(名师导学)2020版高考数学总复习第三章导数及其应用第18讲导数与函数的综合问题考点集训文含解析

第18讲导数与函数的综合问题冷| J考点集训[prJA组某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元.若总收入Q与年产皇x的关系是/?(*)=错谡!则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()A.150B.200C.250D.300【解析】由题意可得，当年产量为x时，总成本为C(x)=20000+100X.・•・总利润P5=错误！则广(x)=错误！令/(x)=0得x=300,因为当0WxV300时,〃(x)>0,当x>300时，P1(x)<0,所以当x=300时，利润最大，故选D.【答案】D若对于R上的可导函数f(x)满足(x-1)f(x)NO,则必有( )A.f(0)+f(2X2f(1)B.f(0)+f(2)W2f(1)C.f(0)+f(2)>2f(1)D.f(0)+f(2)>2f(1)【解析】当x>i时，尸(x)no,心在(l+8)上是增函数；当xv1时.rU)WQf5在(一8,1)上是减函数，故f(x)的最小值为2(1),必有f(0)+f(2)N2f

(1)；若函数y=f3为常数函数，则尸(x)=0,则f(0)+f(2)=2f(1).故选C.【答案】C已知函数備误!=A?-lnx,若储误!〉0在函数定义域内恒成立，则A的取值范围是Ao错误！B.错误！C.错误!Do错误！【解析】由题意得储误!〉0在函数定义域内恒成立,即々一In〃0在(0,+oo)上恒成立，即*〉错误!在(0,+oo)恒成立,设g错误!=错误!，则，错误!=错误!=错误!.当xE(0.错误!)时，函数袖误!单调递増;rr当xE(错误!，+8)时，函数爾误!单调递减,所以当X=错误!时，函数弱f貴!取得最大值，此时最大值为負误!错误!=错误!,rr所以实数k的取值范围是错误!，故选Do【答案】D4.把长为4.把长为60m的铁丝围成矩形，当长为 m,寛为 m时，矩形的面积最大.【解析】设矩形的长为X【解析】设矩形的长为Xm,则宽为(30—X)m,矩形面积S=30l/((Kx〈30),S取得最大，由歩=30-2x=0,得x=15,易知x=15S取得最大，故答案为：15；15«【答案】15155,已知函数f(x)=5x+sinx,xG(—1,1),若f(1—x)+f(1—则实数x的取值范围是 ・【解析】..•储误!=5x+sinx,函数为奇函数;又尸(x)=5+cosx>0,Af(x)在(-1,1)±单调递增.所以不等式f(1-x)+f(1-V)<0转化为f(1—X)<-f(1-/)=儲误!...・错误!解不等式得1〈《错误!.【答案】(1,错误!)6,若不等式2xlnx^—x+ax—3对任意(0.+°°)恒成立，则实数a的取值范围【解析】因为2xlnx^—^+ax—3对任意xG(0.+<»)恒成立，则sW2lnx+x+错误!，设。(x)=2lnx+x+错误！(*>0),则力'(x)=错误!。当xE(0,1)时，力’(x)<0,函数久x)单调递减；当xE(1,+8)时，hf(x)>0,函数h(x)单调递增.所以h(x)・顷=方(1)=4.所以aW力(x).n=4。【答案】(一8,4]已知函数f(x)=错误!。一错误lx+2x+5.求函数。(必的图象在点(3,f(3))处的切线方程：若曲线y=f3与y=2x-m有三个不同的交点，求实数胆的取值范【解析】(1).・•函数f(x)=错误!！一错误!>+2x+5,f(x)=x—3x+2o・../(3)=2,f(3)=错误!。.”(x)在(3,f(3))处的切线方程是*—错误!=2(x—3),即4x-2y+1=0o(2)令f"=2x-m,即错误!x-mW!x+2x+5=2x-/77,.・・错误!？一错误!孑+5=—両。设g(x)=错误!X，—错误!^+5,则/(0=¥—3农•.,曲线y=f(x)与y=2x—m有三个不同的交点，二函数y=g(x)与y=—m有三个不同的交点，令g'(x)=0,解得*=0或*=3,当以。或〃3时，/(x)>0,当0G<3时3<0«・.・g(x)在(一8,0),(3,+8)上单调递增，在(0,3)上单调递减,•.M(0)=5,g(3)=错误!，即g(x)®*«=5,g(x)松小.=错误！，.•，错误!〈一m〈5.即实数盟的取值范围为一5〈次一错误!。已知函数f(x)=lnx+a^+(2a+1)x.⑴讨论fM的单调性;(2)当水0时，证明：fa)W—£—2。【解析】(1)f3的定义域为(0,+8),f(0=错误！+2ax+2a+l=错误！。若^0,则当xG(0,+oo)时，尸(x)>0.故f(x)在(0,+oo)上单调递增.若aVO,则当姮错误!时，ff(x)>0；当妃(一£，+8)时，f，(x)«。故f(x)在错误!上单调递增，在错误!上单调递减.

⑵由(1)知，当#vo时，r(x)在，=一错误!取得最大值，最大值为備误!=ln错娯!一1一错误!.所以f(*)W—错误!一2等价于In错误!一1一错误!《一错误!一2,即比错误！+错误！+1W0。设g(x)=lnx-x+1,则g'(0=错误!一1。当姮(0.1)时，g'3>0；当姮(1,+8)时，/(x)<0.所以g(^)在(0,1)上单调递増，在(1.+8)上单调递减.故当，=1时,g(x)取得最大值，最大值为g(1)=0.所以当x>0时，g3W0,从而当aVO时,In错误!+错误!+1W0,即f(x)W一错误!一2。B组已知函数偷误!=*+错误!，若对任意，ER,储误!〉以恒成立，则实数a的取值范是(错误！B。错误!C.[1,e-1C.[1,e-1)D.销谡!p=A<*l【解析】由题可知：错误!〉错误!x恒成立.设袖误!=错误!，矯误!=错误!x.如图所示，则h(x)要恒在g(0下方，g'错误!=一错误!，且过其图象上点倒误!的切线方程为：y-yt=一错误!错误!，过原点，故xo=—1,所以斜率为：一e,所以应满足3—1〉—ea)1—e,又3-1W0 所以实数，的取值范围是错误!。

【答案】B2.设函数f(*)=e'(2x-1)—以+a,其中a〈1,若存在唯一的整数为，使得f3)【解析】f3<0e*(2x-1){ax-a.记g(x)=e'(2x-1),由題意说明存在唯一的整数xo,使g(x)的图象在直线y=ax-a下方，g'(x)=e"(2x+1).当x〈一错误!时，g'(x)«;当x〉一错误!时，g'(x)>0,因此当x=_错误!时，八x)取得极小值也是最小值履误!=一2因此当x=_错误!时，八x)g(1)=e>0,直线y=ax-a直线y=ax-a过点(1,0)且斜率为3故错误!解得错误!W水1。【答案】错误!某公司为一家制冷设备厂，设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4m.这种薄板须沿其对角线折叠后使用.如图所示,A8CD(AB>AD)为长方形薄板，沿AC折叠后48,交必于点月当的面积最大时最节能，凹多边形4C&刃的面积最大时制冷效果最好.设M=xm,用x表示图中加的长度，并写出x的取值范围；若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽？【解析】(1)由题意，48=*,30=2—Xo因为x>2—*>0,故1<x<2o设DP=y.则因为△ADP^4CB'P,故PA=PC^x-y.由PX=AG*DP,得(x-y)2=(2-x)2+y,*=2错误！，1VxV2.记ZVIOP的面积为S,则S=錯谖！(2—*)=3—错溟!W3-2错误!，当且仅当*=错误!E(1,2)时，S取得最大值.故当薄板长为也m,宽为错误！m时，节能效果最好.记多边形化&用的面积为&则&=?r(2—*)+错误！(2—*)=3—错误!错误!，1VxV2.于是S'=—错误!错误!=错误!，令S'=0,得、=错误!.关于，的函数S在错误!上递増，在钳误!上递减.所以当，=错误!时，缶取得最大值.故当薄板长为沛n宽为错误！e时，制冷效果最好.4,已知函数f(x)=lnx+ax,aGR.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f3的两个零点为.心且错误!求证：3—及)f3+Q>错误！。【解析】(1)函数。(*)=lnx+ax9aER的定义域为错误!，则戸当aNO时，产(x)〉0,.・・f(x)在错误!上单调递増；当永0时，由f'3=错误!+/0,得0〈*〈一错误!，33在错误!上单调递增；由f(*)=错误!+X0,得*>一错误!，:.f3在错误!上单调递减.(2)由题意，得Inm+sxi=0,In*2+1*2=。，.■-Inx2—Inxi=a(*—*2)・：,3—X〉U(*+x2)=(*—X2)错误！=错误！+a(由一X2)=错误!+ln错误！=错误!+ln错误!。令错误!=tNe\令0(t)=错误!+ln七贝lj/(t)=错误！〉0,。3在错误!上单调递增，・.・。(。2)=14-错误!>1+错误!=错误!，即(*—X2)尸(*+*2)＞错误!.罪敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处清指正，希望本文能为您解开疑惑，引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。ThisarticleiscollectedandcompiledbymycolleaguesandIinourbusyschedule.Weproofreadthecontentcarefullybeforethereleaseofthisarticle,butitisinevitablethattherewillbesomeunsatisfactorypoints.If