演示文稿第九章强理论和组合变形

（优选）第九章强度理论和组合变形当前1页，总共79页。9.1强度理论的概念对于单向应力状态，比如轴向拉压，其强度条件为：对于复杂应力状态，危险点的应力并不取决于横截面上的应力，也不仅仅取决于最大应力，而需要考虑各个方向的应力的共同作用材料破坏的主要因素与应力状态之间存在何种关系？长期生产实践中，人们提出某些关于材料破坏的假说，称为强度理论，常用的有4种。材料破坏的形式主要有两类：屈服破坏断裂破坏当前2页，总共79页。9.2常用的强度理论最大拉应力理论（第一强度理论）观点：破坏条件：强度条件：最大拉应力是引起材料断裂破坏的主要因素，即认为无论是单向或复杂应力状态，第一主应力是主要破坏因素脆性材料的破坏形式是断裂没有考虑第2、3主应力的影响当前3页，总共79页。最大伸长线应变理论（第二强度理论）观点：破坏条件：强度条件：最大伸长线应变是引起材料断裂破坏的主要因素，即认为无论是单向或复杂应力状态，是主要破坏因素脆性材料的破坏形式是断裂考虑第2、3主应力的影响极限应变当前4页，总共79页。最大切应力理论（第三强度理论）观点：破坏条件：强度条件：最大剪应力是引起材料屈服破坏的主要因素，即认为无论是单向或复杂应力状态，是主要破坏因素根据应力状态分析低碳钢拉伸斜截面最大剪应力计入安全系数当前5页，总共79页。形状改变比能理论（第四强度理论）观点：破坏条件：强度条件：形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，即认为无论是单向或复杂应力状态，是主要破坏因素轴向拉伸当前6页，总共79页。综合四个强度理论相当应力一般情况下塑性材料宜采用第三、第四强度理论脆性材料宜采用第一、第二强度理论当前7页，总共79页。

但是，无论是塑性材料还是脆性材料，在三向拉应力接近相等状态下，都以断裂形式破坏，宜采用最大拉应力理论；在三向压应力接近相等状态下，都引起塑性变形，宜采用第三、第四强度理论。复杂应力状态下构件的强度条件的另一种形式式中：n----构件的工作安全系数；

[n]----构件的许用安全系数；

0---材料的极限应力；

r----相当应力；当前8页，总共79页。（1）通过受力分析确定构件的外力、内力、危险截面。（2）通过应力分析确定危险截面上的危险点。（3）从构件的危险点处截取单元体，计算主应力。（4）选用适当的强度理论计算相当应力eq。（5）确定材料的许用拉应力[]，将其与eq比较。9.3强度理论的应用分析步骤：当前9页，总共79页。先计算oxy平面内的主应力，然后计算工作安全系数例

从某构件的危险点处取出一单元体如图7-8a所示，已知钢材的屈服点s

=

280MPa.试按最大剪应力理论和形状改变比能理论计算构件的工作安全系数。（1）求主应力当前10页，总共79页。（2）计算工作安全系数通过计算可知，按最大剪应力理论比按形状改变比能理论所得的工作安全系数要小些。因此，所得的截面尺寸也要大一些。当前11页，总共79页。例

图示单向与纯剪切组合应力状态，是一种常见的应力状态，试分别根据第三与第四强度理论建立相应的强度条件。可知，该微体的最大与最小正应力分别为解：由公式相应的主应力为由第三强度理论得：由第四强度理论得：当前12页，总共79页。例．No20a工字钢梁受力如图，已知材料的许用应力，校核其强度。例1图当前13页，总共79页。解：（一）画梁的剪力图和弯矩图危险截面发生在C、D截面MC=32KN·m

QC=100KN

当前14页，总共79页。（二）强度校核a．正应力强度校核（K1）点先绘出C截面正应力分布图和剪应力分布图。C截面当前15页，总共79页。b．剪应力强度校核(K2)点C截面正应力和剪应力强度条件均满足。当前16页，总共79页。c．校核腹板和翼板交接处（K3）点的强度。K3点处的复杂应力状态，绘出K3点的应力状态图。C截面当前17页，总共79页。说明钢梁在K3点处的相当应力超过许用应力，不能满足强度要求。必须增大工字钢的型号，才能满足钢梁在K3点处的强度。由于钢梁为塑性材料，K3点处的强度可由第三或第四强度理论进行校核。当前18页，总共79页。在纯剪切应力状态下：用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比例：填空题。当前19页，总共79页。解：在纯剪切应力状态下，三个主应力分别为第三强度理论的强度条件为：由此得：剪切强度条件为：按第三强度理论可求得：当前20页，总共79页。第四强度理论的强度条件为：由此得：剪切强度条件为：按第四强度理论可求得：当前21页，总共79页。在纯剪切应力状态下：用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比例：填空题。0.50.577当前22页，总共79页。第三强度理论和第四强度理论的相当应力分别为σr3及σr4，对于纯剪应力状态，恒有σr3／σr4＝＿＿＿。例：填空题。当前23页，总共79页。危险点接近于三向均匀受拉的塑性材料，应选用

强度理论进行计算，因为此时材料的破坏形式为

。例：填空题。第一脆性断裂当前24页，总共79页。例：圆轴直径为d，材料的弹性模量为E，泊松比为μ，为了测得轴端的力偶ｍ之值，但只有一枚电阻片。

(1)试设计电阻片粘贴的位置和方向；

(2)若按照你所定的位置和方向，已测得线应变为

0，则外力偶ｍ＝？CL10TU60当前25页，总共79页。解：(1)将应变片贴于与母线成45°角的外表面上(2)当前26页，总共79页。9.4组合变形的概念在外力的作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况，就是组合变形在小变形和线弹性的前提下，可以采用叠加原理研究组合变形问题所谓叠加原理是指若干个力作用下总的变形等于各个力单独作用下变形的总和（叠加）当前27页，总共79页。RAHATCABP24kN_NB2m1m1.5mPACTxTy12kN·m_M举例当前28页，总共79页。当前29页，总共79页。叠加原理应用的基本步骤：将载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产生一种基本变形分析每种载荷的内力，确定危险截面分别计算构件在每种基本变形情况下的危险截面内的应力将各基本变形情况下的应力叠加，确定最危险点选择强度理论，对危险点进行强度校核当前30页，总共79页。9.5弯曲与拉伸的组合杆件在外力作用下同时产生弯曲和拉伸（压缩）变形称为弯曲与拉伸的组合当前31页，总共79页。偏心拉伸也形成了弯曲与拉伸的组合变形链环受力立柱受力当前32页，总共79页。拉伸与弯曲组合的应力分析在Px作用下：在Py作用下：当前33页，总共79页。危险截面处的弯矩抗弯截面模量根据叠加原理，可得x

横截面上的总应力为强度条件为当前34页，总共79页。例8-1

悬臂吊车,横梁由25a

号工字钢制成，l=4m，电葫芦重Q1=4kN，起重量Q2=20kN,=30º,[]=100MPa，试校核强度。取横梁AB为研究对象，受力如图b所示。梁上载荷为P=Q1+Q2=24kN，斜杆的拉力S可分解为XB和YB（1）外力计算横梁在横向力P和YA、YB作用下产生弯曲；同时在XA和XB作用下产生轴向压缩。这是一个弯曲与压缩组合的构件。

当载荷移动到梁的中点时，可近似地认为梁处于危险状态。当前35页，总共79页。（2）内力和应力计算由横梁的弯矩图可知在梁中点截面上的弯矩最大当前36页，总共79页。从型钢表上查25a

号工字钢则危险截面上的压应力为

横梁所受的轴向压力为当前37页，总共79页。梁中点横截面上，下边缘处总正应力分别为（3）强度校核此悬臂吊车的横梁是安全的当前38页，总共79页。例8-2

钻床P

=15kN，e

=

40cm，[T]=35MPa,[C]=120MPa.试计算铸铁立柱所需的直径。

（1）计算内力将立柱假想地截开，取上段为研究对象，由平衡条件，求出立柱的轴力和弯矩分别为（2）选择立柱直径

求解d的三次方程当前39页，总共79页。满足强度条件，最后选用立柱直d

=

12.5cm解得立柱的近似直径取d=12.5cm,再代入偏心拉伸的强度条件校核设计中常采用的简便方法：

因为偏心距较大，弯曲应力是主要的，故先考虑按弯曲强度条件设计截面尺寸当前40页，总共79页。例6-9图示梁，承受集中载荷F作用。已知载荷F＝10kN，梁长l＝2m，载荷作用点与梁轴的距离e＝l/10，方位角α＝20º，许用应力[σ]=160MPa。试选择一工字钢型号。解：1．梁的内力分析首先，将载荷F沿x和y轴分解，得相应分力为然后，将Fx平移到梁的轴线上，得轴向力Fc和附加力偶Me。当前41页，总共79页。2、梁的截面设计梁处于弯拉组合变形状态，横截面A为危险截面，最大正应力为

在横向力Fy与力偶矩Me作用下，梁产生弯曲变形；在轴向力Fc作用下，梁轴向受拉。梁的弯矩与轴力图分别如图所示。因而强度条件为在上式中，包含截面面积A与抗弯截面系数Wz两个未知量，而对于工字钢截面，由于二者间不存在确定的函数关系，因此，由上式尚不能确定未知量A与Wz。考虑到最大弯曲正应力σM，max一般均大于或远大于轴向拉伸应力σN，因此，可首先按弯曲强度选择截面型号、然后再按弯拉组合受力校核其强度，并根据需要进一步修改设计。当前42页，总共79页。在不考虑轴向拉伸应力σN的情况下，梁的强度条件为由型钢规格表中查得，No12.6工字钢的抗弯截面系数Wz＝7.75×10-5m3，截面面积A＝1.81×10-3m2。因此，如果选择Nol2．6工字钢作梁，则由式(a)得截面A的最大正应力为可见，选择No12.6工宇钢作梁满足强度要求。当前43页，总共79页。

由于钢板在截面1-1处有一半圆槽，因而外力P对此截面为偏心拉伸，其偏心矩之值为截面1-1的轴力和弯矩分别为例8-3一带槽钢板受力如图，已知钢板宽度b=8cm,厚度=1cm,槽半径r=1cm,P=80kN,钢板许用应力[]=140MPa。试对此钢板进行强度校核。当前44页，总共79页。轴力N和弯矩在半圆槽底部的a

点处都引起拉应力（图b)，a点即为危险点。最大应力为计算结果表明，钢板在截面1-1处的强度不够。当前45页，总共79页。

由分析知，造成钢板强度不够的原因，是由于偏心拉伸而引起的弯矩Pe，使截面1-1的应力显著增加。为了保证钢板具有足够的强度，在允许的条件下，可在槽的对称位置再开一槽如图c。这样就避免了偏心拉伸。此时钢板在截面1-1处满足强度条件。此时截面1-1上的应力(如图d)为当前46页，总共79页。9.6弯曲与扭转的组合1.弯扭组合是工程中常见的变形组合形式当前47页，总共79页。2.弯扭组合常用计算公式的建立

将力P向A端面形心平移，得到一横向力P和矩为TA=PR的力偶，杆AB受力情况如图b。圆杆的弯矩图和扭矩图如图c、d危险截面在杆的根部（固定端）当前48页，总共79页。在杆的根部取一单元体分析计算主应力第三、第四强度理论当前49页，总共79页。

例8-4

手摇绞车d=3cm,D=36cm，l=80cm，[]=80MPa.按第三强度理论计算最大起重量Q.将载荷Q向轮心平移，得到作用于轮心的横向力Q和一个附加的力偶，其矩为TC=QD/2。轴的计算简图如图b所示。

（1）外力分析绞车轴的弯矩图和扭矩图如图c、d所示。（2）作内力图当前50页，总共79页。

由图可见危险截面在轴的中点C处，此截面的弯矩和扭矩分别为：（3）求最大安全载荷

即最大安全载荷为790N。当前51页，总共79页。例：图示传动轴AB，由电机带动。已知电机通过联轴器作用在截面上的扭力偶矩为M1＝1kN·m,胶带紧边与松边的张力分别为FN与FN´,且FN=FN´,轴承C与B间的距离l=200mm,胶带轮的直径D=300mm，轴用钢制成，许用应力[σ]=160MPa，试按第四强度理论确定轴AB的直径。解：1.外力分析将胶带张力FN与FN´向铀AB的轴线简化，得作用在截面E的横向力F与力偶矩M2，其值分别为当前52页，总共79页。如上所述，作用在截面A上的力偶矩为M1，所以，由平衡方程得2.内力分析横向力F使轴弯曲，扭力矩M1与M2使轴扭转，轴的弯矩图与扭矩图分别如图所示，横截面E-为危险截面，该截面的弯矩与扭矩分别为当前53页，总共79页。3.设计轴径由要求由此得轴AB的直径为取当前54页，总共79页。圆轴双向弯曲的弯矩问题xyzPxPyPzPMzMyL

1公式仅对圆轴复合弯曲适用

2公式可用于任何受力形式的圆轴的复合弯曲部分

3平面弯曲可看成它的特例PyPzM=PLzy当前55页，总共79页。例：

图示圆轴，在载荷Fp与F作用下处于平衡状态。已知载荷Fp＝1．6kN，轴的外径D＝30mm、内径d＝27mm，摇臂尺寸Rl＝100mm，R2＝150mm，许用应力[σ]=300MPa。试按第四强度理论校核轴的强度。解：1.外力分析首先，将外力F沿坐标轴分解，并将载荷向轴线简化，得轴的计算简图如图所示。根据平衡方程得当前56页，总共79页。并由此得

2内力分析扭力矩M1与M2使轴扭转;分力Fy使轴在铅垂面(即x-y面)内弯曲；载荷Fp与分力Fz使轴在水平面(即x-z)内弯曲。轴的扭矩、弯矩Mz与Mv图分别如图所示。则横截面上的最大弯曲正应力为对于圆形截面，任一直径均为截面约对称轴。因此，如果先求得横截面上的总弯矩为总弯矩图如图所示。可以证明，CB的总弯矩图必为凹曲线。当前57页，总共79页。3．强度校核显然，截面C＋为危险截面，该截面的总弯矩与扭矩分别为得轴A0危险点处的相当应力为由其值小于许用应力，说明该轴符合强度要求。当前58页，总共79页。例：图示圆截面铸铁杆，承受轴向力Fl、横向力F2与扭力矩M1作用。试校核杆的强度。已知载荷F1＝30kN，F2＝l.2kN，M1=700N·m,杆径d=80mm，杆长l=800mm，许用应力[σ]=35MPa。解：1内力与应力分析杆的内力如图所示，截面A为危险截面，其顶点a为危险点，在该点处，同时作用有最大拉应力与最大扭转切应力．其值分别为当前59页，总共79页。2．强度校核

a点处微体各截面应力如图所示，即处于单向与纯剪切的组合应力状态。相应的主应力为可见，σ1>|

σ3

|，应按第一强度理论校核杆的强度。显然说明杆符合强度要求。σ1＜[σ]当前60页，总共79页。例图示钢制实心圆轴，其齿轮C上作用铅直切向力5KN，

径向力1.82KN；齿轮D上作用有水平切向力10KN，径向力

3.64KN。齿轮C的直径dC=400mm，齿轮D的直径dD=200mm。

圆轴的容许应力。试按第四强度理论求轴的直径。例3图当前61页，总共79页。解（一）外力分析例3图将各力向圆轴的截面形心简化，画出受力简图。受力简图当前62页，总共79页。扭矩：弯矩：总弯矩为：（二）内力分析画出内力图如图，从内力图分析，B截面为危险截面。B截面上的内力为：当前63页，总共79页。（三）应力分析a点的位置则可由下式求解：B截面正应力分布图B截面剪应力分布图绘出B截面的正应力与剪应力分布图，确定危险点为a、b两点，其应力状态见图。当前64页，总共79页。（四）按第四强度理论求轴所需直径由

可得：解出：d=5.19mm

当前65页，总共79页。例

某齿轮轴，n=265r/min、NK=10kW、D1=396mm，D2=168mm，

=20o

，d=50mm，[]=50MPa。校核轴的强度。取一空间坐标系Oxyz,将啮合力P1、P2分解为切向力P1z

、

P2y和径向力

P1y

、

P2z，它们分别平行于y轴和z轴。再将两个切向力分别向齿轮中心平移，亦即将P1z、P2y平行移至轴上，同时加一附加力偶。当前66页，总共79页。先将结构受力图进行简化TC和TD使轴产生扭转，P1y、P2y和P1z、P2z则分别使轴在平面Oxy和Oxz内发生弯曲（1）计算外力当前67页，总共79页。（2）作内力图、并确定危险截面平面在Oxz内，由平衡条件可求得轴承A、B处的支座反力为：

画出平面