高数经济数学微积分第二版1公开课获奖课件

“高等数学”课程所要学习内容及内容间互相关系第1页第一章函数与极限第2页一、集合１．集合概念对于集合，我们并不陌生，一般把具有某种特定性质事物全体称为一种集合.而把构成这个集合每一种事物个体称为该集合元素．如下都可以作为集合例子：第3页全体实数全体有理数全体正整数我们常常用到得都是数集——所有元素都是数集合.第4页如下某些数集是我们常常用到：全体非负整数集合：全体正整数集合：全体整数集合：全体有理数集合：全体实数集合：数集间关系:第5页2.区间:是指介于某两个实数之间全体实数.这两个实数叫做区间端点.称为开区间,称为闭区间,区间长度定义:两端点间距离(线段长度)称为区间长度.第6页半开半闭区间：无穷区间：用图表达更清晰第7页3邻域：去心邻域：左邻域右邻域试着在图中表达出来.第8页二、函数概念定义1设D是一个非空实数集，若存在对应关系f，对D中任意实数x，依照对应关系f，都有唯一实数y与之对应，则称f是定义在D上函数，记作与实数x0对应实数y0称为函数在点x0处值，简称函数值，记作或.数集D称为函数f定义域，函数值集合称为函数f值域．

x称作自变量,y称作因变量．讨论：定义中有哪些关键词？决定一种函数有哪些重要原因？答：1.定义域、对应关系是确定函数两大要素。第9页假如自变量在定义域内任取一种数值时，对应函数值总是只有一种，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．函数定义域确实定：（1）由算式表达函数，定义域是自变量所能取使算式故意义一切实数构成集合.（2）有实际意义函数，根据实际意义确定.第10页例1Gauss函数，不超出自变量最大整数几种特殊函数举例阶梯曲线答如????第11页例2符号函数例3分段函数例4Dirichlet函数自变量在不一样样范围内取值时，函数表达式也许不一样样，这样函数称为分段函数。第12页曲线极坐标方程“三毛在你东偏北60度”你与否可以精确地确定对方位置？从该例可以看出，我们不仅可以运用平面直角坐标系坐标确定一种点．还可以运用距离和角度这样一组数来确定一种点．你从平面中一个点出发作一条射线，再选定一种长度单位和角正方向（一般取逆时针方向），点称为极点．射线称为极轴.再懂得“他距离你50公里”，能确定他位置了吗？这就是极坐标系，第13页点P到极点距离r，称为点P极径；所以在极坐标系下，平面上任一点P（除极点外）都能够与一个二元有序数组建立一一对应关系．称二元有序数组为点P极坐标.给定平面中一种点（非原点）都可以确定一对数与它对应：例如：图中M也能够记作（当时）.能够记为（当时）；极轴到射线转角，称为点P极角，要求（或）．→第14页注：极点是唯一极坐标不确定点，其极径，极角能够任意取值．讨论：在极坐标系下分别是什么图形？答：：射线：半径为a圆第15页将直角坐标系与极坐标系原点重叠，极轴与x轴正半轴重叠，你能给出极坐标与直角坐标之间转化关系吗？那么则极坐标与直角坐标之间转化关系为：第16页运用极坐标可以建立平面中图形与方程间一一对应．例：方程表达以极点为中心、半径为2圆；普通极坐标系下曲线方程能够表示为或，由后者能够看出是函数.答：将带入到极坐标方程中，得方程用极坐标表示就是将带入到直角坐标方程中，得你能用直角坐标系和极坐标系之间关系验证这两个结论吗？第17页极坐标常用函数举例：圆圆阿基米德螺线三叶玫瑰线心形线第18页这就得到一种D’到D函数，称其为函数f反函数，函数

y=3x+1，对任意，都有y唯一取值与其对应；称为函数y=3x+1,反函数.三、反函数反过来，由这个对应关系，对每个都有唯一与其对应。反函数：设函数值域为D’，假如对任意都有唯一满足f(x)=y，通常记作一般，有反函数概念：比如因为是到一一对应，所以，它存在反函数，记作第19页同一条曲线从两个不一样样角度描述了变量x和y同样对应关系.所以，函数图形与它反函数图形是同一个．根据习惯，反函数一般也用x表达自变量，用y表达对应函数值，于是通常将函数

反函数记为改写改写第20页由(x,y)与(y,x)关于直线对称.

所以，函数图形与它反函数图形关于直线对称.而将变成了符号改变造成了上点(x,y)变成了上点(y,x)，我们知道函数与图形是同一个.第21页第22页我们知道钟摆振动周期四、复合函数摆长重力加速度(其中l0为温度为0

0C时摆长,为伸缩系数.)而摆长会随温度改变而伸缩，则当温度为t0C时摆长为下面研究温度变化对钟表快慢影响建立钟摆周期T

和温度t

之间函数关系：代入称为复合函数。第23页第24页复合函数：设有函数，则称定义在一般，有复合函数概念：例如：复合为函数复合为函数复合为函数第25页所以能够限制x，如例如：能够看到，由得考虑函数不过，对函数要求得到复合函数第26页注意:2.不是任何两个函数都可以复合成一种复合函数;1.复合函数可以由两个以上函数通过复合构成.第27页五、函数四则运算函数定义域分别为定义这两个函数四则运算为和(差)积商第28页六、基本初等函数与初等函数在中学里我们学习了下面这些函数.1．常值函数2．幂函数3．指数函数4．对数函数5．三角函数6．反三角函数基本初等函数通过有限次复合、有限次四则运算得到且能用一种算式表达函数称为初等函数.基本初等函数有限次复合有限次四则运算第29页双曲函数第30页七、几种具有特殊性质函数1.有界函数从字面意思上理解什么是有界?什么是无界?我们能找到数K1,K2得使函数值在K2

和K1之间.对于给定正数K1K2K3……，总有函数值可以“超过”它.第31页有界与无界：假如存在正数M，使得则称函数在X上有界，而M称为在X上一个界；不然称函数在X上为无界函数，也简称在X上无界．一种在某数集上有界函数，它界唯一吗？显然函数界不唯一，若M为函数一种界，则不小于M数（如M1）都可以作为它界.从函数有界定义来看，所谓函数有界一定是在整个定义域有界吗？第32页再给出最大值与最小值概念．设函数在区间上I有定义，若存在点使得对于任意，都有成立，则称与分别是函数在区间I上最大值与最小值，而称分别为该函数最大值点与最小值点．最大值最小值最大值点最小值点第33页比如：函数有最大值1，最小值-1.与分别是其最大值点与最小值点．讨论：一种函数在某指定范围内一定有最大值、最小值吗？第34页在定义域内既没有最大值也没有最小值；在定义域内只有最小值零而无最大值；y=x在区间(-1,1)内既无最大值也无最小值．可见，并不是每一种函数在指定范围内均有最大值、最小值．显然，假如函数在区间上有最大值与最小值，那么在区间上有界．不过反过来未必成立．请分别举出这样例子.第35页2.单调函数怎样描述函数单调递增（减）性质呢？单调递增函数单调递减函数设函数f(x)定义域为D，区间，若对于任意两点，当时，恒有则称f(x)为区间I上单调递增（递减）函数．单调递增与单调递减函数统称为单调函数.定义中有哪些关键词？单调递增函数单调递减函数第36页

实际上，有些函数在整个定义域不一定是单调，但例如：在区间内单调递增；在区间内单调递减.若f(x)在其定义域一种子区间I上单调，称I为f(x)单调增区间单调减区间在定义域R内不单调；值得注意是，定义中并没有规定讨论函数在整个定义域内单调性．它却在定义域内一种子区间上单调．单调区间．第37页3.奇偶函数函数f(x)图像有关y轴对称，我们称函数f(x)为偶函数；函数f(x)图像有关原点对称，我们称函数f(x)为奇函数.奇函数偶函数若函数y=f(x)定义域为关于原点对称区间D，而且对于任意，恒有成立，则称f(x)为D上偶函数；假如对于任意，恒有