初中数学校本教材

初中数学校本教材

由于初一学生是刚从小学毕业，因此上学期着重介绍一些趣味性较强的知识点；而下学

期，同学们经过半个学期的学习，有了一定的基础，则可教授一些竞赛类的数学知识。

第一章兴趣数学

1Konigsberg七桥问题（一笔画问题）

18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡,

那里有七座桥。如图1所示：河中的小岛A与河的

左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间

的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。当时哥尼

斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次

走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？

大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个

问题。

七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关

他把具体七桥布局化归为图所示的简单图形，于是，

七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、

C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形

（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线

只画一次不准重复），并且最后返回起点？

欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形。这就是说，七桥问题是无解的。

这个结论是如何产生呢？

如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画

笔每经过个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的•条线，因此就有两条线与该点

相连结。如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。因此，这个图形中除起

点与终点外的各点，都与偶数条线相连。

如果起点和终点重合,那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点,

那么这两个点部是与奇数条线相连的点。

综上所述，•笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个

点与奇数条线相连。

图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数

条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。

欧拉定理如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于。或2,那么它可以一笔画出;

否则它不可以一笔画出。

练习：［你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看。（不走重复线路）

图例1

(2)

图例2

2四色问题

人人都熟悉地图，可是绘制一张普通的政区图，至少需要几种颜色，才能把相邻的政区

或区域通过不同的颜色区分开来，就未必是一个简单的问题了。

这个地图着色问题，是一个著名的数学难题。大家不妨用一张中国政区图来试一试，无

论从哪里开始着色，至少都要用上四种颜色，才能把所有省份都区别开来。所以，很早的时

候就有数学家猜想：“任何地图的着色，只需四种颜色就足够了。”这就是“四色问题”这个名

称的由来。

四色问题乂称四色猜想，是世界近代三大数学难题之飞

四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能

使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示,

即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可

以用1,2,3,4这四个数字之一来标记，而不会使相邻

的两个区域得到相同的数字。’’(右图)

这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限

多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

数学史上正式提出“四色问题''的时间是在1852年。当时伦敦的大学的一名学生法朗西

斯向他的老师、著名数学家、伦敦大学数学教授莫根提出了这个问题，可是莫根无法解答，

求助于其它数学家，也没有得到答案。于是从那时起，这个问题便成为数学界的•个“悬案”。

一直到二十年前的1976年9月，《美国数学会通告》正式宣布了一件震撼全球数学界的

消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了“四色问题”这个

猜想是完全正确的！他们将普通地图的四色问题转化为2000个特殊图的四色问题，然后在

电子计算机上计算了足足1200个小时，作了100亿判断，最后成功地证明了四色问题，轰动

了世界。

这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果

发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳，以庆祝

这一难题获得解决。

3麦比乌斯带

每•张纸均有两个面和封闭曲线状的棱(edge),如果有张纸它有一条棱而且只有个

面，使得一只蚂蚁能够不越过棱就可从纸上的任何一点到达其他任何一点，这有可能吗?事

实上是可能的只要把一条纸带半扭转，再把两头贴上就行了。这是德国数学家麦比乌斯

(MGbius.A.F1790-1868)在1858年发现的，自此以彳奏那种带就以他的名字命名，称为麦比乌

斯带。有了这种玩具使得一支数学的分支拓朴学得以蓬勃发展。

4分割图形

分割图形是使我们的头脑灵活，增强观察能力的一种有趣的游戏。

我们先来看一个简单的分割图形的题目——分割正方形.

在正方形内用4条线段作“井”字形分割，可以把正方形分

成大小相等的9块，这种图形我们常称为九宫格。

用4条线段还可以把一个正方形分成10块，只是和九宫格不同的是，每块的大小不一

定都相等。那么，怎样才能用4条线段把正方形分成10块呢？请你先动脑筋想想，在动脑

的同时还要动手画一画

其实，正方形是不难分割成10块的，卜面就是其中两种分割方法。

想想，用4条线段能将正方形分成11块吗？应该怎样分?

5数学故事

(1)奇特的墓志铭

在大数学家阿基米德的墓碑上，镌刻着•个有趣的儿何图形：个圆球镶嵌在•个圆

柱内。相传，它是阿基米德生前最为欣赏的一个定理。

在数学家鲁道夫的墓碑上，则镌刻着圆周率元的35位数值。这个数值被叫做。”鲁道

夫数”。它是鲁道夫毕生心血的结晶。

大数学家高斯曾经表示,在他去世以后，希望人们在他的墓碑上刻上一个正17边形。

因为他是在完成了正17边形的尺规作图后，才决定献身于数学研究的……

不过，最奇特的墓志铭，却是属于古希腊数学家丢番图的。他的墓碑上刻着一道谜语

般的数学题：“过路人，这座石墓里安葬着丢番图。他生命的1/6是幸福的童年，生命的

1/12是青少年时期。又过了生命的1/7他才结婚。婚后5年有了一个孩子，孩子活到

他父亲一半的年纪便死去了。孩子死后，丢番图在深深的悲哀中又活了4年，也结束了尘

世生涯。过路人，你知道丢番图的年纪吗？”

丢番图的年纪究竟有多大呢？

设他活了X岁，依题意可列出方程。这样，要知道丢番图的年纪，只要解出这个方程

就行了。

这段墓志铭写得太妙了。谁想知道丢番图的年纪，谁就得解一个一元一次方程：而这

又正好提醒前来瞻仰的人们，不要忘记了丢番图献身的事业。

在丢番图之前.，古希腊数学家习惯用几何的观点看待遇到的所有数学问题，而丢番图

则不然，他是古希腊第一个大代数学家，喜欢用代数的方法来解决问题。现代解方程的基

本步骤，如移项、合并同类项、，方程两边乘以同一因子等等，丢番图都已知道了。他尤其

擅长解答不定方程，发明了许多巧妙的方法,被西方数学家誉为这门数学分支的开山鼻祖。

丢番图也是古希腊最后一个大数学家。遗憾的是，关于他的生平。后人几乎一无所知,

既不知道他生于何地，也不知道他卒于何时。幸亏有了这段奇特的墓志铭，才知道他曾享

有84岁的高龄。

(2)希腊十字架问题

图上那只巨大的复活节彩蛋上有一个希腊十字架，

从它引发出许多切割问题，下面是其中的三个。

(a)将十字架图形分成四块，用它们拼成一个正方形；

有无限多种办法把一个希腊十字架分成四块，再把它们

拼成一个正方形，下图给出了其中的一个解法。奇妙的

是，任何两条切割直线，只要与图上的直线分别平行，

也可取得同样的结果，分成的四块东西总是能拼出一个

正方形。

(b)将十字架图形分成三块，用它们拼成一个菱形；

(c)将十字架图形分成三块，用它们拼成•个矩形，要求其长是宽的两倍。

£

第二章最完美的数

完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯(Pythagoras)的信徒发现的，他

们注意到：

数6有一个特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和：6=1+2+3,

下一个具有同样性质的数是28,28=1+2+4+7+14

接着是496和8128.他们称这类数为完美数.

欧几里德在大约公元前350-300年间证明了：

若2-1是素数,则数

2n-l[2n-l](1)是完全数.

两千年后，欧拉证明每个偶完全数都具有这种形式.这就在完全数与梅森数

2n1的素数)之间建立了紧密的联系，到1999年6月1日为

止,共发现了38个梅森素数,这就是说已发现了38个完全数.

1：完全数是非常奇特的数,它们有一些特殊性质，例如每个完全数都是三角

形数,即都能写成n(n+l)/2.

6=1+2+3=3*472

28=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2

496=1+2+3+4+...+31=31*32/2....

n

2n-i(2-i)=1+2+3+...+(2-1)=(2-1)272

2：把它们(6除外)的各位数字相加,直到变成一位数,那么这个一位数••定是1;

它们都是连续奇数的立方和(6除外)，

22(2-1)-28=13+33

24(25-1)=496=13+33+53+73

26(27-1)=8128=13+33+53+73+93+113+133+153

2n-1(2n-l)=l3+33+53+...+(2(n+1)/2-l)3

3：除了因子1之外，每个完全数的所有因子（包括自身）的倒数和等于1,比如:

1/2+1/3+1/6=1

1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1....

4：完全数都是以6或8结尾的，如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾.

注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然不知道有没有奇

完全数,如果真的存在奇完全数.

第三章有理数的巧算

有理数运算是中学数学中一切运算的基础.它要求同学们在理解有理

数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运

算.不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙

地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷

性与灵活性.

1.括号的使用

在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以

此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单.

例1计算：

/、86'

CD47-1（18.75-1--J1x2^^0.46;

（一2尸188—1—12|+-f-^1

分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重

涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符

号.因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是

要注意去括号时符号的变化.

47-(岭V"刽

解CD原式=+046

,13556123

47-------x—I__

825」’50

=17-37卜II

4650

——x——二20

523

1

(-8)・12+闻58)+12x4

（2）原式=

5155

—x1—-x-

4444

4025163

^=40.-=40X-=25-

16

注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分

数，这样便于计算.

例2计算下式的值：

211X555+445X789+555X789+211X445.

分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可

使计算简单.本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算.

解原式=(211X555+211X445)+(445X789+555X789)

=211X(555+445)+(445+555)X789

=211X1000+1000X789

=1000X(211+789)

=1000000.

说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用

技巧.

例3在数1,2,3,…，1998前添符号“+”和,并依次运算,

所得可能的最小非负数是多少？

分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以

在1,2,3,…，1998之前任意添加符号“+”或，不会改变和的奇

偶性.在1,2,3,…，1998中有1998・2个奇数，即有999个奇数，所

以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负

数不小于L

现考虑在自然数n,n+1,n+2,n+3之间添加符号“+”或,显

然

n-(n+l)-(n+2)+(n+3)=0.

这启发我们将1,2,3,…，1998每连续四个数分为一组，再按上述

规则添加符号，即

(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+•••+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1.

所以，所求最小非负数是L

说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大

大简化.

2.用字母表示数

我们先来计算(100+2)X(100-2)的值：

(100+2)X(100-2)

=100X100-2X100+2X100-4

=1002-22.

这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100,用字母b代换2,

上述运算过程变为

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.

于是我们得到了一个重要的计算公式

(a+b)(a-b)=a2-b2,①

这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明

过程，可直接利用该公式计算.

例4计算3001X2999的值.

解3001X2999=(3000+1)(3000-1)

=30002-12=8999999.

例5计算103X97X10009的值.

解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)

=(1002-9)(1002+9)

=1004-92=99999919.

例6计算：

24690

123462-12345x12347

分析与解直接计算繁.仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数:

12345,12346,12347.可设字母n=12346,那么12345=nT,12347=n+l,

于是分母变为n2-(n-l)(n+1).应用平方差公式化简得

n2—(n2-12)=n2—n2+l=l,

即原式分母的值是1，所以原式=24690.

例7计算：

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).

分析式子中2,22,24,…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)

前面有一个(2-1),就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2T.

解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)X(216+1)(232+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)X(232+1)

=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=...

=(232-1)(232+1)

=264-1.

例8计算:

分析在前面的例题中，应用过公式

(a+b)(a-b)=a2-b2.

这个公式也可以反着使用，即

a2-b2=(a+b)(a-b).

本题就是一个例子.

解原式-SU+3(1-3

「34510111[12389,

[23499北234910.

11111

—--♦__♦---

21020'

通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益

处.下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算

简化.

例9计算:

分析四个括号中均包含一个共同部分：〈+〈+•••+焉，

我们用一个字母表示它以简化计算.

,设A=4+、+.--+，贝U

2.r1yydcs

原式=(八+募)Q+A)-(1+A+壶)A

=(八+A2+1999+1999)-(A+M=1999

1.观察算式找规律

例10某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分

与平均分.

87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,

86,89,92,95,88.

分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一

下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，

小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算.所

以总分为

90X20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)

+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)

+2+5+(-2)

=1800-1=1799,

平均分为90+(-1)4-20=89.95.

例11计算1+3+5+7+-+1997+1999的值.

分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等

于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于

2000,于是可有如下解法.

解用字母S表示所求算式，即

S=l+3+5+…+1997+1999.①

再将S各项倒过来写为

S=1999+1997+1995+-+3+l.②

将①，②两式左右分别相加，得

2S=(1+1999)+(3+1997)+-+(1997+3)+(1999+1)

=2000+2000+…+2000+2000(1000个2000)

=2000X1000.

从而有S=1000000.

说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题

3-1=5-3=7-5=-=1999-1997,都等于2),那么，这列数的求和问题,都

可以用上例中的“倒写相加”的方法解决.

例13计算1+5+52+53+-+599+5100的值.

分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍.如

果将和式各项都乘以5,所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项

相同，于是两式相减将使差易于计算.

解设

S=l+5+52+…+599+5100,①

所以

5s=5+52+53+…+5100+5101.②

所①得

4s=5101-1,

5*1

所以

说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等

于5),那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决.

例14计算:

1111

1X2+2X3+30133+…+1998X1999

分析一般情况下，分数计算是先通分.本题通分计算将很繁，所以

我们不但不通分，反而利用如下一个关系式

1_11

xaX+1)―LZX+]

来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法.

解由于

111111111

1X2=l~2r2X3=2-3^X4=3-4

所以

原式=G

...

119981999)

1_1998

=1-1999=1999

说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数

的项，这种方法在有理数巧算中很常用.

练习

1.计算下列各式的值：

(D-1+3-5+7-9+11---1997+1999；

(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；

(3)1991X1999-1990X2000；

(4)4726342+4726352-472633X472635-472634X472636；

1111

1x3+3X55X7+…+1997X1999

(6)1+4+7+…+244；

111

QQ11十三*中4----+--"+-^2OOO~

79111315

Ca21一

122030・42-56

2.某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分.

81,72,77,83,73,85,92,84,75,63,76,97,80,90,76,

91,86,78,74,85.

第四章归纳与发现

归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命

题与发现解题思路的一种重要手段.这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解

数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这

些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的

思考方法.下面举几个例题，以见一般.

例1如图2-99,有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每

边有两个点（相邻两边公用一个点）；第三层每边有三个点，…这个六边形点阵共有n层，

试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？

图2-99

分析与解我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数.

第一层有点数：1;

第二层有点数：1X6;

第三层有点数：2X6；

第四层有点数：3X6；

第n层有点数：（n-1）X6.

因此，这个点阵的第n层有点(n-1)X6个.n层共有点数为

l+lX6+2X6+3X6+-+(n-l)X6

=1+6[1+2+,,,+(n-1)]

[l+(n-l)]x(-l)

=1+6x------------------n-----

2

=1+3(n-l)n.

例2在平面上有过同一点P,并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个

交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：

图2-100

(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域?

(2)这n个圆共有多少个交点？

分析与解(1)在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1,2,3,4,5个(取这n

个特定的圆)，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出表18.1.

表18.1

回的个数n12345•••n

平面区域数SB2471116.・・?

由表18.1易知

S2-SI=2,

$362=3,

$463=4,

$564=5,

由此，不难推测

Sn-Sn-1—H.

把上面m-1)个等式左、右两边分别相加，就得到

SnS=2+3+4+…+n,

因为S1=2,所以

Sn=2+2+3+・・・+n=1+(1+2+3+・・・+n)

.n(n+1)n2+n+2

=1+-------=------------.

22

这就证明了当n个圆过P点时，可把平面划分为1*2个平面区域.

2下面

对Sn-Sn.尸n,即Sn=Se+n的正确性略作说明.

因为Sn“为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P

时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加

在Sn“上,所以有Sn=Sn-l+n.

(2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决.为此，可列出表18.2.

表18.2

圆的个数k12345・・・n

圆的交点数ak124711.・・纣？

由表18.2容易发现

=1,

a2-^i=1，

2322=2,

a(4~a3=3，

2524=4,

=

Snran.2n-2,

an-an-i-n-1.

n个式子相加

%=1+[1+2+3+…+(n-1)]

(n-l)n_n2-n+2

=1+-^—=——

所以，当有满足条件的n个圆过P点时，这n个圆共有1*2个交点

注意请读者说明an=a»i+(n-1)的正确性.

例3设a,b,c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中aWbWc,如果b=n(n

是自然数)，试问这样的三角形有多少个？

分析与解我们先来研究一些特殊情况：

⑴设b=n=1,这时b=1,因为aWbWc,所以a=1,c可取1,2,3,­••.若c=1,

则得到一个三边都为1的等边三角形；若c»2,由于a+b=2,那么a+b不大于第三

边c,这时不可能由a,b,c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有

一个.

⑵设b=n=2,类似地可以列举各种情况如表18.3.

表18.3

ac三角形个数

22,32

121

这时满足条件的三角形总数为：1+2=3.

(3)设b=n=3,类似地可得表18.4.

表18.4

ac三角形个数

33,4,53

23.42

131

这时满足条件的三角形总数为：1+2+3=6.

通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为:

,.,n(n+1)

1+2+3+—+n=、门•

2

这个猜想是正确的.因为当b=n时，a可取n个值(1,2,3,…，n),对应于a的

每个值，不妨设a=k(1WkWn).由于bWc<a+b,即nWc<n+k,所以c可能取的值

恰好有k个(n,n+1,n+2,n+k-1).所以，当b=n时，满足条件的三角形总数

为：

,八cn(n+1)

1+2+3+—+n=..

2

例4设1X2X3X…Xn缩写为n!(称作n的阶乘)，试化简：1!X1+2!X2+

3!X3H-----Fn!Xn.

分析与解先观察特殊情况：

⑴当n=1时，原式=1=(1+1)!-1；

⑵当n=2时，原式=5=(2+1)!-1；

(3)当n=3时，原式=23=(3+1)!-1；

(4)当n=4时,原式=119=(4+1)!-1.

由此做出一般归纳猜想：原式=(n+1)!-1.

下面我们证明这个猜想的正确性.

1+原式=1+(1!X1+2!X2+3!X3+…+n!Xn)

=1!X2+2!X2+3!X3+…+n!Xn

=2!+2!X2+3!X3+…+n!Xn

=2!X3+3!X3+…+n!Xn

=3!+3!X3+…+n!Xn=・・・

=n!+n!Xn=(n+1)!,

所以原式=(n+1)!・1.

例5设x>0,试比较代数式x3和x?+x+2的值的大小.

分析与解本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入

两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路.为此，设x=0,显然有

X3<X2+X+2.①

设x=10,则有x3=1000,X2+X+2=112,所以

X3>X2+X+2.②

设x=100,则有X3>X2+X+2.

观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当值较小时，32当

xX<X+X+2;

x值较大时，X3>X2+X+2.

那么自然会想到：当x=?时，x3=x?+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是

本题得解的“临界点”.为此，设x3=x?+x+2,则

X3-X2-X-2=0,

(X3-X2-2X)+(X-2)=0,

(X-2)(X2+X+1)=0.

因为x>0,所以x2+x+1>0,所以x-2=0,所以x=2.这样

⑴当x=2时，X3=X2+X+2；

(2)当0<x<2时，因为

x-2<0,X2+X+2>0,

所以(X-2)(X2+X+2)<0,

即

X3-(X2+X+2)<0,

所以X3<X2+X+2.

(3)当x>2H寸，因为

x-2>0,X2+X+2>0.

所以(X-2)(X2+X+2)>0,

即

X3-(X2+X+2)>0,

所以X3>X24-X+2.

综合归纳(1)，(2),(3),就得到本题的解答.

练习七

1.试证明例7中：

pn2+1

q(n+1)2'

2.平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交)，也没

有三条或三条以上的直线通过同一点.试求：

(1)这n条直线共有多少个交点？

(2)这n条直线把平面分割为多少块区域？

然后做出证明.)

3.求适合X5=656356768的整数X.

(提示：显然x不易直接求出，但可注意其取值范围：505<656356768<605,所以

502<X<602.)

第五章生活中的数学（储蓄、保险与纳税）

储蓄、保险、纳税是最常见的有关理财方面的数学问题，几乎人人都会遇到，因此,

我们在这一讲举例介绍有关这方面的知识，以增强理财的自我保护意识和处理简单财务

问题的数学能力.

1.储蓄

银行对存款人付给利息，这叫储蓄.存入的钱叫本金.一定存期（年、月或日）内的

利息对本金的比叫利率.本金加上利息叫本利和.

利息=本金X利率X存期，

本利和=本金X（1+利率经X存期）.

如果用p,r,n,i,s分别表示本金、利率、存期、利息与本利和，那么有

i=prn,s=p（1+rn）.

例1设年利率为0.0171,某人存入银行2000元，3年后得到利息多少元？本利和

为多少元？

解1=2000X0.0171X3=102.6（TC）.

S=2000X（1+0.0171X3）=2102.6（7G）.

答某人得到利息102.6元,本利和为2102.6元.

以上计算利息的方法叫单利法，单利法的特点是无论存款多少年，利息都不加入本

金.相对地，如果存款年限较长，约定在每年的某月把利息加入本金，这就是复利法，

即利息再生利息.目前我国银行存款多数实行的是单利法.不过规定存款的年限越长利

率也越高.例如，1998年3月我国银行公布的定期储蓄人民币的年利率如表22.1所

示.

表22.1

存期1年2年3年5年

年利率(％)5.225.586.216.66

用复利法计算本利和，如果设本金是p元，年利率是r,存期是n年，那么若第1年

到第n年的本利和分别是Si,S2,…，Sn，则

s1=p(1+r),

2

s2=Si(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r),

3

s3=s2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r),

n

sn=p(1+r).

例2小李有20000元，想存入银行储蓄5年，可有几种储蓄方案，哪种方案获利

最多？

解按表22.1的利率计算.

(1)连续存五个1年期，则5年期满的本利和为

20000(1+0.0522)5g25794(元).

(2)先存一个2年期，再连续存三个1年期，则5年后本利和为

20000(1+0.0558X2)•(1+0.0522)3g25898(元).

(3)先连续存二个2年期，再存一个1年期，则5年后本利和为

20000(1+0.0558X2)2•(1+0.0552)-26003(元).

(4)先存一个3年期，再转存一个2年期，则5年后的本利和为

20000(1+0.0621X3)•(1+0.0558X2)=26374(元).

(5)先存一个3年期，然后再连续存二个1年期，则5年后本利和为

20000(1+0.0621X3)•(1+0.0522)2*26268(元).

(6)存一个5年期，则到期后本利和为

20000(1+0.0666X5)-26660(元).

显然，第六种方案，获利最多，可见国家所规定的年利率已经充分考虑了你可能选

择的存款方案，利率是合理的.

2.保险

保险是现代社会必不可少的一种生活、生命和财产保护的金融事业.例如，火灾保

险就是由于火灾所引起损失的保险，人寿保险是由于人身意外伤害或养老的保险，等

等.下面举两个简单的实例.

例3假设一个小城镇过去10年中，发生火灾情况如表22.2所示.

表22.2

总家数365371385395412418430435440445

被烧家数1012021202

试问：(1)设想平均每年在1000家中烧掉几家？

(2)如果保户投保30万元的火灾保险，最低限度要交多少保险费保险公司才不亏

本？

解(1)因为

1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11（家）,

365+371+385+395+412+418+430+435+440+445=4096（家）.

114-4096^0.0026.

⑵300000X0.0026=780（元）.

答（1）每年在1000家中，大约烧掉2.6家.

（2）投保30万元的保险费，至少需交780元的保险费.

例4财产保险是常见的保险.假定A种财产保险是每投保1000元财产，要交3

元保险费，保险期为1年，期满后不退保险费，续保需重新交费.B种财产保险是按储

蓄方式，每1000元财产保险交储蓄金25元，保险一年.期满后不论是否得到赔款均

全额退还储蓄金，以利息作为保险费.今有兄弟二人，哥哥投保8万元A种保险一年,

弟弟投保8万元B种保险一年.试问兄弟二人谁投的保险更合算些？（假定定期存款1

年期利率为5.22%）

解哥哥投保8万元A种财产保险，需交保险费

800004-1000X3=80X3=240（元）.

弟弟投保8万元B种财产保险，按每1000元交25元保险储蓄金算，共交

80000+1000X25=2000（元），

而2000元一年的利息为

2000X0.0522=104.4（元）.

兄弟二人相比较，弟弟少花了保险费约

240-104.4=135.60（元）.

因此，弟弟投的保险更合算些.

3.纳税

纳税是每个公民的义务，对于每个工作人员来说，除了工资部分按国家规定纳税外,

个人劳务增收也应纳税.现行劳务报酬纳税办法有三种：

(1)每次取得劳务报酬不超过1000元的(包括1000元)，预扣率为3%,全额计税.

(2)每次取得劳务报酬1000元以上、4000元以下，减除费用800元后的余额，依

照20%的比例税率，计算应纳税额.

(3)每次取得劳务报酬4000元以上的，减除20%的费用后，依照20%的比例税率,

计算应纳税额.

每次取得劳务报酬超过20000元的(暂略).

由(1),(2),(3)的规定，我们如果设个人每次劳务报酬为x元，y为相应的纳税金

额(元)，那么，我们可以写出关于劳务报酬纳税的分段函数：

x*3%,x<1000；

<y(x)=(x-800)•20%,1000<x<4000；①

x(1-20%)•20%,4000<x<20000.

例5小王和小张两人一次共取得劳务报酬10000元，已知小王的报酬是小张的2

倍多，两人共缴纳个人所得税1560元，问小王和小张各得劳务报酬多少元？

解根据劳务报酬所得税计算方法(见函数①)，从已知条件分析可知小王的收入超过

4000元，而小张的收入在1000〜4000之间，如果设小王的收入为x元，小张的收入

为y元，则有方程组：

x+y=10000,①

’x(l-20%)20%+(y-800)20%=1560.②

由①得y=ioooo-x,将之代入②得

x(1-20%)20%+(10000-x-800)20%=1560,

化简、整理得

0.16x-0.2x+1840=1560,

所以

0.04x=280,x=7000(元).

则y=10000-7000=3000(元).

所以

fx=7000(元)，

[y=3000(元).

答小王收入7000元，小张收入3000元.

例6如果对写文章、出版图书所获稿费的纳税计算方法是

((x-800)♦20%♦(1-30%),K4000；

,-]x=(1-20%)•20%♦(1-30%),x>4000.

其中y(x)表示稿费为x元应缴纳的税额.

那么若小红的爸爸取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到6216元，问这笔稿费

是多少元？

解设这笔稿费为x元，由于x>4000,所以，根据相应的纳税规定，有方程

x(1-20%)•20%X(1-30%)=x-6216,

化简、整理得

0.112x=x-6216,

所以0.888x=6216,

所以x=7000（元）.

答这笔稿费是7000元.

练习八

1.按下列三种方法，将100元存入银行，10年后的本利和各是多少？(设1年期、

3年期、5年期的年利率分别为5.22%,6.21%,6.66%保持不变)

(1)定期1年，每存满1年，将本利和自动转存下一年，共续存10年；

(2)先连续存三个3年期，9年后将本利和转存1年期，合计共存10年：

(3)连续存二个5年期.

2.李光购买了25000元某公司5年期的债券，5年后得到本利和为40000元，问

这种债券的年利率是多少？

3.王芳取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到2580元，问这笔稿费是多少元？

4.把本金5000元存入银行，年利率为0.0522,几年后本利和为6566元(单利法)？

初一英语竞赛题型解题指导及训练

范丽君

第一章听力

全日制义务教育普通高级中学《英语课程标准》明确规定：初中•年级（七年级）听的

能力要求达到：1.能识别不同句式的语调，如：陈述句、疑问句和指令等；2.能根据语调变

化，判断句子意义的变化；3.能辨认歌谣中的韵律；4.能识别语段中句子间的联系；5.能听

懂学习活动中的连续的指令和问题，并作出适当的反应；6.能听懂有关熟悉话题的语段；7.

能借助提示听懂教师讲述的故事。

初中听力试题虽然类型众多，但从其考查考生的听力技能来看：听音辨音题、听音理解

题和听写题。从考试题的形式上，大部分由选择题组成，加上部分听写题。初中听力测试一

般包括听音辨词、句子理解、对话理解、短文理解四项内容。

听力作为一种语言能力，不同于说、读、写、译能力。在做听力时应注意以下几点：

1.要做好听前准备，听前要集中精力，利用播放录音前的时间，读一下听力试题，对将

要听的材料作出预测。这能帮助我们发展想象和推理的能力，有助于我们理解所听到的内容。

2.听时要边听边记笔记，记下录音中出现的数字、地名和人名，以备用。

3.要学会抓住要点听，如听一篇小故事，要了解事件的时间、地点、人物及主要过程。

切忌力求听懂每个词、每句话。

4.要学会连贯记忆，在听时要联系上下文全面理解和把握说话人的思路，捕捉其中关健

词语，区别主要信息与次要信息。

5.要大胆猜测，由于英语的文化背景和语言表达方式和汉语不同，我们要善于运用自己

已获得的信息进行快速判断和猜测，尤其是根据上下文进行大胆猜测。

英语听力测试是英语考试中已开始就要进行的。听力理解是一个很短暂的过程，如果没

有经过严格地、不间断地训练，是很难适应快速的听力测试的。因此，平时在训练过程中，

要自觉地按测试的标准要求自己，这就需要我们了解听力测试前后要注意的问题。

首先，要调整好心态。在听力测试中，有的学生在听录音时，因第一句或开头部分没听