立事件的概率乘法公式求得结果．解答：解：由题意可得甲在每个十字路口碰到红灯的概率都是，甲在每个十字路口没有遇到红灯的概率都是1﹣=，那么甲在前两个十字路口都没有碰到红灯，直到第3个路口才初次碰到红灯的概率是，应选C．评论：此题主要考察相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对峙事件的概率之间的关系，属于中档题．3．（5分）函数

的图象在点（

2，f（2））处的切线方程是（

）A．x﹣4y=0

B．x﹣4y﹣2=0

C．x﹣2y﹣1=0

D．x+4y﹣4=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．剖析：求导函数，确立切线的斜率，求出切点的坐标，即可获得切线方程．解答：∴，f（2）=∴函数的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣=（x﹣2），即x+4y﹣4=0应选D．评论：此题考察导数知识的运用，考察导数的几何意义，考察学生的计算能力，属于中档题．4．（5分）从A．9个

0，1，2，3，4中随机选两个不一样的数字构成一个两位数，此中偶数有（B．10个C．11个D．12个

）考点：摆列、组合的实质应用．专题：概率与统计．剖析：由题意，末端是0，2，4，分类求出相应的偶数，即可得出结论．解答：解：由题意，末端是0，2，4末端是0时，有4个；末端是2时，有3个；末端是4时，有3个，因此共有4+3+3=10个应选B．评论：此题考察计数原理的运用，考察学生剖析解决问题的能力，属于基础题．32的导函数为f′（x），若f′（x）为奇函数，则有（）5．（5分）设函数f（x）=ax+bx+cx+2A．a≠0，c=0B．b=0C．a=0，c≠022D．a+c=0考点：导数的运算；函数奇偶性的判断．专题：导数的综合应用．2剖析：先求导数f′（x），由f′（x）为奇函数可知f'（x）=﹣f'（﹣x），故3ax+c恒成立恒成立，因此a=c=0，由此得出答案．322，解答：解：函数f（x）=ax+bx+cx+2的导函数为f′（x）=3ax+2bx+c2∵函数f′（x）=3ax+2bx+c是定义在R上的奇函数，∴f'（x）=﹣f'（﹣x），即3ax22+2bx+c=﹣3ax+2bx﹣+c，222∴3ax+c恒成立，a=c=0．即a+c=0．应选D．评论：此题考察导数的运算、函数奇偶性的判断、函数的分析式的求法，解题时要认真审题，认真解答，注意等价转变思想的合理运用．6．（5分）已知一个二次函数的图象以下图，那么它与x轴所围成的关闭图形的面积等于（）A．B．C．D．考点：定积分．专题：计算题．剖析：先依据函数的图象求出函数的分析式，而后利用定积分表示所求面积，最后依据定积分运算法例求出所求．解答：解：依据函数的图象可知二次函数y=f（x）图象过点（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1）进而可知二次函数y=f（x）=x2﹣1∴它与x轴所围图形的面积为（x2﹣1）dx=（﹣x）=．应选C．评论：此题考察利用定积分求面积，解题的重点是确立被积区间及被积函数．7．（5分）（2006?广州二模）4名男生和4名女生随机地排成一行，有且仅有两名男生排在一同的概率是（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．剖析：4名男生和4名女生随机地排成一行，总合有种摆列方法．由分步计数原理求出有且仅有两名男生排在一同的排法有种，由此求得有且仅有两名男生排在一起的概率．解答：解：随机排成一行，总合有种摆列方法．随意从四个男生中精选两个男生作为一个整体，有种方法．而后往女生中插空，有种排法，而女生的排法是种方法，故有且仅有两名男生排在一同的排法有种．就能够获得有且仅有两名男生排在一同的到概率为=，应选A．评论：此题主要考察等可能事件的概率，以及分步计数原理的应用，属于中档题．8．（5分）已知函数，若同时知足条件：①?x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．则实数a的取值范围是（）A．（4，8]B．[8，+∞）C．（﹣∞，0）∪[8，D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）8]考点：函数在某点获得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．剖析：求导数，由①获得；由②?x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只要f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，分别解出不等式即可获得实数a的取值范围为4＜a≤8．解答：解：因为，则=令f′（x）=0，则，故函数f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上递加，在（x1，x2）上递减因为?x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只要f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，当x2＞8，即时，函数f（x）在（8，+∞）上的最小值为，此时无解；当x2≤8，即时，函数（fx）在（8，+∞）上的最小值为，解得a≤8．又由?x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点，故解得a＞4；故实数a的取值范围为4＜a≤8故答案为A评论：此题考察函数在某点获得极值的条件，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．（5分）的二项睁开式中的常数项为160．（用数字作答）考点：二项式定理．专题：计算题；概率与统计．剖析：先求出二项式睁开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得睁开式中的常数项的值．解答：解：因为的二项睁开式的通项公式为Tr+1=??=26﹣r??x3﹣r．令3﹣r=0，求得r=3，故二项睁开式中的常数项为=160，故答案为160．评论：此题主要考察二项式定理的应用，二项式睁开式的通项公式，求睁开式中某项的系数，属于中档题．10．（5分）假如函数f（x）=cosx，那么=．考点：导数的运算；函数的值．专题：计算题．剖析：依据分析式求出和f（′x），再求出，代入求解即可．解答：解：由题意知，f（x）=cosx，∴=cos=，f′（x）=﹣sinx，∴=﹣sin=﹣，故答案为：．评论：此题考察了求导公式的应用，以及求函数值，属于基础题．11．（5分）已知某随机变量X的散布列以下（p，q∈R）：X1﹣1Ppq且X的数学希望，那么X的方差D（X）=．考点：失散型随机变量的希望与方差．专题：概率与统计．剖析：利用数学希望公式及概率的性质，求出p，q，再利用方差公式，即可获得结论．解答：解：∵X的数学希望，∴p=，q=∴X的方差D（X）==故答案为：评论：此题考察希望与方差公式，考察概率的性质，考察学生的计算能力，属于基础题．12．（5分）已知函数的图象在x=0和处的切线相互平行，则实数a=﹣1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的观点及应用．剖析：由求导公式和法例求出导数，再把x=0、代入求出导数值，再依据直线平行的充要条件成立方程求a．解答：解：由题意得，=，把x=0代入得，y′=，把代入得，y′=，由题意得，=，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．评论：此题考察了导数的几何意义，即某点处的切线的斜率是该点出的导数值，以及直线平行的充要条件的应用．13．（5分）有求每个小组有

5名男医生和2名男医生和

3名女医生，现要从中选6名医生构成2个地震医疗小组，要1名女医生，那么有90种不一样的组队方法．（用数字作答）考点：摆列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．剖析：从5男3女中先选2男1女，剩下

3男2女中再选

2男

1女，但因为

2个地震医疗小组并没有差别，故无需摆列，最后再除以

，即可获得不一样的组队方法．解答：解：由题意，从

5男

3女中先选

2男1女，剩下

3男

2女中再选

2男

1女，但因为

2个地震医疗小组并没有差别，故无需摆列，最后再除以

，即不一样的组队方法有=90（种）故答案为：90评论：此题考察摆列组合知识，考察学生剖析解决问题的能力，考察学生的计数能力，属于基础题．14．（5分）设函数n*，且n≥2，给出以下三个结论：fn（x）=x+x﹣1，此中n∈N①函数f3（x）在区间（，1）内不存在零点；②函数f4（x）在区间（，1）内存在独一零点；③设xn（n＞4）为函数fn（x）在区间（，1）内的零点，则xn＜xn+1．此中全部正确结论的序号为②③．考点：命题的真假判断与应用；函数的零点．专题：函数的性质及应用．剖析：①确立函数的单一性，利用零点存在定理，进行考证；②确立函数的单一性，利用零点存在定理，进行考证；③函数在（，1）上是单一增函数，fn+1（x）＜fn（x），即可获得结论．32解答：解：①f3（x）=x+x﹣1，∵f3′（x）=3x+1＞0，∴函数在R上是单一增函数，∵f3（）=﹣＜0，f3（1）=1＞0，∴函数f3（x）在区间（，1）内存在零点，即①不正确；43，∵x∈（，1），∴f4′（x）＞0，∴函数在（，②f4（x）=x+x﹣1，∵f4′（x）=4x+11）上是单一增函数，∵f4（）=﹣＜0，f4（1）=1＞0，∴函数f4（x）在区间（，1）内存在零点，即②正确；nn﹣1③fn（x）=x+x﹣1，∵fn′（x）=nx+1，∵x∈（，1），∴fn′（x）＞0，∴函数在（，1）上是单一增函数，∵fn+1（x）﹣fn（x）=xn（x﹣1）＜0，∴函数在（，1）上fn+1（x）＜fn（x），∵xn（n＞4）为函数fn（x）在区间（，1）内的零点，∴xnxn+1，即③正确故答案为：②③评论：此题考察的知识点是零点存在定理，导数法判断函数的单一性，考察学生剖析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共

6小题，共

80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13

分）甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为

，，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响．I）假如甲、乙两人各投篮1次，求两人投篮都没有命中的概率；II）假如甲投篮3次，求甲至多有1次投篮命中的概率．考点：n次独立重复试验中恰巧发生k次的概率；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．剖析：（I）记“甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中”为事件A，则甲投篮一次且没有命中的概率为，同理，乙投篮一次且没有命中的概率为，再把这2个概率值相乘，即得所求．（II）记“甲投篮3次，且至多有1次投篮命中”为事件B，求出甲投篮3次，且都没命中的概率，再求出甲投篮3次，且恰有1次投篮命中的概率，相加即得所求解答：（I）解：记“甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中”为事件A．（1分）因为甲每次投篮命中的概率为，因此甲投篮一次且没有命中的概率为．（2分）同理，乙投篮一次且没有命中的概率为．（3分）因此．答：甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中的概率为．（6分）（II）解：记“甲投篮3次，且至多有1次投篮命中”为事件B．（7分）因为甲每次投篮命中的概率为，因此甲投篮3次，且都没命中的概率为，（9分）甲投篮3次，且恰有1次投篮命中的概率为（11分）因此．答：甲投篮3次，且至多有1次投篮命中的概率为．（13分）评论：此题主要考察相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式，所求的事件的概率与它的对峙事件的概率之间的关系，属于中档题．16．（13分）设函数，且，此中n=1，2，3，．I）计算a2，a3，a4的值；II）猜想数列{an}的通项公式，并用数字概括法加以证明．考点：数学概括法；数列递推式．专题：证明题；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学概括法．剖析：（I）由an+1=，a1=，即可求得a2，a3，a4的值；（II）由a1，a2，a3，a4，可猜想an=，用数学概括法证明，①当n=1时，去证明结论成立；②假定当n=k（k∈N*）时等式成立，去证明当n=k+1时，猜想也成立刻可．解答：解：（I）由题意，得an+1=，（1分）因为a1=，因此a2=，a3=，a4=．（3分）（II）解：由a1，a2，a3，a4，猜想an=（5分）以下用数字概括法证明：对任何的n∈N*，an=证明：①当n=1时，由已知，左侧=，右侧==，因此等式成立．（7分）②假定当n=k（k∈N*）时等式成立，即ak=，（8分）则n=k+1时，ak+1=====．因此当n=k+1时，猜想也成立．（12分）依据①和②，可知猜想关于任何n∈N*都成立．（13分）评论：此题考察数列递推式，考察数学概括法，证明时用好概括假定是重点，突出考察推理与证明的能力，属于中档题．17．（13分）已知函数2x﹣1f（x）=e﹣2x．I）求函数f（x）的单一区间；II）设b∈R，求函数f（x）在区间[b，b+1]上的最小值．考点：利用导数研究函数的单一性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．剖析：（I）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单一区间；（II）分类议论，求导数，确立函数的单一性，即可求函数f（x）在区间[b，b+1]上的最小值．解答：解：（I）因为f′（x）=2e2x﹣1﹣2．（2分）令f′（x）=0，解得．（3分）当x变化时，f（x）与f′（x）的变化状况以下表：xf′（x）﹣0+f（x）极小值（5分）因此函数f（x）在（）上单一递减，在上单一递加．（6分）（II）当时，因为函数f（x）在（b，b+1）上单一递减，因此当x=b+1时，函数f（x）有最小值f（b+1）=e2b+1﹣2b﹣2．（8分）当时，因为函数f（x）在上单一递减，在上单一递加，因此当时，函数f（x）有最小值．（10分）当时，因为函数f（x）在（b，b+1）上单一递加，因此当x=b时，函数f（x）有最小值f（b）=e2b﹣1﹣2b．（12分）综上，当

时，函数

f（x）在[b，b+1]上的最小值为

f（b+1）=e2b+1﹣2b﹣2；当

时，函数

f（x）在[b，b+1]上的最小值为

；当

时，函数

f（x）在[b，b+1]上的最小值为

f（b）=e2b﹣1﹣2b．（13分）评论：此题考察导数知识的运用，考察函数的单一性与最值，考察分类议论的数学思想，属于中档题．18．（13分）箱中装有4个白球和m（m∈N*）个黑球．规定拿出一个白球得2分，拿出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假定每个球被拿出的可能性都相等．记随机变量X为拿出的3个球所得分数之和．（I）若，求m的值；（II）当m=3时，求X的散布列和数字希望E（X）．考点：失散型随机变量的希望与方差．专题：概率与统计．剖析：（I）拿出的3个球都是白球时，随机变量X=6，利用概率公式，成立方程，即可求m的值；（II）当m=3时，确立X的取值，求出相应的概率，即可求X的散布列和数字希望E（X）．解答：解：（I）由题意得拿出的

3个球都是白球时，随机变量

X=6．（1分）因此

，（3分）即

，解得m=1．（5分）（II）由题意得X的可能取值为

3，4，5，6．（6分）则

，

，．．（10分）的散布列为：X3456P11分）因此．（13分）评论：此题考察概率的计算，考察失散型随机变量的散布列与希望，考察学生的计算能力，属于中档题．19．（14分）请先阅读：设平面向量=（a1，a2），=（b1，b2），且与的夹角为θ，因为?=||||cosθ，因此

?≤||||．即

，当且仅当θ=0时，等号成立．（I）利用上述想法（或其余方法）

，联合空间向量，证明：关于随意

a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，都有

成立；（II）试求函数

的最大值．考点：平面向量的综合题．专题：平面向量及应用．剖析：|，即可证明结论；（I）利用?≤||?|（II）结构空间向量=（1，1，1），，且与的夹角为θ，利用（I）的结论，即可获得结论．解答：（I）证明：设空间向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），且与的夹角为θ，因为?=||?||cosθ，因此?≤||?||，（3分）即（6分）因此，当且仅当θ=0时，等号成立．（7分）（II）解：设空间向量=（1，1，1），，且与的夹角为θ，（9分）因为，因此即，（12分）当且仅当θ=0（即与共线，且方向同样）时，等号成立．因此当时，

，即x=2时，函数评论：此题考察向量的数目积公式，属于中档题．

有最大值．（14分）考察函数最大值的求解，考察学生剖析解决问题的能力，20．（14分）已知函数，．I）求函数f（x）的分析式；II）若关于随意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，务实数a的取值范围；（III）设