向量法求空间角高二数学立体几何

实用文档实用文档实用文档向量法求空间角1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，四边形ADPQDC是直角梯形，ADDP，CD平面DB1ABAQDP．2P求证：PQ平面DCQ； AQ求平面BCQ与平面ADPQ所成的锐二面角的大小．2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为6．62PCCOED A求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知AB平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点.（1）求证:AF//平面BCE;（2）求证:平面BCE平面CDE;（3）求平面BCE（1）求证:AF//平面BCE;（2）求证:平面BCE平面CDE;（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小.（1）求证://AP平面EFG;（2）求平面GEF和平面DEF的夹角. 111 1 1 1 1（Ⅰ）求证：ABBC（Ⅰ）求证：ABBC；（Ⅱ）若直线AC与平面1ABC所成的角为6,求锐二面角1AACB的大小.6．如图，四边形ABCD是正方形，EA平面ABCD，EAPPD，ADPD2EA，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．求证：FGP平面PED；求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小.PHGHGFDC A B实用文档实用文档实用文档参考答案1．（1）详见解析；（2）4【解析】试题分析：（1）根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直角坐标，由已知，DA，DP，DC两两垂直，可以D为原点，DA、DP、DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．表示出图中各点的坐标：设ABa，则D(0,0,0)，C(0,0,a)，Q(a,a,0)，P(0,2a,0)，则可表示出DC(0,0,a)，DQ(a,a,0)，PQ(a,a,0)，根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明，由DCPQ0，DQPQ0，故DCPQ，DQPQ，即可证明；（2）首先求出两个平面的法向量，其中由于DC平面ADPQ，所以可取平面ADPQ的一个法向量为n(0,0,1)；设平1 面BCQ的一个法向量为n(x,y,z)，则nQB0，nQC0，故 2 2 2ayaz0, yz0, 即 取yz1，则x0，故n(0,1,1)，转化axayaz0,xyz0, 2 nn 1 2为两个法向量的夹角，设n与n的夹角为，则cos12．即可求出 1 2 |n||n| 2 2 1 2平面BCQ与平面ADPQ所成的锐二面角的大小.试题解析：（1）由已知，DA，DP，DC两两垂直，可以D为原点，DA、DP、DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设ABa，则D(0,0,0)，C(0,0,a)，Q(a,a,0)，P(0,2a,0)，故DC(0,0,a)，DQ(a,a,0)，PQ(a,a,0)，因为DCPQ0，DQPQ0，故DCPQ，DQPQ，即DCPQ，DQPQ，又DCIDQD所以，PQ平面DCQ．（2）因为DC平面ADPQ，所以可取平面ADPQ的一个法向量为n(0,0,1)，1点B的坐标为(a,0,a)，则QB(0,a,a)，QC(a,a,a)， 设平面BCQ的一个法向量为n(x,y,z)，则nQB0，nQC0， 2 2 2ayaz0, yz0,故 即 取yz1，则x0，axayaz0,xyz0,故n(0,1,1)．2 nn 1 2设n与n的夹角为，则cos12． 1 2 |n||n| 2 2 1 2所以，平面BCQ与平面ADPQ所成的锐二面角的大小为4考点：1.空间向量的应用；2.二面角的计算；3.直线与平面的位置关系2．（1）60;（2）210;（3）F是AD的4等分点，靠近A点的位置.56【解析】试题分析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知∠PMO为所求二面角P－AD6－O的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角∴tan∠PAO＝2，设AB＝a，则AO 23 1a＝2a，PO＝2a，MO=2,tan∠PMO＝3,∠PMO＝60°;（2）依题意连结AE，OE，则OE∥PD，故∠OEA为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易证OA⊥平面POB,122DOPO＝422DOPO＝4510AOa∴tan∠AEO＝EO＝5；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，易得BC⊥平面PMN，故平面PMN⊥平面PBC，而△PMN为正三角形，易证MG⊥平面PBC，取MA的中点F,连EF,则四边形MFEG为平行四边形，从而MG//FE,EF⊥平面PBC,F是AD的4等分点，靠近A点的位置.PCCOED M A试题解析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，则∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角（2分）∵PO⊥面ABCD，∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．66∴tan∠PAO＝22设AB＝a，AO＝2a，33∴PO＝AO·tan∠POA＝2a，POtan∠PMO＝MO＝3．∴∠PMO＝60°．（4分）PCCOED M A连接AE，OE，∵OE∥PD，∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．（6分）∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．又OE平面PBD，∴AO⊥OE．1PO2DO2＝5a，∵OE＝PD＝2 4 AO 210∴tan∠AEO＝＝ ．（8分） EO 5延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG．PCCONGBD MFA实用文档实用文档实用文档∵BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN∴平面PMN⊥平面PBC．（10分）又PM＝PN，∠PMN＝60°，∴△PMN为正三角形．∴MG⊥PN．又平面PMN∩平面PBC＝PN，∴MG⊥平面PBC．（12分）F是AD的4等分点，靠近A点的位置（13分）考点：立体几何的综合问题3．（1）见解析；（2）见解析；（3）45.【解析】1试题分析：（1）取CE中点P，连接FP、BP，根据中位线定理可知FP||DE，且且FP=DE.，21而AB||DE，且AB=DE.则ABPF为平行四边形，则AF||BP，AF平面BCE，BP⊂平面BCE，2满足线面平行的判定定理，从而证得结论；（2）根据AB平面ACD，DE||AB，则DE平面ACD，又AF⊂平面ACD，根据线面垂直的性质可知DEAF．又AFCD，CDIDED，满足线面垂直的判定定理，证得AF平面CDE，又BP||AF，则BP平面CDE，BP平面BCE，根据面面垂直的判定定理可证得结论；（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，根据线面垂直求出平面BCE的法向量n，而m=（0，0，1）为平面|mn|ACD的法向量，设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，根据cos可求出所|m||n|求．试题解析：（1）解:取CE中点P,连结FP、BP,1∵F为CD的中点,∴FP||DE,且FP=DE.21又AB||DE,且AB=DE.∴AB||FP,且AB=FP,2∴ABPF为平行四边形,∴AF||BP又∵AF平面BCE,BP平面BCE,∴AF||平面BCE∵△ACD为正三角形,∴AFCD.∵AB平面ACD,DE||AB,∴DE平面ACD,又AF平面ACD,∴DEAF.又AFCD,CD∩DE=D,∴AF平面CDE又BP||AF,∴BP平面CDE.又∵BP平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE法一、由（2）,以F为坐标原点,FA,FD,FP所在的直线分别为x,y,z轴（如图）,建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2,则C（0,—1,0）,B(3,0,1),E,(0,1,2).v设n(x,y,z)为平面BCE的法向量，nvCBuuuv0,nvCEuuuv0,3xyz0，令n=1,则nv(0,1,1)2y2z0显然,m(0,0,1)为平面ACD的法向量.设面BCE与面ACD所成锐二面角为, |mn| 1 2则cos.45.|m||n|22即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45法二、延长EB、DA,设EB、DA交于一点O,连结CO.则面EBCI面DACCO.由AB是EDO的中位线,则DO2AD.在OCD中QOD2AD2AC,ODC600.OCCD,又OCDE.OC面ECD,而CE面ECD,OCCE,ECD为所求二面角的平面角在RtEDC中，QEDCD，ECD450即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45.考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．4．证明见解析【解析】试题分析：：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明线面平行，需证线线平行，只需要证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.uuuruuuruuur试题解析：（1）如图，以D为原点,以DA,DC,DP为方向向量建立空间直角坐标系Dxyz,则P(0,0,2),C(0,2,0),G(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),A(2,0,0).AP(2,0,2),EF(0,1,0),EG(1,11).r设平面EFG的法向量为n(x,y,z)ruuurnEF0,y0, xz,ruuur 即 令x1nEG0,xyz0.y0.r则n(1,0,1). ruuur ruuurQnAP1(2)00120,nAP.又AP平面EFG,AP//平面EFG.（2）底面ABCD是正方形,ADDC,又PD平面ABCDADPD.又PDCDD,AD平面PCD向量DA是平面PCD的一个法向量,DA(2,0,0)又由（1）知平面EFG的法向量rn(1,0,1).uuurr uuurr DAn 2 2cosDA,nuuurr.|DA||n|222二面角GEFD的平面角为450.考点：（1）证明直线与平面平行；（2）利用空间向量解决二面角问题.5．（Ⅰ）详见解析;（Ⅱ）.3【解析】试题分析：（Ⅰ）取AB的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面ABC，从而 1 1ADBC，由线面垂直得AABC．由此能证明ABBC．（Ⅱ）方法一：连接CD，1由已知条件得ACD即为直线AC与平面ABC所成的角，AED即为二面角1AACB的一个平面角，由此能求出二面角AACB的大小．解法二（向量法）：由 1 1（1）知ABBC且BB底面ABC，所以以点B为原点，以BC、BA、BB所在直线分 1 1别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Bxyz，设BCa，则A(0,2,0)，B(0,0,0)， uuur uuur uuur uuurC(a,0,0)，A(0,2,2)，BC(a,0,0)，BA(0,2,2)，AC(a,2,0)，AA(0,0,2)， 1 1 1ur求出平面ABC的一个法向量n(x,y,z)，设直线AC与平面ABC所成的角为，则 1 1 1uuurur ACgn 2 1 uuur得sinuuurur1 ，解得a2，即AC(2,2,0)，求出平面 6 6ACn 4a2221uurAAC的一个法向量为n(1,1,0)，设锐二面角AACB的大小为，则1 2 1uruur uruur ngn 1 coscosn,nur1uu2r，且(0,)，即可求出锐二面角AACB的大 1 2 nn 2 2 1 1 2小.试题解析：解（1）证明：如图，取AB的中点D，连接AD，因AAAB，则ADAB 1 1 1由平面ABC侧面AABB，且平面ABCI侧面AABBAB，1 1 1 1 1 1 1得AD平面ABC，又BC平面ABC，所以ADBC.1 1因为三棱柱ABC—ABC是直三棱柱，则AA底面ABC，所以AABC. 111 1 1又AAIAD=A，从而BC侧面AABB，又AB侧面AABB，故ABBC. 1 1 1 1 1-------6分解法一：连接CD，由（1）可知AD平面ABC，则CD是AC在平面ABC内的射影 1 1∴ACD即为直线AC与平面ABC所成的角，则ACD=在等腰直角AAB 1 6 11中，AAAB2，且点D是AB中点，∴ADAB2，且ADC=， 1 1 212ACD=6∴AC22过点A作AEAC于点E，连DE，由（1）知AD平面ABC，则ADAC，且 1 1 1AEIADA∴AED即为二面角AACB的一个平面角且直角AAC中： 1 1 AAAC 22226AE1 ，又AD=2，ADE=∴ AC 23 321 AD 2 3sinAED=，AE2623 且二面角AACB为锐二面角∴AED=，即二面角AACB的大小为 1 3 1 3----12分解法二（向量法）：由（1）知ABBC且BB底面ABC，所以以点B为原点，以1BC、BA、BB所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示，且设1 uuur uuurBCa，则A(0,2,0)，B(0,0,0)，C(a,0,0)，A(0,2,2)，BC(a,0,0)，BA(0,2,2)， 1 1uuurAC(a,2,0)，uuur ur uuurur uuururAA(0,0,2)设平面ABC的一个法向量n(x,y,z)，由BCn，BAn111111得：xa0 ur 令y1，得x0,z1，则n(0,1,1)2y2z0 1设直线AC与平面ABC所成的角为，则 1 6uuurur ACn1 2 1，解得a2，即uACuur(2,2,0)得sinuuurur 6 ACn 4a2221 uur uur又设平面AAC的一个法向量为n，同理可得n(1,1,0)，设锐二面角AACB的大 1 2 2 1实用文档实用文档实用文档小为，则uruur uruur nn 1 coscosn,nur1uur2，且(0,)，得 1 2 nn 2 2 3 1 2∴锐二面角AACB的大小为. 1 3考点：1.用空间向量求平面间的夹角；2.空间中直线与直线之间的位置关系．6．（1）证明见解析；（2）450【解析】试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（1）证明：QF,G分别为PB，BE的中点，FGPPE.又QFG平面PED，PE平面PED，FGP平面PED.（2）解:QEA平面ABCD，EAPPD，PD平面ABCD.QAD,CD平面ABCD,PDAD，PDCD.Q四边形ABCD是正方形，ADCD.以D为原点,分别以直线DA,DC,DP为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设EA1.QADPD2EA,D0,0,0，P0,0,2，A2,0,0，C0,2,0，B2,2,0，E(2,0,1),uuur uuurPB(2,2,2),PC(0,2,2).QF，G，H分别为PB，EB，PC的中点，F1,1,1，G(2,1,1)，H(0,1,1),GFuuur(1,0,1),GHuuur(2,0,1). 2 2 2zzyxHPGFEDCBAuuurnGF0（解法一）设n(x,y,z)为平面FGH的一个法向量，则1uuur ,1 11 nGH01 1即x12z10，令y1，得n(0,1,0).2x1z0 1 1121uuurnPB0设n(x,y,z)为平面PBC的一个法向量,则2uuur ,2 2 2 nPC022x2y2z0即2 2