湖北省孝感市杨岭高级中学2023年高三数学文上学期期末试卷含解析

湖北省孝感市杨岭高级中学2023年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等差数列中，

，那么的值是：（

）

A．12

B．24

C．16

D．48参考答案：答案：B2.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．－

B．－

C.

D.参考答案：B3.已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a2为(

)A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3参考答案：D【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】先用a2分别表示出a1和a5，再根据等比中项的性质得a22=a1a5进而求得a2．【解答】解：a1=a2﹣2，a5=a2+6∴a22=a1a5=（a2﹣2）（a2+6），解得a2=3故选D【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．属基础题．4.设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（）A．

B．C．

D．参考答案：A【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】可先画出图形，根据条件及向量加法、减法和数乘的几何意义即可得出【解答】解：∵D为△ABC中BC边上的中点，∴=（+），∵O为AD边上靠近点A的三等分点，∴=，∴=（+），∴=﹣=﹣（+）=（﹣）﹣（+）=﹣+．故选：A．5.设是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为，过作直线的垂线，分别交于、两点，且向量与同向．若成等差数列，则双曲线离心率的大小为A．

B．

C．

D

2参考答案：A设=m?d，=m，=m+d，由勾股定理，得(m?d)2+m2=(m+d)2．解得m=4d．设∠AOF=，则cos2=．cos=，所以，离心率e=.选A6.已知，则|z|=（）A．1 B．3 C．5 D．7参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的模的计算公式及其性质即可得出．【解答】解：|z|===1．故选：A．7.袋子中有3个红球和2个黑球，从中摸出一个球，该球为黑球的概率是（

） A. B.1 C. D.参考答案：C8.设目标函数的可行域是⊿的内部及边界其中,、,若目标函数取得最小值的最优解有无数多个，则的最大值为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B9.已知函数,若是函数的零点,且,则的值

(

)Ａ.

恒为正值

Ｂ.等于0

C.

恒为负值

D.不大于0参考答案：A10.如图，一个空间几何体的正视图和俯视图都是周长为4，一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为（）A．2π B． C．π D．参考答案：C【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知三视图得到几何体是两个圆锥的组合体，根据数据计算表面积．【解答】解：由已知三视图得到几何体是同底的两个圆锥的组合体，底面半径为，圆锥的高为，所以几何体的表面积为；故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数.①f(x)的最大值为________；②设当时，f(x)取得最大值，则______.参考答案：

【分析】由辅助角公式以及正弦函数的性质得到的最大值；根据①的结果以及诱导公式化简即可求解.【详解】①，(其中，)当，即时，取最大值②由题意可知故答案为：；【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的最值等，属于中档题.12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为

。（结果用最简分数表示）参考答案：

本题考查排列组合和概率的相关基础知识.同时考查了理解能力和转化与化归的数学思想方法.当所取的2瓶中都是不过期的饮料的概率为P=，则至少有一瓶为过期饮料的概率.13.已知，则

.参考答案：【答案解析】解析：因为，得，所以.【思路点拨】可对已知条件展开整理，并注意所求式子与已知条件整理后的式子之间的整体关系，即可解答.14.如图，函数f（x）的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））＝_____；＝_____.（用数字作答）参考答案：2，

－215.为了预防流感，某学校对教室用药物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为

；（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过

小时后，学生才能回到教室。参考答案：答案：（I）（II）

解析：（I）由题意和图示，当时，可设（为待定系数），由于点在直线上，；同理，当时，可得（II）由题意可得，即得或或

，由题意至少需要经过小时后，学生才能回到教室．点评：本题考察函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力。16.已知函数,若,则.参考答案：-217.在各项均为正数的等比数列中，若，则

．

参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．参考答案：(I)由题意得=

①

②①-②得所以…………………4分经验证时也满足上式，所以……6分(II)由（1）得，

两式相减得

…………………8分

，

…………………12分19.（本题满分12分如图，四边形为矩形，且，，为上的动点。（1）当为的中点时，求证：；（2）设，在线段上存在这样的点E，使得二面角的平面角大小为。试确定点E的位置。参考答案：方法一：（1）证明：当为的中点时，，从而为等腰直角三角形，

则，同理可得，∴，于是，………1分

又，且，∴，。………2分

∴，又，∴。……4分

（也可以利用三垂线定理证明，但必需指明三垂线定理）（还可以分别算出PE，PD，DE三条边的长度，再利用勾股定理的逆定理得证，也给满分）（2）如图过作于，连，则，………6分

∴为二面角的平面角．

……………8分

设，则．……………9分于是………………10分，有解之得。点在线段BC上距B点的处。………12分方法二、向量方法．以为原点，所在直线为

轴，建立空间直角坐标系，如图………………1分（1）不妨设，则，从而，………2分于是，所以所以

………………4分（2）设，则，则

………………6分易知向量为平面的一个法向量．设平面的法向量为，则应有

即解之得，令则，，从而，………………10分依题意，即，解之得（舍去），………………11分所以点在线段BC上距B点的处。………………12分20.设数列a1,a2,…,a2015满足性质P：，．(Ⅰ)(ⅰ)若a1,a2,…,a2015是等差数列，求an；(ⅱ)是否存在具有性质P的等比数列a1,a2,…,a2015？(Ⅱ)求证：．参考答案：(Ⅰ)（ⅰ）设等差数列a1,a2,…,a2015的公差为d，则．由题意得，所以，即．当d=0时，a1=a2=…=a2015=0，所以与性质P矛盾；当d>0时，由，，得，．所以．当时，由，，得，．所以．综上所述，或．（ⅱ）设a1,a2,…,a2015是公比为的等比数列，则当时，，则，与性质P矛盾.当时.与性质P矛盾.因此不存在满足性质P的等比数列a1,a2,…,a2015．(Ⅱ)由条件知，必有ai>0，也必有aj<0(i，j∈{1，2，…，2015}，且i≠j)．设为所有ai中大于0的数，为所有ai中小于0的数．由条件得a+a+…+a=，a+a+…+a=-．所以．21.已知函数，（1）函数，其中k为实数，①求F'（0）的值；②对?x∈（0，1），有F（x）＞0，求k的最大值；（2）若（a为正实数），试求函数f（x）与g（x）在其公共点处是否存在公切线，若存在，求出符合条件的a的个数，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）①求出函数的导数，减少F′（0）的值即可；②记h（x）=F'（x），求出函数h（x）的导数，通过讨论k的范围，结合函数的单调性确定k的最大值即可；（2）联立方程组，得到G（a）=8lna﹣8ln2﹣a2+8，根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（1）由得，①F'（0）=2﹣k﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②记h（x）=F'（x），则，记m（x）=h'（x），则，当x∈（0，1）时，（i）当k≤2时，m'（x）＞2﹣k≥0，x∈（0，1），即m（x）在（0，1）上是增函数，又m（0）=0，则h'（x）＞0，x∈（0，1），即h（x）在（0，1）上是增函数，又F'（0）=2﹣k≥0，则F'（x）＞0，x∈（0，1）即F（x）在（0，1）上是增函数，故F（x）＞F（0）=0，x∈（0，1）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ii）当k＞2时，则存在x0∈（0，1），使得m'（x）在（0，x0）小于0，即m（x）在（0，x0）上是减函数，则h'（x）＜0，x∈（0，x0），即h（x）在（0，x0）上是减函数，又F'（0）=2﹣k＜0，则F'（x）＜0，x∈（0，x0），又F'（0）=2﹣k＜0，即F（x）在（0，x0）上是减函数，故F（x）＜F（0）=0，x∈（0，x0），矛盾！故k的最大值为2；…（2）设函数f（x）与g（x）在其公共点x=x1处存在公切线，则，由②得，即代入①得8lna﹣8ln2﹣a2+8=0，﹣﹣﹣﹣…，记G（a）=8lna﹣8ln2﹣a2+8，则，得G（a）在（0，2）上是增函数，（2，+∞）上是减函数，又，得符合条件的a的个数为2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（未证明小于0的扣2分）22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，且曲线C1与C2恰有一个公共点.(Ⅰ)求曲线C1的极坐标方程；(Ⅱ)已知曲线C1上两点A，B满足，求面积的最大值.参考答案：(Ⅰ).(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)由题意得曲线为直线，曲线为圆，根据直线和圆相切可得圆的半径，进而可得圆的极坐标方程．