2022年高考数学尖子生强基校考讲义专题10：数列与极限【原卷版】

2022年高考数学尖子生强基计划专题10数列与极限真题特点分析：【2020武大6】两个半径为实心球体，它们的球心相距.设包含这两个实心球体的最小实心球的体积为，则（）A. B. C. D.二、知识要点拓展一．数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个常数，那么就说数列以为极限.注：不一定是中的项.二．几个常用的极限：（1）（为常数）;（2）（3）（）.（4）（，且）（5）三．数列极限的四则运算法则：设数列、，当,时：（）四．无穷等比数列：若无穷等比数列，其所有项的和（各项的和）为：．五．常见的数列极限可以归纳为两大类:第一类是两个关于自然数的多项式的商的极限:当时,上述极限不存在.第二类是关于的指数式的极限:当或时,上述极限不存在.特殊数列的极限：，是常数）；（2）；（3）（，为常数）；（4）．下面证明第四个公式证明：令，取自然对数得到，令，得，由洛比达法则得，即所以：，则，即．另外，数列是单调递增的，理由如下：由个正实数的几何平均数它们的算术平均数）有，所以。夹逼定理：如果数列、以及满足下列条件：从某项起，即当（其中），有（）；且；那么数列的极限也存在，且三．分期付款问题：分为两种类型：等额本金、等额本息。等额本金是这样一种还款方式：在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息。这样，由于每月的还款本金额固定，而利息越来越少，因此贷款人起初还款压力较大，但是随时间的推移每月还款数额越来越少。等额本金贷款计算公式：每月还款金额=（贷款本金还款月数）+（本金-已归还本金累计额）×每月利率。等额本息是这样一种还款方式：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）。设贷款本金为，月利率为，还款月数为，则每月还款额计算公式为：。三、例题精讲例1．（复旦）设是的展开式中项的系数（），则极限（）（A）15（B）6（C）17（D）8例2．（清华）的整数部分为，小数部分为。求；求；求。例3．（上海交大）如图所示，设曲线上的点与轴上的点顺次构成等腰直角三角形，直角顶点在曲线上。试求的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在。例4．（上海交大）两人轮流掷一个骰子，第一次由先掷，若掷到一点，下次仍由掷；若掷不到一点，下次换掷。对同学同样适用该规则。如此依次投掷，记第次由掷的概率为。求与的关系；求。例5．（北京理）已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于.（1）证明：，且；（2）证明：当时，成等比数列.例6．对于数列若存在常数，对任意的，恒有则称数列为．首项为1，公比为的等比数列是否为？请说明理由；设是数列的前项和，给出下列两组论断；A组：①数列是②数列不是B组：③数列是④数列不是请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题．判断所给命题的真假，并证明你的结论；（3）若数列、都是，证明：数列也是．例7．（上海交大）求极限．例8．（武大）设二次函数过点，且满足。数列满足。确定的表达式；证明：；证明：。五、真题训练1.（复旦）设，则（）。（A）2（B）（C）（D）64（同济）设、都是公差为2的等差数列，其首项满足：。设，则数列的通项。（复旦）。（复旦）设，则。5.（上海交大）数列中，，此数列的通项公式为。（复旦）设，其中为整数，求时，的极限。7.（复旦）一圆锥的地面半径为12，高为16，球内切于圆锥，球内切于圆锥侧面，与球外切，，依次类推。求所有这些球的半径的通项公式；所有这些球的体积分别为，求。（同济）设数列中，，求。（清华）设正三角形边长为，是的