《二项式定理》示范课教案【高中数学苏教版】

第七章计数原理7.4.1二项式定理教学目标教学目标1.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式；2.在通过归纳推理得到一般性结果的过程中，发展逻辑推理素养；3.在运用a+bn教学重难点教学重难点教学重点：用计数原理分析a+bn教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．教学过程教学过程一、新课导入回顾：由多项式的乘法法则可以知道：a+b2a+b3a+b4那么，你能写出a+bn设计意图：通过复习初中学习的多项式乘法，引出新的问题，明确学习目标．二、新知探究问题1：观察a+b2a+b==a追问1：合并同类项之前展开式有多少项？答案：合并同类项之前展开式有a2，追问2：展开式中有哪些不同的项？答案：展开式中的任何一项都是在a+ba+b中的2个括号中各取1个字母相乘得到的，因此展开式中每一项都一定是2次项，因为ab，ba可以合并同类项，所以展开式中有3种不同的项，分别是a2，追问3：各项的系数分别是多少？答案：在这2个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C20种，所以a2恰有1个取b的情况有C21种，所以ab的系数是都取b的情况有C22种，所以b2由此可得：a+b2问题2：观察a+b3===a追问1：合并同类项之前展开式有多少项？答案：合并同类项之前展开式有a3，追问2：展开式中有哪些不同的项？答案：展开式中的任何一项都是在a+ba+ba+b中的3个括号中各取1个字母相乘得到的，因此展开式中每一项都一定是3次项，因此，合并同类项后展开式中有4种不同的项，分别是a3，a2b追问3：各项的系数分别是多少？答案：在这3个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C30种，所以a3恰有1个取b的情况有C31种，所以a2恰有2个取b的情况有C32种，所以ab都取b的情况有C33种，所以b3由此可得：a+b设计意图：本节课的重点就是利用多项式的乘法法则和计数原理对展开式中各项进行分析．该问题的提出，符合学生的思维发展规律，能准确地检验学生对问题分析能力和解决方法的掌握，突出体现本节课的思维方法．问题3：根据上述规律，猜想a+bnn∈答案：a+b由上述过程可知，a+bn展开式是从每个括号中各取1个字母的一切可能乘积的和，每个a+b在参与运算时，都贡献了一个a(或b)，故a+bn展开式的每一项的次数都是n，每一项都具有a追问1：展开式中的各项的系数是如何确定的？答案：对于某个rr=0，1，2，…，n，对应的项an−rbr是由n−r个a+b中选a，r个a+b中选b得到的．由于b选定后，a的选法也随之确定，因此具体地，在这n个括号中，每个都不取b的情况有1种，即Cn0种，所以an恰有1个取b的情况有Cn1种，所以an−1恰有2个取b的情况有Cn2种，所以an−2…恰有r个取b的情况有Cnr种，所以an−r…都取b的情况有Cnn种，所以bn由此可得：a+b这个公式叫作二项式定理，右边的多项式叫作a+bn的二项展开式．其中Cnran−rbr叫作二项展开式的第r+1项(也称Cnrr=0，1思考：a+bn的二项展开式中有几项？有什么特点答案：①展开式的项数：展开式共有n+1项；②每项的特点：展开式中每一项a与b的次数之和为n；二项式系数的上标与b的指数相同；③项的排列方式：按照字母a降幂排列，次数由n递减到0；按照字母b升幂排列，次数由0递增到n．④二项式系数特点：各项的二项式系数依次为Cn0，Cn1，Cn2，…，Cnr，…，Cn追问1：对于a+bn，在合并同类项之前，其展开式共有多少项答案：a+b每个a+b在相乘时，有2中选择，即选a，或者选b，由分步计数原理可知，在合并同类项之前，其展开式共有2n项追问2：若令a=1，b=x，那么a+bn答案：令a=1，b=x，则a+bn设计意图：完成有特殊到一般的归纳过程，训练学生的类比、联想、归纳的探究能力．进一步认识二项式定理的结构特点，初步记忆，也为运用二项式定理做好准备．三、应用举例例1利用二项式定理展开下列各式：（1）a−b6；（2）1+解：（1）a−b==a（2）方法一：1+=1方法二：1+=1=1例2在1+2x7（1）第4项的二项式系数；（2）含x3的项的系数分析：要求展开式中某些特定的项或特定的系数时，可以不必写出全部的展开式，只需利用通项即可．解：（1）由二项式定理可知，在1+2x7的展开式中，第4项的二项式系数为C（2）由二项式定理可知，在1+2x7的展开式中，第r+1项为T当r=3时，1+2x7展开式中含x3的项的系数为思考：一个二项展开式的各项的二项式系数与各项的系数有什么区别？答案：二项展开式的各项的二项式系数只与幂指数n有关；展开式的各项的系数大小不仅与幂指数n有关，还与a，b有关．在一些特殊情况下，展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数相等，例如a，b是系数为1的单项式．例3求1−12x解：设二项展开式中的常数项为第r+1项，即，Tr+1根据题意，得6−2r=0，r=3．因此，二项展开式中的常数项为T4设计意图：学以致用.巩固对两个原理的理解；通过对比两个原理以及不同的解题思路让学生体会到两个计数原理在实际生活中的应用．四、课堂练习1.2a+3b6A.C63C.C632a2.x+a12的展开式中的倒数第4项是A.C129xC.C129a3.(多选)x2A.1 B.3C.4 D.74.若1+3xn的展开式中含x2的项的系数为54，则n=参考答案：1.解：由二项式定理知，2a+