单自由系统的振动小结

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2.1单自由度无阻尼系统的自由振动

一、振动微分方程力学模型如图所示。称质量-弹簧系统（m-k系统）列方程的步骤

1)选取坐标系，坐标原点为静平衡位置。

2）受力分析，画出隔离体受力图。

3）根据牛顿第二定律写原点微分方程。

4）确定系统初始条件的运动状态，即初始条件为备注①原点取在静平衡位置，而不是弹簧变形时的位置；②隔离体图是在沿坐标正方向有一移动情况下的受力。如图：质量块，弹性元件刚度不计质量，则弹簧力牛顿第二定律则

牛牛文库文档分享第2页/共150页思考：①坐标方式改为向左，原点不动，列方程得到什么结论？②如图垂直悬挂系统得到什么结论？静平衡位置时弹簧变形量为，则，对位置x时有

得

二、方程的解令则微分方程的标准式该方程为二阶常系数齐次线性微分方程，其特解为，式中s为待定常数。

牛牛文库文档分享第3页/共150页将特解代入标准式，消去（因为）得特征方程该方程的两个根为共轭虚根，即根据线性系统的叠加原理，得微分方程的特解利用欧拉公式，整理得式中C、D为待定常数，由系统初始条件确定。（）工程上关心的是由初始条件（初始扰动）确定的定解。设系统的运动初始条件为，可得

牛牛文库文档分享第4页/共150页对应初始条件的响应该式说明无阻尼自由振动包括两部分：两部分的频率相同叠加后仍然是同频率的简谐振动式中

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由此可得如下结论：

1、单自由度无阻尼系统的自由振动是简谐振动。（质量m关于平衡位置的运动是对称的，通过平衡位置时，速度最大，而加速度为零；达到最远偏离位置时，速度为零，而加速度最大）。即在初始条件激励（位移、速度或两者同时存在）作用下，其响应是简谐振动。

2、振动频率只取决于系统本身的结构特性（质量、刚度），而与初始条件无关，称其为固有频率。而幅值和相角与初始条件有关。

3、由可知，频率与成正比而与成反比。因此，当系统的质量不变而刚度增加时，固有频率增高；反之，当系统的刚度不变而质量增加时，固有频率降低。这个性质在线性振动系统中具有普遍意义，对连续系统和离散系统都成立，在实际应用中也非常重要。根据这个性质，可通过适当改变系统的刚度和质量来改变系统的固有频率，从而改变系统的振动特性。如：在给小提琴定调时，将弦张紧，使得弦的刚度增加则小提琴的声调升高。

4、振动维持原因是系统有储存动能的惯性元件和储存势能的弹性元件。无阻尼自由振动时，机械能守恒，其大小取决于初始条件和系统参数。振动时动能、势能不断互相转换，势能最小值的位置是系统的静平衡位置。系统有稳定的平衡位置，其动能和势能可以互相转换，在外界激励作用下，才能产生振动。因此，振动总是在平衡位置附近进行。

5、常力只改变系统的静平衡位置，而不影响系统的固有频率、振幅和相位，即不影响系统的振动。因此，在分析振动问题时只要静平衡位置作为坐标原点就可以不考虑常力，这一点对建立系统的运动微分方程很有帮助。注：初始条件同时为零时，此时系统在初始时刻未受到任何扰动，处于静平衡位置。

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2.2单自由度无阻尼系统的固有频率的计算

系统的固有频率是一个重要的物理量，它只与系统的物理参数有关，而与初始条件无关，在进行振动分析时首先需要求得。由m-k系统的力学模型得出固有频率的计算式，对工程实际的复杂系统，可用与原系统效应相等的系统来代替，即等效系统。其固有频率为

固有频率的求解方法：方程法、能量法、瑞雷法等。

一、方程法

根据牛顿定律、动力学定理、达朗伯原理或拉格朗日二类方程等建立系统的微分方程，其的系数就是等效质量，的系数就是等效刚度。即化前系数为1，则前系数为。

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例1：铅垂园轴上端固定，下端装有一均质圆盘，组成扭摆，如图所示。已知轴长L,轴径d，剪切弹性模量G（不计质量），试求扭摆微幅振动的固有频率。解：以圆盘为研究对象，选转角为独立坐标，根据刚体定轴转动微分方程，得式中-圆盘对质心轴的转动惯量，

-轴的扭转刚度。由材料力学可知，圆盘所受的扭矩为（）

G为剪切弹性模量，为轴的截面惯性矩则那么固有频率

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二、能量法

对于复杂的机械系统建立微分方程是比较困难的，而利用系统的能量表达式或机械能守恒求得、，则相当简单。能量法可分为

1、表达式法由表达式求得

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例2：如图所示，均质细杆质量为L,静平衡位置处于水平，弹簧刚度为k，求系统的固有频率。解：杆端D的垂直位移为广义坐标x，原点为o，方向向下，系统的动能为显然则

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例3：如图所示，一半径为r质量为m的均质圆柱体在半径为R的圆柱面内纯滚动，且以圆柱面最低位置为中心左右微幅振动，求系统的频率。解：取连线与铅垂线的夹角为独立坐标。①动能T

圆柱体中心速度圆柱体角速度2、求导法由系统机械能守恒，则T+U=常数，那么

可得微分方程，求得。

牛牛文库文档分享第11页/共150页②势能U

由于是微幅摆动，将附近展为泰勒级数病略去高于的项，即由于T+U=常数，则得

牛牛文库文档分享第12页/共150页3、位置法

对于系统的任意两个瞬时位置1、2，其机械能相等，即通常取：可得

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由例3得知，

可得最大势能因为

得又因

那么

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例4：如图所示，小齿轮数，大齿轮数，传动比，小齿轮和大齿轮对各自轴线的转动惯量分别为，轴1和轴2的扭转刚度分别为。求机构的固有频率。解：选轴2的转角为广义坐标系统动能：

系统势能：

固有频率：

牛牛文库文档分享第15页/共150页三、瑞雷法（瑞利法Rayleigh）（有效质量）

前面讨论的振动系统，是假设弹性元件只有弹性没有质量（理想化），而实际的弹性元件都是有质量的。若弹簧的质量远远小于物体的质量，对系统的振动频率影响不大，可以忽略，否则，应考虑弹簧质量。

如果考虑弹簧质量时，就成为一个连续（分布质量）系统（以后专门讨论），在此介绍一种近似方法—瑞雷法：是把一个具有分布质量的弹簧简化成一个无质量的弹簧和一个集中质量（等效质量）块组成的单自由度系统。运用能量原理求出弹簧的等效质量，然后加到原系统振体的质量上，得到原系统的等效质量。最后根据求得系统较为准确的固有频率。

应用瑞雷法首先假定系统的的“振动形式”，假定的振型越接近实际振型，计算的固有频率就越准确。实践证明“静变形”作为假定振动形式误差是很小的。

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如图所示，设物体的质量m，弹簧质量为，刚度为k，在静平衡位置时弹簧长度为L。

假定弹簧振动形式为：弹簧在振动过程中任一瞬时各截面的位移和一个一端固定的等直杆另一端受轴向载荷作用下各截面的位移一样。根据材料力学可知，等直杆各截面的位移与它到固定端的距离称正比。

设某瞬时物体的位移为x，弹簧距固定端处的位移为，则设瞬时物体的速度为，则弹簧处的速度为

牛牛文库文档分享第17页/共150页设弹簧的线密度为，则弹簧微段的动能为整个弹簧的动能为

所以，弹簧的等效质量为

系统的总动能为振动的动能和弹簧质量的动能之和，即

所以，整个系统的等效质量为

因为系统的势能和忽略弹簧质量时一样，所以系统的等效刚度为

牛牛文库文档分享第18页/共150页自由振动时系统的机械能守恒，则对简谐振动有故则

得

所以

结果表明，应用瑞雷法考虑弹簧质量对系统固有频率的影响时，只需把1/3的弹簧质量当作一个集中质量加到振体上即可。

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例5：如图所示，一均质等截面悬臂梁，长为L，截面惯性矩，质量为，自由端作用有质量为m的载荷，试求系统的固有频率。

解：假设梁的振动形式（动挠度曲线）和梁自由端加载mg时的静挠度曲线相同。则在距梁固定端x处的静挠度为当时，得自由端的静挠度设任一瞬时梁端振体的位移为y，速度为；梁x截面的位移为yx，速度为。则有即

牛牛文库文档分享第20页/共150页那么

该瞬时梁的动能为

所以，梁的等效质量为故系统的等效质量为

梁的刚度和不计梁的质量时一样，即

所以系统的固有频率

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例6：设有一均质等截面简支梁，如图所示，在中间有一集中质量m，梁的质量为，试求系统的固有频率。

解：假定梁在自由振动时动挠度曲线和简支梁中间有集中静挠度载荷mg作用下的静挠度曲线一样。有材料力学可知，位于距支座距离x处的任一单元的位移表达式为式中为中点挠度，有材料力学可知此时，梁的刚度为由于假定振动形式，此时式中都将随时间变化，因此是简谐振动，得

牛牛文库文档分享第22页/共150页那么设单位长度梁的质量为，则整梁的动能为系统的最大动能为

系统的最大势能为

由

得

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四、工程构件和组件的等效刚度1、静变形法

工程构件的刚度不仅与它的几何形状、尺寸有关，还与受力和变形方式有关。如图所示为一端固定的等直圆杆，受轴向载荷作用产生拉压变形；受横向载荷产生弯曲变形；受转矩作用产生扭转变形。所以对应此杆就有拉压刚度、弯曲刚度、扭转刚度。使弹性体的某点沿指定方向产生单位位移（或角位移）需要在该点施加的力（或力矩）称刚度。由定义可知，刚度等于载荷除以对应的变形，所以静载荷除以相应的静变形既得刚度，此法称静变形法。设杆长为L、截面积A、截面惯性矩I、截面极惯性矩、材料弹性模量E、切变模量G。则

牛牛文库文档分享第24页/共150页①拉压刚度：是沿x方向的刚度，在B点处沿x方向的位移（静位移）为

所以B点沿x方向的刚度即拉压刚度为

②弯曲刚度：是沿y方向的刚度，在B点沿y方向加一横向力P，这时杆弯曲变形，根据悬臂等直梁弯曲变形的挠度公式，B点沿y方向的位移为

所以B点沿y方向的弯曲刚度为

牛牛文库文档分享第25页/共150页③扭转刚度：是杆绕x轴转动方向的刚度，在B端绕x轴转动方向施加一转矩，这时杆产生角变形，根据等直园轴的扭转变形公式所以B端绕x轴转动方向的扭转刚度为

由此可知，研究振动方向不同，即使是同一个元件，不同的受力方向其刚度是不同的。工程构件的刚度计算可常用静变形法。

牛牛文库文档分享第26页/共150页2、工程组件的等效刚度（弹簧的并串联）1）并联:如图所示，若设弹簧所受的力分别为则总作用力

式中

推广：若n个刚度分别为弹簧并联，则其等效刚度为若则结论；并联弹簧的等效刚度是各弹簧刚度的总和，即并联弹簧较各组成弹簧“硬”（弹簧并联可以增加刚度）

牛牛文库文档分享第27页/共150页2）串联：如图所示，在整个串联长度上作用力处处相等，即式中

推广：若n个刚度分别为的弹簧串联，则其等效刚度为

若则结论：串联弹簧的等效刚度比原来各弹簧的刚度都小，即串联弹簧较其任一组成弹簧“软”（弹簧串联可以减小刚度）

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特别指出：确定弹性元件的组合方式是并联还是串联，关键在于看它们是“共位移”还是“共力”。并联方式是共位移，串联方式是共力。备注①工程中一些简单元件的刚度（详见樊振江编著的参考书）；②重力和惯性力对等效刚度的影响（详见樊振江编著的参考书）；③判断弹簧的并联与串联不能按表面形式划分，应从力的分析来判断。如图所示

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2.3单自由度粘性阻尼系统的自由振动

无阻尼自由振动由于系统没有能量耗散，所以系统机械能守恒，物体在其平衡位置附近按固有频率进行无限期的等幅简谐振动。在实际中，振动必然有阻尼存在，因此系统的能量不断耗散，振动逐渐减少，直到停止。

能量随时间或距离的耗散称阻尼。阻尼的各种来源：1）在干燥表面或润滑表面上相对滑动时的摩擦阻尼；

2）在磁场或流体中运动的介质阻力；

3）弹性材料的内部阻力；

4）几种不同性质的阻尼同时作用等等。阻尼的机理是相当复杂的，不容易准确描述，甚至于只能测定。本节只限于讨论粘性阻尼。

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当振动系统受到大小与速度称正比，方向与速度相反的力的作用时，所呈现的能量耗散，称为粘性阻尼。如物体沿润滑表面滑动或在流体中低速运动时，或液体从很窄的缝隙里通过等，阻尼缓冲器均视为粘性阻尼，此时阻尼力与物体的运动速度成线性关系，即。如图所示，粘性阻尼系统模型。质量快质量弹性元件刚度阻尼元件阻尼系数阻尼力由牛顿第二定律，得

（粘性阻尼系统的自由振动微分方程）

设其解（s为待定系数）得（特征方程）其根为

牛牛文库文档分享第31页/共150页则微分方程的通解为令时的粘性阻尼系数称临界阻尼系数由得由此可见，仅依赖于系统本身的物理参数，而与系统的阻尼无关。令称阻尼比（它是无量纲的量，决定于系统参数m、k、c，只要有一个变化，都会引起的变化）阻尼比等于系统中实际阻尼系数与临界阻尼系数之比。

牛牛文库文档分享第32页/共150页引入阻尼比，可将微分方程和特征方程改写为另一种形式那么则微分方程的通解为式中是由初始条件决定的常数，可见通解的性质依赖于的性质，而的性质在m、k一定时有仅依赖于阻尼系数c的值。随c的不同，两个根可能是实根、复根、虚根，因此解的性质也就不同。

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下面分别讨论不同取值时系统的运动规律（将以为参变量画在复平面上）

一、的情况（即）又称欠阻尼（小、弱）此时，特征方程的两个根是一对共轭复根，即

令，称阻尼固有频率得代入特解应用欧拉公式变换为式中C、D为待定常数，决定于初始条件。注

牛牛文库文档分享第34页/共150页设，代入上式，得对应初始条件响应

式中由此可得：

1、系统的特征根分别位于复平面左半面与实轴对称的位置上。（在以为半径的圆上关于实轴对称的两点，对应于阻尼自由振动）注：

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2、系统振动（响应）已不再是等幅的简谐振动（因为包含），而是振幅按指数衰减规律衰减，被限制在曲线之内。阻尼比越大，振幅衰减越快，并随时间不断减少的振动，频率为。当时，，振动最终消失，称之为衰减振动。如图所示。

备注：每当时，质量m的曲线与包络线相切，在切点的x值称振幅A，该切点的切线并不是水平线，切点所对应的x值也不是，只有曲线的水平切线点才是对应于，而切点稍向右偏移。若阻尼很小时，两点的差别可以忽略不计。

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3、阻尼对自由振动的影响有两个方面：

①阻尼使系统的周期略有增大，频率略有降低。；

如果阻尼比较小（）时，则变化不大。例如：

所以在时，阻尼对振动频率和周期的影响可以忽略不计。

②阻尼对系统的振幅影响很大。使振动振幅按几何级数衰减，两相邻同向振幅之比为常数。即式中-减幅系数。由此可见，在一个周期内，振幅减缩到初值的。当，即在每一个周期内振幅减少27%，振幅按几何级数衰减，衰减是显著的，有效地抑制了振幅。

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备注：①在实际应用中往往用增加阻尼的方法来限制振动的振幅。②由中的衰减项可知，若两个振动系统的固有频率相同，则阻尼比大的系统其自由振动衰减较快（耗散能量的能力）。如果两个系统的阻尼比相同，则具有较高固有频率的系统其自由振动衰减较快（这就是常说的“高频成分衰减快”）。

③由此可得到一种求阻尼比的方法：为了避免取指数值的不方便，常用对数衰减率（对数减衰）代替减幅系数。在单频振荡衰减过程中，任意两个相继的同号振幅比值的自然对数称对数衰减率。即

（只与有关）从而得当时，如图所示。因此任意两个相继同向振幅之比，即故

所以i为振动循环次数。

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特别指出：一般是容易由实验准确测定或辨识，而对的测定或辨识比较难，利用自由振动的衰减曲线计算是一种常用的方法。也即，在振动试验中，只要测定衰减振动的第1次与第的振动振幅之比，求出对数衰减率，进而得到系统的阻尼比，确定系统中阻尼的大小。

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二、的情况（即）又称临界阻尼

此时，特征方程的两个根为两个相等的负实根，即（重根，位于实轴与圆弧的交点）则特解为若初始条件为，则响应为显然表示的运动不是振动，而是非周期的指数规律衰减，最后趋于停止。

备注：①在相同的初始条件下，具有临界阻尼系统的自由振动最先停止振动。因此，在指针式仪表等需要使运动部件尽快停止运动的仪器装置中常常系统阻尼设计为临界阻尼。②如图所示，表示系统在初始条件和几种不同的初速度时的响应曲线。

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三、的情况（即）又称过阻尼（大、强）

此时，特征方程的两个根为两个不相等的负实根，即则特解为由此可知，位于实轴上，随的增大，沿实轴反向移动。当。这时，无论初始条件如何，物体运动规律不再作振动，而是一种非周期蠕动，按指数规律衰减。如图所示。

备注：从物理意义上看，表明阻尼较大时，由初始激励输入给系统的能量很快被消耗掉了，而系统来不及产生往复振动。

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综上所述，由，可知系统振动的性质取决于阻尼系数的不同取值。以为参变量画在复平面上，可以清楚地看出对系统响应的影响。●当时：，是一对共轭虚根，即在虚轴上截距为的两个对称点，对应于无阻尼系统自由振动。●当时：，是一对共轭复根，在以为半径的圆上，关于实轴对称的两点，对应于阻尼自由振动。●当时：都趋近于实轴上的点，对应于临界阻尼状态。●当时：是两个负实根，位于实轴上，随的增大，沿实轴反向移动。当时，，对应于过阻尼状态。

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备注：

1、临界阻尼

①临界阻尼的理论含义：当时，的变化对系统运动性质没有影响，当非常接近于1时，的微小变化，都会导致系统运动性质的突变，由振动变为非振动或相反。

②临界阻尼的实际意义：临界阻尼系统与过阻尼系统比较，它是最小的阻尼系统。因此振动质量将以最短的时间回到静平衡位置，并且不产生振动。例如：大炮反射炮弹时出现反弹，应该要求反弹后以最短的时间回到原来静平衡位置，而不产生振动。这样才能既快又准地反射第二发。显然，只有临界阻尼器才能满足要求。

2、工程应用

①自由振动的工程应用（榔头敲击车轮监测火车故障、弦乐器的演奏）

②阻尼自由振动的工程应用（阻尼材料、机械系统隔振、家用电器隔振、高塔消振、网球羽毛球拍消振、罗鼓手消振等）

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例8：一个具有粘性阻尼的系统，振体质量m=4kg,弹簧刚度k=5kN/m,经过5个连续循环后振幅衰减到原来的0.25倍，求阻尼器的阻尼系数。解：根据得代入得由得

例9：龙门起重机设计中，为了避免在连续启动和制动过程中引起颤动，要求每次由于启动或制动引起的制动衰减时间不得过长，如有的动刚度标准规定：起重量不大于50t的龙门起重机纵向水平制动时，振幅衰减到最大振幅5%所需的衰减时间因在25～30s范围内，如图所示为15t龙门起重机示意图，其纵向水平发想知振动的等效质量,水平方向的等效刚度。有实测得到的对数衰减率，试计算衰减时间是否满足要求？

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解：使振幅衰减到一定程度所需要的时间称衰减时间。设衰减时间T为经过i个周期所需的时间。即式中得符合要求。

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例10：为车辆设计欠阻尼减振器，要求振动一周后的振幅减小到第一个幅值的1/16。已知车辆质量m=500kg，阻尼振动周期。试求减振器的弹簧刚度k和阻尼系数c。解：由由

由

所以

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例11：一质量m=2000kg，以均速运动，与弹簧阻尼器c相撞后一起作自由振动，如图所示。已知k=48020N/m，c=1960Ns/m。试问质量m在相撞后多少时间达到最大振幅？最大振幅是多少？解：无阻尼自由振动固有频率阻尼比阻尼振动频率根据初始条件则由式中

所以令时得到最大振幅，那么

牛牛文库文档分享第47页/共150页得则所以最大振幅当时：由此可见，最大振幅并不发生在时的瞬时，此时对应的与包络线的切点，而最大振幅发生在瞬时，不过在很小时，可以忽略两者的差别。

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2.4单自由度系统的简谐强迫（受迫）振动

振动系统在外部持续激励作用下所产生的振动，称强迫振动。强迫振动从外界不断地获取能量补偿阻尼消耗的能量，使系统得以持续振动。系统对外部激励响应取决于激励的类型，依照从简单到复杂的次序，外部激励可分为：简谐激励、周期激励、非周期激励。简谐强迫振动的理论是周期激励和非周期激励下系统响应的基础。

一、单自由度无阻尼系统的简谐强迫振动

1、振动微分方程及其解

单自由度无阻尼系统在简谐激励作用下的强迫振动，称简谐强迫振动。如图所示，选振体的静平衡位置为广义坐标x的原点。有牛顿第二定律，得

牛牛文库文档分享第49页/共150页该式是非齐次二阶常微分方程，它的解由两部分组成，即将代入方程得式中称频率比故方程的通解为式中

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2、系统响应

系统响应是方程对应运动初始条件的定解。设代入通解并求导，得求得因此，简谐强迫振动响应为

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由此可知，响应包括三部分：

第Ⅰ部分：式中（1）和（2）项是初始条件引起的自由振动，频率为，振幅决定于初始条件；

第Ⅱ部分：式中（3）项对应于方程的特解，是系统在外部简谐激励力作用下产生的稳态振动又称强迫振动。其响应频率与激励频率相同，而振幅与初始条件无关；

第Ⅲ部分：式中（4）项是激励力引起的自由振动，频率为，而振幅与初始条件无关。系统总响应是这三部分振动的叠加。当时，一般情况下不是周期振动，只有当与可通约时，才是周期振动。

牛牛文库文档分享第52页/共150页3、强迫振动与共振

线性系统强迫振动频率等于激励频率，且振幅与初始条件无关，而只与系统参数和激励有关。由可知：当

系统作强迫振动时，激励频率任何微小的变化，均会使响应减少的状态称共振（谐振）。共振时频率称共振频率。

当时出现位移共振，共振频率等于固有频率，此时振动方程特解为将共振响应由此可见，共振时强迫振动的振幅随时间t成比例增大，如图所示。振动振幅要达到无穷大时需要一定时间。

注：工程上许多机器的工作频率都远远大于共振频率，在开车或停止过程中虽然都超过共振，但只要加速或减速比较快，一般都能顺利通过共振而不出现过大的振幅。

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牛牛文库文档分享第75页/共150页4、拍

由两个频率相近的振荡合成的，其振幅呈现周期性变化的现象称拍。当初始条件为零（）时，则系统响应只有简谐激励引起的强迫振动和自由振动，即上式两个虽然都是简谐振动但是频率不同，一般不能合成一个简谐振动，当与相近时才能产生拍。由上式导出拍的公式（利用

）

牛牛文库文档分享第76页/共150页设当很小时，可忽略括号中的后一项，并且，故该式表示的运动可看成频率为，振幅为的振动，不过振幅不是定值，而是周期性变化的，这正是“拍”，如图所示。频率相近的两个振荡的频率差的绝对值称“拍频”，即拍的周期为

备注：在实验过程中慢慢地调频到接近共振时，系统的振幅有时出现周期性忽大忽小的变化就是拍。两自由度系统中当两个固有频率接近时也会产生拍的现象。

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例12：质量弹簧系统m=18kg，k=7kN/m，受激励力作用。求初始条件为时的质量快的运动。解：微分方程所以通解为将初始条件代入，得所以

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例13：共振法测固有频率。如图所示，飞机升降舵控制机翼的结构示意图，已知控制机翼相对铰接点o的转动惯量,但由于控制杆的状态不易计算控制翼的扭转弹簧刚度，所以无法计算它的固有频率。为了试验测定其固有频率，图示将升降舵刚性固定激振翼片，改变激振频率直到发生共振为止。如果它的共振频率是，求控制翼片的固有频率。

解：翼片试验系统的振动方程其中是弹簧的变形，得

共振时所以

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二、单自由度粘性阻尼系统的简谐强迫振动

1、振动微分方程及其解

如图所示，粘性阻尼系统，激励为。（没有特指情况下均属于欠阻尼系统）根据牛顿第二定律，得其解由两部分组成其中

牛牛文库文档分享第80页/共150页将特解代入微分方程，得（）

上式在任意瞬时t均应满足，故等式两端的系数对应相等，得

利用得所以故通解

牛牛文库文档分享第81页/共150页2、系统响应及其特性

由通解式可知系统响应是由两部分组成：（瞬态响应和稳态响应）

第Ⅰ项：是粘性阻尼的自由振动，即瞬态响应。决定于初始条件，在运动开始后的很短时间内迅速消失，通常不予考虑。

第Ⅱ项：是粘性阻尼系统的简谐强迫振动，即稳态振动。与初始条件无关，只是的函数，当一定时，均为常数。

在自由振动消失后，特解就代表状振体的全部振动，以后用x表示，下面讨论稳态响应的幅值和相角。

牛牛文库文档分享第82页/共150页式中

所以特解（稳态响应）为系统总响应

由此可以看出强迫振动的一些带有普遍性质的特点：①在简谐激励作用下，强迫振动是简谐振动，其频率与激励频率相同，但稳态响应的相位滞后于激励响应；②振动的振幅和相位差都只决定于系统本身的物理性质、激励的大小和频率，与初始条件无关，初始条件只影响系统的瞬态振动；③强迫振动振幅的大小在实际工程问题中具有重要意义。如果振幅超过允许的限度，构件中会产生过大的交变应力，而导致疲劳破坏，或者影响机器及仪表的精度。

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1）幅频特性与相频特性放大因子及稳态响应对于激励的相位角是频率比和阻尼比的函数，通常以幅频特性曲线、相频特性曲线分别表示幅值、相位与频率的关系。如图所示。

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●从幅频特性曲线图中看出：当因为激励力变化很慢，几乎是常力，因此振动的振幅当因为激励力变化很快，振体由于惯性来不及跟随仍停止不动当系统产生共振，即时可能很大另外，当增大时，的幅值减小（在共振区特别显著）。

●从相频特性曲线图中看出：所有曲线都通过点，即共振时的相位差为，而与阻尼比无关，这是共振的一个显著特点。当激励频率很低时振动位移与激励f(t)几乎是同相（静态区）；当振动位移的相位相反，主要是质量在起作用（惯性区）当阻尼器所受到的力f(t)与其速度同相（阻尼区）另外，当时，在扫过时，由0突变到，这种现象称“倒相”。

2）复频率响应（参考《机械振动》清华大学出版社）

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3）共振（位移共振）

位移共振时振幅达到最大值，则放大因子也为最大，令即得共振时的频率比

牛牛文库文档分享第86页/共150页那么由得

由此可知，只与阻尼比有关。当增大时减小，也减小；当（）时不出现峰值，系统不发生共振。如图2.4-6所示

工程实际中阻尼比较小，当时，，此时仍以作为共振频率，共振时的放大因子为

称Q值因数（又称品质因子）表示自由度系统共振的锐度，Q值等于阻尼倒数的一半，故可用来决定半功率带宽和阻尼比。如图所示一条幅频特性曲线，在两侧虚线间的曲线认为是对称的，曲线峰值即Q，其上的两点称“半功率点”。两个半功率点的频率比由

牛牛文库文档分享第87页/共150页假设时，解得

所以半功率带宽得

备注①在工程实际中，对不希望振动的场所，可使机器的转速远离共振频率或在低频段工作，或在高频段工作，或增加阻尼（注意散热）；对希望振动的场所，则利用强迫振动的稳态响应（振动机械）。在机械系统中，为了避免共振或通过共振区时比较平稳，通常希望Q值小些。②测定自由度系统粘性阻尼的方法：自由振动衰减法和半功率法。

3、能量关系与等效阻尼（简谐力与阻尼力的功、等效粘性阻尼）详见参考书

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例14：弹簧质量系统m=18kg，k=7kN/m，c=200N.s/m，激励力。求①系统的稳态响应；②初始条件下的总响应。

解：①系统方程所以②总响应式中所以因为得

牛牛文库文档分享第89页/共150页三、简谐强迫振动理论的应用（工程中的简谐强迫振动实例）

工程中的实际振动问题，无论是利用还是避免振动都是基于振动分析步骤：将实际机械系统简化为力学模型，列出振动微分方程，求解系统的物理参数（等效质量、等效刚度、等效粘性阻尼系数和等效激励力等），求出系统响应，进而分析有关参数采取工程措施。研究强迫振动的主要关心的是稳态振动，尤其是响应的振幅。（一般不讨论相角），根据振动的工程特点通常分下列五大类型●偏心质量旋转引起的强迫振动（旋转失衡）●支承运动引起的强迫振动（支承运动）●隔振原理（隔振器）●惯性传感器原理（振动测量仪）●转轴的弓状回旋与临界速度（转轴横向振动）

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1、偏心质量旋转引起的简谐强迫振动

在旋转机械中，如汽轮机、电动机、离心压缩机、通风机和水泵等由于偏心质量引起强迫振动是很普遍的。如图所示，电动机安装在简支梁上，旋转时由于转子的偏心引起电动机和梁组成的系统强迫振动。

简化如图，电动机总质量M，转子质量m，偏心距e，梁的质量不计，刚度为k，系统阻尼系数c。电动机以角速度旋转时，不平衡质量产生的惯性力将引起系统振动。假定只限垂直振动，则可进一简化为单自由度模型。其中即离心力在垂直方向的分量。根据质点系动量定理，该系统的振动方程为这是简谐强迫振动方程，所以系统的稳态响应为其中响应振幅和相角分别为

牛牛文库文档分享第91页/共150页由此可见，振幅X与偏心质量m和偏心距e成正比，称me为不平衡量，要减少振动就要减少不平衡量，这涉及转子平衡问题，此处不予讨论，为上式变为无量纲形式，两端同乘M，整理得

由偏心质量旋转引起的简谐强迫幅频特性和相频特性如图所示。该幅频特性曲线与简谐激励力引起的简谐强迫振动幅频特性曲线（图2.4-6）相差倍，这是因为前者激励力的幅值与旋转角度成正比，后者激励力的幅值为一常数。

牛牛文库文档分享第92页/共150页从幅频特性曲线图中可知:低频（）时：即响应振幅接近于零；共振（）时：振幅只与系统的阻尼有关；高频（）时：响应的相角滞后不平衡质量的相角。例如当M通过水平位置向上运动时偏心质量m正好在旋转轴的上方。

有关偏心质量的理论可以用来估计往复不平衡问题，如图所示表示往复式发动机，往复质量m由活塞质量、活塞销和连杆的一部分质量组成，激振力等于往复质量的惯性力，它近似等于，e是曲柄半径，L是连杆长度。如果e/L很小，二次谐波项可以忽略，因此，问题简化为旋转偏心质量问题。

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例15：一机器质量100kg，转子的质量20kg，具有0.5mm的偏心，转速600r/min，支承弹簧刚度85kN/m，阻尼忽略不计，机器被约束在只能铅垂方向运动。（1）确定机器的振幅；（2）保持固有频率不变设计一阻尼器，使得振幅减小一半。

解：（1）问题简化为单自由度无阻尼系统的简谐强迫振动，得

得

(2)加装阻尼器后的稳态响应应为

得阻尼比也可由旋转偏心质量的振动幅频和相频特性图查出（樊图3.6.2），根据值设计阻尼器。式中

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2、转轴的弓状回旋与临界速度

旋转机械在启动和停机过程中，当转速接近某个或几个特定转速时会出现强烈转动，这种激起系统共振或自激转动的速度称临界速度，旋转系统称临界转速。临界转速在数值上非常接近转子轴承系统横向自由振动的某几阶固有频率所对应的转速。……

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3、支承运动引起的简谐强迫振动

许多系统的强迫振动是由于支承运动引起的，如基础运动引起的机床振动，汽车驶过不平路面产生的振动等，这时系统所受的激励为运动激励。

如图为支承运动模型。设支承运动为，选质量m的静平衡位置为固定坐标x的原点，方向一致，受力如图，弹簧变形，阻尼两端的相对速度，根据牛顿第二定律式中是运动的支承传给振动系统的等效激励力的幅值，称传递力。

是传递力的相角（超前支承运动的相角）

牛牛文库文档分享第96页/共150页稳态响应式中由幅频特性曲线可知，即无论系统阻尼大小，稳态响应的幅值都等于支承运动的振幅；

，即大阻尼系统的响应振幅反而比小阻尼系统的响应振幅大。

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例16：某精密设备用橡胶隔振器隔振，如图所示。已知系统固有频率3.8Hz，隔振器的阻尼比，如地面振动的垂直分量是正弦振动，振幅为，最大振动速度为0.1256mm/s。求设备的振幅。解：地面振动的频率

设备的振幅

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例17：在粗糙道路上行驶的车辆，当满足下列条件时它的悬挂装置可简化为图示系统。假设①车辆简化成垂直方向的单自由度系统；②轮胎的刚度无限大，则道路的粗糙性直接传到车辆的悬挂系统；③轮胎不离开道路表面。

设车辆满载时质量100kg，空载时250kg，悬挂弹簧刚度350Kn/m，满载时阻尼比，车辆速度100km/h，路面以5m/周的正弦规律变化，求车辆满载时和空载时的振幅比。

解：①路面激振频率②空载时的阻尼比：由公式知是常数，所以成反比。已知空载质量是满载质量的1/4，所以空载时的是满载时的2倍，即③计算振幅比

牛牛文库文档分享第99页/共150页公式满载空载18.737.42.985.961.870.93所以满载振幅/空载振幅=0.68/1.13=1.67

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4、隔振原理（隔振器）

机械设备的剧烈振动，不但会降低效率，引起机器本身结构部件的损坏和缩短寿命等，而且会影响周围的精密仪器设备，降低其灵敏性和精确性，甚至于不能正常工作，另外振动产生的噪声危害人体健康，所以有效地隔离振动是现代工业中的重要问题。用来减弱冲击或振动传输的构件称“隔离器”，通常是弹性支承物。用来在某一频率范围内减弱振动传输的隔离器称“隔振器”。根据振源不同隔振分两种：主动隔振和被动隔振。

1）主动隔振振源是机器本身，使它与地基隔离，减少对周围的影响，称主动隔振。例如机器安装在较大的基础上，在基础和地基之间设置若干个隔振器就是常用的措施。主动隔振能减少传到地基上的交变力，所以主动隔振又称隔力。其效果用主动隔振系数表示：

牛牛文库文档分享第101页/共150页又称传递率：是指实际传递力的力幅与激励力幅之比。

如图所示，振源隔离前传到地基上的力，隔离后激励力分两部分：一部分通过弹簧传给地基，大小为；一部分通过阻尼器传给地基，大小为。两部分的相角不同，所以振源传到地基上的力的幅值并不等于这两部分力幅的代数和，而是矢量和式中所以隔振系数

牛牛文库文档分享第102页/共150页2）被动隔振振源来自于基础，为了减少外界振动传给系统采取的隔振措施称被动隔振。因为被动隔振是通过减振装置来减少基础传到机器上的运动，所以又称隔幅，其效果用被动隔振系数表示。设基础运动为则幅频特性曲线图（图2.4-8c）同样可表示传递率关于频率比的特性曲线，从中可以看出：

牛牛文库文档分享第103页/共150页（1）无论阻尼大小，只有当时，才有隔振效果。（2）以后，随着频率比的增加，传递率逐渐趋于零。但在以后，的曲线几乎为水平，故实际多选取之间隔振效果就足够了。（3）当时，传递率随相对阻尼系数的增加而提高。即在此情况下增加阻尼不利于隔振，也就是说盲目增加阻尼隔振效果反而不好。为了直接说明隔振效果，可用隔振效率表示

它表示隔振装置隔离振动的百分率。

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例18：电动机的质量为15kg，由四个相等的弹簧支承如图所示。每个弹簧的刚度k=2.5Kn/m,电动机组件相对其轴线的回转半径100m，转速1800r/min，求垂直和扭转振动的隔振系数。解：电动机的角速度为（1）垂直方向隔振系数首先求出垂直振动时的固有频率和频率比

由隔振系数公式得（）（2）扭转振动的隔振系数首先求出扭转固有频率，建立微分方程

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5、惯性传感器原理（振动测量仪）

结构原理如图所示，实际上是质量～弹簧系统。测量的任务是测出被测物体的绝对振动。但传感器使用时被固定在被测振动物体上，传感器的质量块受被测物体的运动激励，只能测出质量块相对被测物体的运动。所以，需要换算成被测物体的绝对运动，传感器工作原理是支承运动引起的简谐强迫振动。（复合运动）

选地球上固定坐标x，原点为质量m物体的静平衡位置，方向向下；选传感器壳体（或被测物体）上动坐标y，方向向下；振体的相对位移为y。根据理论力学知，振体的绝对位移x、牵连位移、相对位移y的关系为

牛牛文库文档分享第106页/共150页那么速度、加速度之间关系为根据牛顿第二定律，得则设被测物体的运动为得传感器的稳态响应式中或

牛牛文库文档分享第107页/共150页上式与偏心质量完全相同，所以幅频特性和相频特性如图。根据要求可制作位移传感器、速度传感器、加速度传感器。

由上述可知

⑴当。即传感器相对位移近似等于被测物体的绝对位移，所以位移传感器的固有频率必须要低。

⑵当或即加速度传感器的位移近似等于被测物体的加速度幅值除以，所以加速度传感器的固有频率要高。

注：等效粘性阻尼（干摩擦阻尼、速度平方阻尼、迟滞阻尼等）详见参考书

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2.5周期强迫振动（周期激励的响应--傅里叶级数）

非简谐的周期激励在工程结构的振动中大量存在。旋转机械失衡产生的激励多数是周期激励。一般来说，如果周期激励中的某一谐波的幅值比其他谐波的幅值大得多，可视为简谐激励，反之，则按周期激励求解。求解周期激励下系统的响应问题需要将激励展开为傅里叶（Fourier）级数，然后分别求出各个谐波所引起的响应，再利用叠加原理得到系统的响应。

以线性阻尼系统的周期振动为例方程周期力所以

牛牛文库文档分享第109页/共150页上式右端激励力是常力和一系列简谐激励力之和，在线性系统中适用叠加原理。常力a0的响应是系统的静挠度激励力使系统产生简谐强迫振动，响应为

式中所以系统的周期强迫振动响应为备注:①周期激励下，系统的响应是稳态响应与瞬态响应之和。由于存在阻尼，瞬态响应很快消失。稳态响应也是周期函数，其周期仍为T，并且激励的每个谐波只引起与自身频率相同的响应，这是线性振动系统的特点。②对简谐强迫振动，系统固有频率与激励频率接近时发生共振。在周期激励下，只要系统固有频率与激励某一谐波频率接近就会发生共振。因此，周期激励时要避开共振区要比简谐激励时困难，通常常用适当增加系统阻尼的方法来减振。

牛牛文库文档分享第110页/共150页例19：一个质量弹簧系统受凸轮激励，如图所示，凸轮锯齿的总偏心升高25mm,转速,设质量，弹簧刚度，阻尼系数。求系统的稳态振动。解：锯齿运动一周可以表示为为将展开为傅里叶级数，需要求出基频和系数

所以

牛牛文库文档分享第111页/共150页微分方程 系统稳态响应 式中 所以

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2.6非周期强迫振动（任意激励的响应—卷积积分）

前面讨论了周期激励作用下的系统的响应。在不考虑初始阶段的瞬态振动时，它是稳态的周期振动。但在许多实际问题中，激励并非是周期函数，而是任意时间的函数，或者是在极短时间间隔内的冲击作用。例如，列车在启动时各车厢挂钩之间的冲击力；火炮在发射时作用于支承结构的反作用力；地震波以及强烈爆炸形成的冲击波对房屋建筑的作用；精密仪表在运输过程中包装箱速度（大小与方向）的突变等。在这种激励情况下，系统通常没有稳态振动，而只有瞬态振动。在激励停止作用后，振动系统将按固有频率进行自由振动。但只要激励持续，即使存在阻尼，由激励产生的响应也将会无限地持续下去，系统在任意激励作用下的振动状态，包括激励作用停止后的自由振动，称为任意激励的响应，周期激励是任意激励的一种特例。

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广义地说，除了周期激励以外的所有激励都是非周期激励。但一般工程上常见的非周期激励存在时间不长，峰值往往较大，又称瞬态激励。它引起的振动系统响应存在时间也不长，但响应的峰值往往很大，使结构产生较大应力和变形。有多种方法可以确定系统对任意激励的响应，这取决于描述激励函数的方式。一种方法是用傅里叶积分来表示激励，它是通过令周期趋于无穷大的极限过程来得到的。所以，实际上激励不再是周期的。另一种方法是将激励视为持续时间非常短的脉冲的叠加，采用卷积积分的方法，对具有任何非齐次项的微分方程，都用统一的数学形式把解表示出来，而且所得到的解除代表强迫振动外，还包括伴随发生的自由振动。

本节介绍几种常用的求解非周期激励下响应的方法。并且它们大都可以用来求周期激励和简谐激励下的系统响应，也可以用来求多自由度系统在任意激励下的响应。

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现以受瞬态激励的单自由度振动系统为例，微分方程

该方程的解是一个特解与齐次方程的特解之和。与求系统受周期激励下的响应不同的是，f(t)是时间t的任意函数，因而给不出特解的统一表达式。

一、脉冲响应与卷积积分（时域描述）

在时域中常用的求解系统响应的方法除了直接求解微分方程外，还可以将问题转化为一个卷积积分。卷积积分把微分方程的特解用一个变上限积分表示。由于不同的激励使系统产生不同的响应，因而这个变上限积分中的被积函数与激励有关。另外，相同的激励作用在不同的系统上引起的响应也不一样，所以被积函数也与系统的性质有关。在积分方程中，系统的性质可用微分算子的性质表示，在卷积积分中系统的性质要用系统的脉冲响应表示。为求系统的脉冲响应，首先引入脉冲力的概念，脉冲力的数学描述就是所谓的函数。

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1、脉冲力

由理论力学中可知，牛顿第二定律表述为

式中：。如果的作用时间为，为任一非负实数，即当

时，，此时，物体动量的改变量为

上式的物理意义：物体动量的改变量等于所受的冲量。这种描述方法的特点是，寻找两个时刻物体状态的改变与外界条件的关系，而不是描述物体状态的瞬时变化情况，这种描述称状态描述。

如果外力的幅值很大，但作用时间很短，即那么冲量仍然为通常的数量级，这种力称脉冲力。如图所示。

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注：脉冲力的实例---两个小球碰撞的互相作用力；锤子快速敲击钢板时的作用力；打桩机打桩时的打击力等都可以认为是脉冲力。

一般不关心脉冲作用于物体的过程，而关心它产生的结果，如引起物体动量的变化等。为了更好地在理论分析中体现脉冲力的性质，在数学上用函数（又称单位脉冲函数）来表示脉冲力。

函数的数学定义（单位脉冲的定义）●发生在瞬时单位脉冲力记作，定义为

表示t=0时刻作用的一个幅值无穷大，但冲量为1的脉冲力（力学中称单位脉冲力。）力的作用时间为0，但冲量为1。●发生在瞬时单位脉冲力记作，定义为

牛牛文库文档分享第117页/共150页利用函数，在任意时刻作用的脉冲力可表示为上式的意义是：在时刻的一个力值无限大，但作用时间为零的脉冲力，其冲量为通常用一个箭头表示脉冲力，其长度代表脉冲力的冲量，如上图所示。上述两种单位脉冲力如图所示。可见是将沿时间轴t延迟得到，数学上的单位脉冲具有零脉冲宽度、单位面积、无限高度。这在工程上是不可能实现的，因此，工程定义为：若激励的持续时间与系统的固有周期相比非常短，则激励就可以考虑为一个脉冲。此时函数的单为，在其他方面的情况将有不同的量纲。

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备注：函数的两个重要性质①称单位阶跃函数。当发生在瞬时，②函数与任意连续函数F(t)的乘积的积分等于脉冲作用点的函数值。即

例如：

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2、系统的脉冲响应设单自由度系统在t=0以前静止，在t=0时受到脉冲力的激励，其运动微分方程为0-表示小于零但无限接近于零的时刻，这样可以表示t=0以前状态。0+表示大于零但无限接近于零的时刻。显然t≥0+时系统不再受力，但脉冲的影响仍然存在，所以把输入的能变成t=0+时的运动初始条件。研究t=0+的初始条件：由于脉冲作用的时间极短（），系统的弹簧力、阻尼力与脉冲力相比很小，它们的冲量小于脉冲力的冲量，可以忽略不计。物体来不及运动（即），但是可以引起物体的速度变化。根据冲量定理得

牛牛文库文档分享第120页/共150页因为，所以。即在t=0时刻的脉冲力作用下，系统的速度由变为，而系统的位移没有变化。当t>0后，系统不受外力，是自由振动。因此，系统受到脉冲力作用后的运动微分方程及初始条件为方程的解为这就是初始时刻静止的系统在时刻受到脉冲力作用后的响应。

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如果,即系统受到单位脉冲力作用，其响应称系统脉冲响应，即如果系统在单位脉冲作用下的响应(在时刻之前静止的系统在时刻受到一个