中考圆知识点总结复习

初中圆复习、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合2、圆的外部．可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合，3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1，圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆，2、垂直半分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的半分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线跏离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。、点与圆的位置关系点在圆内0河“0点c在圆内；2，点在圆上=一r=点月在圆上，3、点在圆外0>了0点」在圆外；、直线与圆的位置关系1，直线与圆相离=>r0无交点，2、直线与圆相切0：疒0有一个交点；3、直线与圆相交0<疒0有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离图无如外切图有一个交点相交图有两个交点内切图有一个交点内含图无交点五、垂径定理垂径定理：垂直于强的直径半分眩且平分舷所对的弧：推论1：（0平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分眩所对的两条弧：（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共季个定觐，简称2推3定理．此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：0〕是直径@ABLCD：D@弧方c：弧乃0弧、一弧、中任意2个条件推出其他3个结论。推论2；圆的两条半行眩所夹的弧相等：3即：在G)O中，•.%4B//CD03弧」c：弧BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述些个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：0z40B一EDO丆：@翮一D丆； 0oc一0丆；@弧：弧 3七、圆周角定理 C1，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：？L40B和z-4是弧所对的圆心角和圆周角·z40=2Z」C2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； DC即：在@0中？zc、ZD都是所对的圆周角 《ZC=ZD BC推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。C 即：在@0中，是直径 巨£`．之0：9008 ．·ZC=9俨 、，AB是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． C即：在^“c中，OC=OA=0月．一^“c是直角三角形或zc一9俨A0莆此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接些边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角：即：在@0中，？四边」BC刀是内接四边形DB·ZC+ZBAD=1800ZB+ZD=180DB/0」E=之0九、切线的性质与判定定理切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：？」上且过半径04外端」是€)0的切线2，性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论过圆心垂直于切线的直线必过切点。MA推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：（D过圆心；@过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：？24、是的两条切线 飞PA一尹月；尹0．平《分，Z月尹 A十一、圆幂定理1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。D即：在@0中，弦、CD相交于点尹，A，PA-尹召=PC·PD推论！如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即：在@0中，．直径上0刀， 3A．，0丆2一」丆秀丆切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点0割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：在@0中，？PA是切线，是割线 A尹」2：C．尹B割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等〔如右图）。即：在@0中，？，尹丆是割线．．PC，尹月一尹刀．尹丆十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。A如图：0102垂直平分翮即：，@0、002相交于」、B两点Aq02垂直平分十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：o）公切线长：RtAqqc中，“2一002一q02一C02（2）外公切线长：C02是半径之差；内公切线长：c02是半径之和十四、圆内正多边形的计算o）正三角形在00中厶“c是正三角形，有关计算在」OD中进行：OD•.BD：：1．：2、CCC A 〔2）正四边形同理，些边形的有关计算在」0、中进行，“．」E:OA：凵（3）正六边形同理，六边形的有关计算在“中进行，“：．OA一1：2，十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式犰r灭1、扇形：（1）弧长公式：/： 01802o）扇形面积公式：s=3602“圆心角：扇形多对应的圆的半径/：扇形弧长5：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图5表、05侧十2S亡2着+2们过（2）圆柱的体积：3、圆锥侧面展开图（1）5表0+S亡灭厂十丌2（2）圆锥的体积：卩一丌产3十六、内切圆及有关计算。三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。AABC中，ZC=90G，=b，BC=a,AB=c，则内切圆的半径2（3）“—r(a十b十c)'其中a，b'c是边长，r是内切圆的半径。(4)弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，．另一边是圆的经。 如图，BC切@0于点B，为弦，ZABC叫弦切烏，ZABC=ZDO CB练习题1，若@0的半径为4cm，点」到圆心0的距离为3cm,那么点」与@0的位置关系是（ A.点、4在圆内B.点在圆上c.点在圆外D.不能确定2．己知@0的半径为5，弦的弦心距为3，则的长是3．如图，“是半径为1的30的直径，点在@0上，z“一30 ，为、“弧的中点，点尸是直径」上一个动点，则求PA+尹君的最心值AC BAC4如图2，已知BD是00的直径，@0的弦AC上BD于点若ZAOD=600，则ZDBC的度数为5，与直线L相切于己知点的圆的圆心的轨迹是己知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则它的外接圆半径，内圆半径00的半径为6，@0的一条弦AB为6、下，以3为半径的同心圆与直线B的位置关系是方是@0的切线，切点是」，Z」尹：50，过上i乍@0直径」0连接儲，则Z尹方C9、如图4，“是00的直径，鉉0“相交于尸，则:AB等十 A.sl.nBPC BcosBPC C.tanBPC D，cotBPC 图5用．如图出点尹为弦“上一点，连结“，过“作尹c」一刀尹尹c交@0于c，若」尸一一4，尹=2的长是 B2 C、2211．圆的最大的弦长为12cm,如果直线与圆相交一且直线与圆心的鉅离为景，那么A.<6cmC. 6cmB6cm<d<12cmD>12cm2．如图6，在以0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦“是小圆的切线，尸为切点，设」12，则两圆构成圆环面积为13．如图7，宀是@0的切线，为切点，“尹（刀是割线一搦：35，CD=50，AC：刀：1：2，贝刂14．如图8一“是@0的直径，点刀在“的延长线上，且刀=0方，点0在@0上，ZC4：30 求证．DC是@0的切线、巧如图，AB既是ac的线也是G)D的切线，与@D相外切，0℃的半径-，G)D的半径R：6，求四边形CD的面积：“ 16．如图10，c是@0的直径，」是弦“延长线上一点，切线平分」c于E，求证(1)c是00的切线．0若」刀：D一3：2一丬c：巧，求@0的直径巛12分）图1017．如图11，是@0的直径，点在的延长线上，弦c刀一]一，垂足为E且PC2=PE．尹0、(1)求证．尸c是00的切线；（2）若僦：1：2，：6，求00的半径，0〕求sn的值．（12分〕CC图18．如图，30的两条割线“一分别交甚于0D、、 c,鉉刀丆c交BC于c.（1)求证．AC·FG一BC·CG．（2）若“亠」E求证．AABC为等腰三形、19·如图一是@0的直径，弦CD上．与点E，点p在@0上，ZI=ZC,求证：CB//PD；3若BC=3,]叩：，求@0的直径。500020．如图，氐c内接于@0，“是30的直径，」是过点的直线，Z尹丬0=Z、山求证：是@0的切线；（2）如果弦交“十0CD的延长线交于FAC=S,C霆柯D=6；5，」百；百君=2；3，求“的长和z儲的正切值．21．如图，在RtAABC中，ZB=90，乙的平分线交c十点0丆为“上的一点，=DC,以刀为圆心，D.长为半径作@0求证：(l)、把是@D的切线，022．如图，“是30的直径，以OA为直径的30；与@0的弦、把相交于刀，刀0」一OC，垂足为o）求证：」D亠刀0（2）求证．刀E是@0的切线o）如果一EC,请判断四边形00刀是什么四边形，并证明你的结论、CC考点一：与圆相关概念的应用利用与圆相关的概念来解决一些问题是必考的内容，在复习中准确理解与圆 刂念，注意分清它们之间的区别和联系． 81.运用圆与角（圆心角，圆周角），弦，弦心距，弧之间的关系进行解题〖例囗己知如图所示1在厶弼0中，ZAOB=90，Z2，以0为圆心，OA长为半径的圆交斓于D，求弧的度数．〖例2〗如图，c是@0上的三点，ZA（℃=100，则ZABC的度数为（A30 B．45 C50 D．602、利用圆的定义判断点与黜直线与圆、圆与圆的位置关系为为为〖例时己知@0的半径3cm，A为线段0M的中点，当饈满足；当OA=1时，点M与30的位置关系是就）当OA1.5。m时，点M与00的位置关系是（3）当OA一3“时，点M与00的位置关系是〖例月@0的半径为4，圆心0到直线1的距离为3，则直线1与@0的位置关．系是（ A相交 B相切c、相离D、无法确定〖例5]两圆的半径分别为补m和圆心距为2，那么两圆的位置关系。3．正多边形和圆的有关计算〖例的己知正六边形的周长为720m,求正六边形的半径，边心距和面积4．运用弧长及扇形面积公式进行有关计算 0〖例门如图，矩形CD中，3仁厶D仁4，以为直径的半圆0与DC相切于点0则阴影部分的面积为（结果保留明5．运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行计算〖例的己知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是考点二：圆中计算与证明的常见类型1.利用垂径定理解题垂径定理及其推论中的三要素是；直径、平分、过圆心，它们在圆内常常构成圆周角、等分线段、直角三角形等，从而可以应用相关定理完成其论证或计算〖例囗在@0中，弦CD与直径相交于点p，夹角为30，且分直径为1：5两部分，AB=6，贝刂弦CD的长为 3 32．利用“直径所对的圆周角是直角”解题“直径所对的圆周角是直角"是非常重要的定理，在解与圆有关的问题时，常常添 0加辅助线构成直径所对的圆周角，以便利用上面的定型〖例的如图，在@0的内接氐c中，CD是弼边上的高求证；ZACD=ZOCB3．利用圆内接四边形的对角关系解题9圆内接四边形的对角互补，这是圆内接四边形的重要性质，也揭示了确定四点共圆的方法、〖例3]如图，四边形AB〔D为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若/c=45一，则点B到AE的距离4，判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种·(1)与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线：经过半径外端。并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（例的如图，00的直径：4，Lc一30。，一4，D是线段的中点（0试判断点D与@0的位置关系，并说明理甬o）过点D作DE上，垂足为点E，求证．直线DE是@0的切线〖例5]如图，已知0为正方形ABCD对角线上一点，以0为圆心，“的长为半径的00与BC相切于M，与AB、AD分别相交于趴F，求证CD与@0相切·〖例的如图，半圆0为^ABC的外接半圆，为直径，D为劣弧0上一动点，p在CB的延长线上，有ZBAP-ZBDA求证；AP是半圆0的切线．0C0〖课堂巩固练习〗1．选择题：30的半径R，点p到圆心0的踔离为d，并且dR，则p点A．在@0内或圆周上 B在@0外 c.在圆周上 D、在@0外或圆周上2．由一己知点p到圆上各点的最大距离为5，最小距离为，则圆的半径为[ A,2或3 D、2或4C3．如图，00中，岗BDC是圆内接四边形，=110，则ZBDC的度数是[ A.110 70 055 D.1254．在@0中，弦垂直并且平分一条半径，则劣弧的度数等于[ A.30 &120 0150 D.305．直线上有一点到圆心0的距离等于@0的半径，则直线a与30的位置关系是[ A一相离 B、相切 c、相切或相交 D一相交6、如图，PA切@0于A，PC交00十点B、C A，若PA=5,PB=BC，则PC的长是[ A、10B、5C、5《〗D、5《 PB7，如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为1m的圆两两相垒立在水平的地 C面上，则雕塑的最高点到地面的距离为[ ]B 2+酒 3+孬A.+ 2 2 2 2+8、己知两圆的圆心距是9，两圆的半径是方程2x2一17x+35=0的两根，则两圆有[]条切线。A、1条 3、2条c、3条D、1条9、如果等腰梯形有一个内切圆并且它的中位线等于20“，则梯形的腰长为[ A、10cmB、12cmC,1一《cm I),16cm用`如图，@01和@02相交于B两点，且A0。A02分别是两圆的切线，点是切点，若@蘄的半径1--3,302的半径R=4，则公共弦斓的长为[