毕业论文-电网动态频率测量方法及实现研究

页电网动态频率测量方法及实现研究摘要随着国民经济的发展，电作为一种潜力巨大的能源，应用越来越广泛。电力系统在实际运行过程中，频率时刻都在发生着大大小小的波动，频率反映了系统发电与负荷之间的一个动态平衡关系，是电网运行的一个重要指标。频率波动会产生很大的影响。为了电力系统的安全运行，我们必须能够呢快速、准确的频率动态测量。目前测频的方法多种多样。频率测量方法在不断的发展和改进，目前应用比较广泛的基本都是基于数字信号处理。不同的算法在抗噪声干扰、抑制谐波干扰、稳动态测量精度、实时性和运算时间空间复杂程度来说都各有优缺点。概括来说，频率测量主要分信号预处理、频率测量和结果再处理三大部分，而频率测量中算法设计是核心环节。本文以电网的频率测量、分析为应用背景，鉴于已有基于FFT的电力系统频率测量方法，在插值算法的实现、修正公式的求解，计算精度[[]卿柏元，滕召胜，高云鹏，温和.基于Nuttall窗双谱线插值FFT的电力谐波分析方法[J].中国电机工程学报,2008,第25期]以及动态频率测量进行了研究与探索。由于电力系统的频率时刻处于波动状态,采样不可能做到完全同步,基于DFT的算法不可避免的存在频谱泄露和栅栏效应,导致测量的精度无法满足电力系统参数的精度要求[[]李玉龙，白鸿柏，何忠波，路纯红，李冬伟.基于FFT多谐波平衡法的金属橡胶隔振系统振动特性分析[J].振动与冲击,2014,第15期]。基于FFT的改进频率测量算法,通过选择合适的窗函数和双谱线插值的方法来提高频率测量的精度[]卿柏元，滕召胜，高云鹏，温和.基于Nuttall窗双谱线插值FFT的电力谐波分析方法[J].中国电机工程学报,2008,第25期[]李玉龙，白鸿柏，何忠波，路纯红，李冬伟.基于FFT多谐波平衡法的金属橡胶隔振系统振动特性分析[J].振动与冲击,2014,第15期关键字：电网动态频率测量，快速傅里叶变换，栅栏效应，泄漏效应，双谱线插值，频率变化率，MATLAB

ResearchandDesignonthemeasurementofthePowerGriddynamicfrequencyAbstractWiththedevelopmentofthenationaleconomy,thePowerasapotentialsourceofenergy,iswidelyused.Duringpowersysteminactualoperation,frequencyallthetimeisinthefluctuations.Thefrequencyisanimportantindicatorofpowersystemoperation.Frequenciesreflectthebalancebetweengenerationandtheloadonthepowersystem,whichisadynamicprocessofchange.Frequencyfluctuationwillhavemuchimpact.Forsafeofthepowersystem,wemustbeabletodofast,accuratemeasurementofdynamicfrequency.Peoplenowhavealotofmethodsoffrequencymeasurement.Theyhavedifferentadvantagesanddisadvantagessuchascomputationalcomplexity.InGeneral,frequencymeasurementincludesthreeparts:signalpreprocessing,frequencymeasurementsandresultsofthreeparts.Frequencymeasurementalgorithmdesigniskey.Basedonfrequencymeasurementandanalysisapplication,inviewoftheexistingpowersystemfrequencymeasurementbasedonFFTmethod,ourworkininterpolationalgorithmimplementations,correctedformulasolution,dynamicfrequencymeasurementaccuracyaswellashaveresearchandexploration.BecauseofthepowersystemfrequencymomentsinaStateoffluctuation,samplingcouldnotbecompletelysynchronized.Inourwork,ImprovementoffrequencymeasurementbasedonFFTalgorithm,byselectingtheappropriatewindowfunctionanddoublelineinterpolationmethodtoimprovetheaccuracyoffrequencymeasurement,simulatingthedynamicchanges,accessingfrequencyrateofchangebasedonfrequency.Sowecantrackknowledgegriddynamicfrequencychanges.Simulationresultsshowthatthealgorithmreachesthestandardofpowernetworkfrequencymeasurement.Itisfeasibleandeffective.Keywords:FastFouriertransform,dynamicfrequencymeasurementofpowergrid,leakageeffect,fenceeffect,doublespectrallinesinterpolation,therateoffrequencyofchange目录TOC\o"1-3"\h\u24011绪论 11281.1问题的提出及研究意义 149111.2国内外研究现状 1283921.3课题研究方法 2278051.4论文构成及研究内容 272472FFT算法 4165072.1傅立叶变换分类及其应用 4289632.1.1傅立叶变换 489162.1.2离散傅立叶变换 5125972.1.3直接计算DFT的问题 541952.2快速傅里叶变换FFT 6137852.2.1改善DFT运算效率的途径 757972.2.2按时间抽取的FFT算法原理 8292242.3泄漏效应和栅栏效应 11208903加窗插值FFT动态频率测量算法 15231093.1窗函数 1552343.1.1时窗函数的一般考虑 15199203.1.2离散时窗函数的傅立叶序列 17319273.2加窗双谱线插值算法 19263493.2.1Nuttall窗 19275743.2.2双谱线插值算法 22231803.3动态频率测量 23464动态频率测量实验 26153074.1仿真实验 26150004.1.1窗函数的构建 26173344.1.2基于Nuttall窗双谱线插值FFT的频率分析仿真 2621754.1.3频率变化率的分析和仿真 2719634.1.4仿真结果 2860804.2实际测量实验 327208结论 356317致谢 3620180附录 411绪论1.1问题的提出及研究意义随着国民经济不断发展，电的应用将会越来越广泛，电力也已然成为国家一个极其重要的能源。频率是电力系统运行的一个重要指标，也是信号分析与处理中一个最基本的物理量。电网动态频率的定义为标准正弦交流电的频率[[]Albu,M.;Dumitrescu,A.-M.;Popovici,R..Rateofchangeoffrequency-apowerqualitydescriptor[A].2014]，也就是信号每秒变化周期数。近期频率的动态测量越来越成为一个重要课题。频率反映系统发电和负荷之间的动态平衡关系，它的变化是一个动态的过程。电网在实际运行中，频率时刻都在发生着大大小小的波动[[]张恒旭，李常刚，刘玉田，黄志龙，庄侃沁.电力系统动态频率分析与应用研究综述[J].电工技术学报,2010,第11期][]Albu,M.;Dumitrescu,A.-M.;Popovici,R..Rateofchangeoffrequency-apowerqualitydescriptor[A].2014[]张恒旭，李常刚，刘玉田，黄志龙，庄侃沁.电力系统动态频率分析与应用研究综述[J].电工技术学报,2010,第11期频率波动会产生很大的影响。系统频率过高可能使汽轮机超速保护动作，过低则可能使火电厂或核电厂辅机功率严重降低而小能维持运行，低频运行还可能损害大机组的寿命。频率波动引起发电机输出功率、负荷消耗功率和电网电压的变化，而电压变化又进一步影响发电功率和负荷功率两者的改变[[]王勇，姜义成.多项式相位信号瞬时频率变化率估计及其应用[J].电子学报,2007,第12期][]王勇，姜义成.多项式相位信号瞬时频率变化率估计及其应用[J].电子学报,2007,第12期为了电力系统的安全运行，我们必须进行频率控制防止电网频率过低或过高，以及使其在一定时间内恢复到允许范围。频率控制要求我们必须快速、准确的频率动态测量。电力系统的安全运行要求使得动态的频率测量必不可少。准确快速的频率测量对电力系统运行、监测和控制具有重要的意义。1.2国内外研究现状在频率测量中，算法的设计是频率测量中的核心环节。频率测量一般来说，主要包括中心算法和辅助算法两部分。中心算法就是频率测量算法，辅助算法分包括信号预处理和结果再处理两部分[[]朱高中.基于改进小波包变换的谐波检测方法研究[J].工矿自动化,2013,第7期]，分别为频率测量服务以及一些后续的结果处理以实现数据结果的优化，以更好更准确的实现实际的应用。整个披绿测量过程中，中心算法设计中占了主导地位，但是很大的程度上算法能否预期执行和装置是否可靠也受辅助算法影响。实践证明，要想获得一个抗干扰、精度高、实时性强的辅助算法并不简单。要选择合适的辅助算法还是主要看信号模型、后续控制或分析所需的频率特征、主算法的计算能力强弱、响应时间要求、精度高低要求以及软硬件的约束条件等[[][]朱高中.基于改进小波包变换的谐波检测方法研究[J].工矿自动化,2013,第7期[]随着人们对电力系统动态行为认识的深入，频率测量已从早期的过零检测发展到现在的基于数字信号处理和人工智能的方法。这些算法在抗噪声的干扰、抑制谐波干扰、动态测量、和测量精度等方面各有优缺点，其范围覆盖时域、频域和时频联合分析，实现策略包括非线性问题的线性化、数学优化、自适应以及算法组合集成等[[]李达义，陈乔夫，贾正春.基于Matlab中FFT函数的电力谐波分析方法[J].电测与仪表,2002,第7期][]李达义，陈乔夫，贾正春.基于Matlab中FFT函数的电力谐波分析方法[J].电测与仪表,2002,第7期目前，频率跟踪测量方法主要分为硬件方法和软件方法两大类。硬件方法主要通过滤波整形电路以及锁相环来实现[[]毛显惯，陈国军，姚峰，翁崇杰，郑胜峰.一种新的电网频率测量方法[J].电子质量,2013,第8期]。数字倍频器和现场可编程门阵列等现在也在频率实时测量中得到广泛应用。硬件实现比较复杂，成本也比较高。得到更多认可的是软件方法，软件方法[]毛显惯，陈国军，姚峰，翁崇杰，郑胜峰.一种新的电网频率测量方法[J].电子质量,2013,第8期卡尔电力系统交流采样普遍采用傅里叶算法，要使结果准确必须做到同步采样，即采样信号和原始信号严格同步，要保证采样频率为基波频率的整数倍[[]张恒旭，刘玉田.电力系统动态频率响应时空分布特征量化描述[J].中国电机工程学报,2009,第7期]。否则会有很大的误差。为了减小误差和被测信号各参数的准确度，必须要提高傅里叶算法的计算精度。同时为了实时性，必须要提高计算的速度。但电网频率时时刻刻处于波动的状态,很难做到同步采样,在基于离散傅立叶变换(DFT)的算法中，频谱泄露和栅栏效应或多或少都会存在[[]董静薇，于广艳.基于Matlab的FFT频谱分析及IIR数字滤波器设计[J].软件导刊,2008,第10期],这会导致测量结果产生很大的误差，以至于结果无法满足国际标准的精度要求。基于FFT的频率测量算法,通过加窗抑制频谱泄漏和利用双谱线插值进行系数修正[[]高云鹏，滕召胜，卿柏元.基于Kaiser窗双谱线插值FFT的谐波分析方法[J].仪器仪表学报,2010,第2期]，提高老人频率测量结果的精度。仿真结果分析表明,本[]张恒旭，刘玉田.电力系统动态频率响应时空分布特征量化描述[J].中国电机工程学报,2009,第7期[]董静薇，于广艳.基于Matlab的FFT频谱分析及IIR数字滤波器设计[J].软件导刊,2008,第10期[]高云鹏，滕召胜，卿柏元.基于Kaiser窗双谱线插值FFT的谐波分析方法[J].仪器仪表学报,2010,第2期1.3课题研究方法本文研究电力系统频率测量方法，在基于快速傅里叶变换FFT的基础上，选择合适的窗函数、利用双谱线插值进行基波频率的计算。达到提高频率和电压相量估计精度的目的。根据频率估计的初值计算频率变化率。追踪见识电网动态频率变化情况。仿真结果表明该算法具有良好的稳态性能和动态频率跟踪能力。抑制噪声和谐波干扰的能力也比较强强。1.4论文构成及研究内容本文以电网的频率测量、分析为应用背景，鉴于已有基于FFT的电力系统频率测量方法在插值算法的实现、修正公式的求解及计算精度等，在基于快速傅里叶变换的电网动态频率测量进行了研究与探索。得到的主要研究结果主要有：（1）研究基于FFT的动态频率测量方法及装置；(2)用严密的公式推导了快速傅里叶变换与电网频率之间的具体关系式；(3)完成动态频率的波形仿真；(4)、完成程序设计和测量实验，利用窗函数和双谱线插值的方法，解决因非同步采样带来的频谱泄漏的栅栏效应问题；(5)根据频率求得频率变化率，对电网频率的动态变化进行实时的追踪和检测。

2FFT算法很多常见的微积分和卷积运算在傅立叶变换下都可以简化为一般的代数计算，傅立叶变换是数值计算的重要数学工具和主要方法。通过傅立叶变换，信号从时域转化到频域这个全新的空间上来，进而研究信号的频谱结构和变化规律：一方面可以使在时域研究中那些比较复杂的问题在频域中简单化，从而简化分析的过程；另一方面使信号与系统的物理本质更加明显的在频域上被揭示出来。离散傅立叶变换（DiscreteFourierTransform，DFT）就是对信号的频谱进行等间隔采样，也就是要对序列频谱进行离散化，DFT开辟了频谱离散化这样一条全新的道路。使数字信号处理也能在频域上应用数字运算方法，因为它作为一种数值计算方法可以很好的解释离散信号在时域和频域的关系，使数字信号的处理更加的快捷、方便和灵活。特别是快速傅立叶变换（FastFourierTransform，FFT），在信号的实时处理和设备的简化方面发挥了重大作用，在各种数字信号处理中占据中心地位。本章主要讨论了傅立叶变换的种类及特点、按时间和频率抽取的FFT算法、离散傅立叶变换的泄漏效应和栅栏效应等。2.1傅立叶变换分类及其应用最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。若是某个函数它满足一定的条件，将它表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合这就是傅立叶变换。在物理学、电子类学科、概率论、统计学、密码学、声学、光学等不同的研究领域中，傅立叶变换具有各种各样的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。在本文中主要用到了离散傅里叶变换处理数字信息。2.1.1傅立叶变换傅里叶变换在等众多领域都有着广泛的应用，在利用傅里叶变换进行信号处理过程中，它的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小。傅立叶变换将以时间为自变量的“信号”转换为以频率为自变量的“频谱”函数。这种变换也可以应用于解决其它有关物理或数学领域的各种问题，变量的形式也可以相应的改变。当自变量即时间或者频率取连续或者离散形式的不同组合，信号周期与非周期的组合，都可以形成各种不同的傅立叶变换对，即信号与频谱的对应关系。在不同的研究领域里，傅立叶变换具有各种各样不同的变体形式，例如连续傅立叶变换、离散傅立叶变换、快速傅立叶变换、短时傅立叶变换等。2.1.2离散傅立叶变换在实际的应用中，实现频谱分析及其它方面的处理工作，要求信号在时域和频域应该是离散的，计算机的处理能力有限，信号在时域和频域截取的信号都应该是有限长的。所以，必须要对连续的傅立叶变换进行离散化操作。离散傅里叶变换（DFT），就是不仅信号在时域是离散的而且也实现了信号的傅里叶变换频域上的离散。形式上，变换前后信号离散序列不管是在时域还是频域长度都是有限的。但是信号不管是在时域还是在频域序列其实都应当看作是离散周期信号的主值序列[[]李成.视频监控系统中自动调焦技术的研究[D].长沙理工大学,2009]。[]李成.视频监控系统中自动调焦技术的研究[D].长沙理工大学,2009离散傅立叶变换DFT的定义：有限长离散周期序列x(n)(0≤n≤N-1),若满足绝对可和（），记为，（2.9）它的逆变换,（2.10）称为离散傅立叶逆变换（InverseDiscreteFourierTransform，IDFT）式（2.9）中，信号在频域和时域都是离散的而且以N点为周期。离散傅立叶变换序列{}是以2π为周期的，且具有共扼对称性。2.1.3直接计算DFT的问题为了说明快速算法构成之原理，下面研究对x(n)直接取DFT变换时，需要多大的计算量。由DFT的定义式式（2.9）可知，将x(n)与两两相乘再相加就可以得到，计算每一个值时，就需要进行N-1次复数加法运算和N次复数乘法运算。对于N个点的DFT运算，那么就要对上述过程重复N次，运算次数成指数速度增长，复数乘法需要次，复数加法也有N（N-1）次。在实际应用中，是由实数运算来完成的，式（2.9）可表示为（2.12）由式（2.12）可见，一个复数乘法若要通过实数运算实现，要用两次加法以及四次乘法。那么，每一个值的求解都要需要进行次实数相乘和次实数相加[[]张凯.基于嵌入式系统的通用电子测量仪器关键技术的研究[D].西安电子科技大学,2005]。整个DFT运算又要对上述过程重复N次，总共需要和次实数相乘次实数相加。所以实数运算时计算量又有很大的增加。[]张凯.基于嵌入式系统的通用电子测量仪器关键技术的研究[D].西安电子科技大学,2005由此可以得出，在对DFT进行直接运算时，乘法的次数和加法的次数都是按照的速度增长。随着N值得增大，运算工作量迅速增长，按照这种规律，如果在N很大的情况下，要求对于信号进行实时处理，所需要的运算速度就很难实现。因此，迫切需要改进DFT的计算方法，以减少运算工作量。2.2快速傅里叶变换FFTFFT不是一种新的变换，它是计算离散傅里叶变换的一种快速而有效的改进算法。快速傅立叶变换FFT是近代数值数学非常重要的研究成果，在很多领域中都发挥了很大的作用，它使数据的处理及系统的模拟研究进入到数据的实时处理，采用这种算法能使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数很大程度减少，特别是当被变换的抽样点数N越多的时候，FFT算法计算量的节省就越显著。为数字信号处理应用开辟了一个崭新的局面，它的意义已经超出了一个算法范围。快速傅里叶变换是1965年由J.W.库利和T.W.图基提出的。他们发表的关于离散傅立叶变换的著名论文——“机器计算傅立叶级数的一种算法”，使计算N点的离散傅立叶变换运算量从N2降为Nlog2N，使得计算量减小了好几个数量级，引起了各国学者的广泛关注。其实在100多年前，傅里叶变换就被发现。DFT是数字信号处理中最基本也是最常用的运算之一，但直接计算DFT会存在计算量大的问题，因此必须改善DFT运算效率以减少运算量[63]，不易实现，实时性也很差。后来人们对库利-图基（Cooley—Tukey）算法进行一些完善，后来就研究发展了一套高效的运算方法，这就是现在普遍称之为快速傅立叶变换的算法。2.2.1改善DFT运算效率的途径在矩阵[W]中的某些系数是非常简单的。例如对于类似这样的情况，实际上无需作乘法，在N较大的情况下，这一因素可使运算工作量略有所减少。若仔细考察一下DFT的运算，不难发现充分利用系数的一些固有特性，明显可改善DFT的运算效率。的对称性（2.13）利用的对称性可使DFT运算中有些项合并。由于，对实、虚部而言则有（2.13）（2.13）故式（2.12）中的对称项可归并为（2.13）和（2.13）式中其它各项也可找到类似的归并方法，故乘法次数可以减少大约一半。的周期性容易证明（2.14）利用的周期性和对称性，长序列的DFT可以逐步分解，得到比较小点数的DFT。这样一来，运算次数将会大大减少[[]鲍艳.基于DSP的便携式激光测距仪[D].长春理工大学,2009]。基于这个基本思想，FFT算法产生并得到发展。[]鲍艳.基于DSP的便携式激光测距仪[D].长春理工大学,20092.2.2按时间抽取的FFT算法原理该算法首先根据输入序列的次序（也就是n）奇偶性分解成两个子列，然后同样的方法对子列进行再分解成为越来越短的序列。所以该算法称为按时间抽取的FFT算法。为了方便讨论，设输入序列的长度，为整数，如果不满足这个条件，可以在序列后加上若干零值点来实现。这种为2的整数幂次的FFT，也称基-2FFT。由离散序列的DFT定义为（2.15）考虑到的周期性和对称性，则式（2.15）可变化为（2.16）式中，；。若取，则和分别为和的点DFT。因和均是以为周期的，且，则可以得到（2.17）（2.18）式（2.17）、（2.18）可用蝶形运算结构图表示，如图2.1所示。图2.1蝶形运算结构图因为仍然是偶数，就可以按照前面的方法进行相似的分解，次分解之后便可以出现2点序列的DFT。图2.2所示的事当N=8时，FFT运算的一个完整流程图，仔细观察流程图，这个总的过程分成三级。第一级用来计算四个2点离散傅立叶变换，第二级用来计算两个4点离散傅立叶变换，以此类推，第三级就可以计算期望的8点离散傅立叶变换。不难发现，每级的复数乘法和加法的次数都是8，也就是log2N。所以计算8点离散傅立叶变换样本的复数乘法和加法的总次数为。因此，快速算法中点离散傅立叶变换的级的数量为，计算N点离散傅立叶变换样本的复数乘法和加法的总次数为。图2.2N=8的按时间抽取法FFT运算的完整流程图由图2.2所示的流程图以及算法原理，我们不难发现FFT的每级计算都包括了N/2个蝶形运算，这些蝶形运算将原来的N个复数据变成了另外N个复数据。具体的每次迭代计算过程如下式：（2.19）（2.20）式中，i、j为数据所在的行数，m表示第m列迭代。具体的运算过程是由一次复乘运算和一次加减运算构成，也可用图2.3所示。图2.3时间抽取法蝶形运算结构图在图2.2中，任意进行蝶形运算的两个节点和的结果都将作为下一级的新的、两点的节点变量，不会收到其他节点变量的影响。在运算过程中，每个蝶算的两个自变量存储在两个寄存器中，进行运算之后得到的两个结果也将存储在这两个寄存器中将原有的数据覆盖。若是将所有的值在存储单元中已经提前存储好，如果不加进行运算的工作单元，则仅仅需要N个寄存器。每列N个寄存器的数据每列对应着做/2个蝶形运算，全做完后得到N个数值，然后这些数据再开始下一列的蝶算。每次进行一列的运算时，N个寄存器中变量所对应的节点沿横行向右偏移一列，这便实现了原位运算，减少了寄存器和存储器的使用，使设备的成本大大降低[[]郇浩，陶选如，陶然，程小康，董朝，李鹏飞.多普勒频率变化率快速最大似然估计辅助的高动态载波跟踪环路[J].电子与信息学报,2014,第3期]。图2.3时间抽取法蝶形运算结构图[]郇浩，陶选如，陶然，程小康，董朝，李鹏飞.多普勒频率变化率快速最大似然估计辅助的高动态载波跟踪环路[J].电子与信息学报,2014,第3期FFT相比DFT，最大的有点就是运算量小得多。N点的FFT需要做(N/2)log2N次乘法运算,而N点DFT需要做N2次乘法运算。运算量的大大减小使算法的运算速度得到提高，尤其的参加运算的点数比较大时。设有对N点数据分别进行FFT和DFT运算，那么DFT运算量大约是FFT运算量的2N/log2N倍。由此看来，点数越大，FFT的优势愈发明显。例如对1024点的变换,DFT大约是FFT的200倍。取样点数N和乘法次数M的关系如图2.7所示，图中的两条两条线分别对应FFT算法和普通算法。可以明显地看出FFT在计算量上有很大的突破。图2.7FFT和普通算法乘法运算量比较曲线2.3泄漏效应和栅栏效应在进行FFT算法之前，要先对信号进行一系列的处理。信号处理过程中，很难做到同步采样和整周期采样，同时又要对时间信号进行截断处理和频谱的离散抽样，就不可避免的产生了栅栏效应和泄漏效应。泄漏效应本文利用FFT算法所分析的信号，都是通过AD采样得到的数字信号。设开始输入的时间信号模型为（2.27）式中，t的取值范围为负无穷到正无穷。、、分别是该信号的幅值、频率和相位。对信号进行傅立叶变换，可以得到：（2.28）信号按式（2.28）进行变换后，得到的频谱为理想频谱，在频点处分别有一根谱线。但在工程实际中，由于计算机处理数据的能力有限，必须要用窗函数对信号进行截断，取一段有限的时间信号进行处理。即（2.29）信号在时域相乘，对应的，信号在频域进行卷积运算如下：（2.30）由式（2.30）可知，截断之后信号的频谱不再是单一的谱线，谱能量发生泄漏，不再集中，整个频率带都产生了幅值分量，以为中心向两边扩展，成为中间高两边低的连续铺。如图2.8（a）所示。这种就是频谱泄漏现象。频谱形状主要由进行信号截断时所加的窗函数决定，也就是说，窗谱形状与信号的频谱具有一致性。而且对同一信号加不同的窗函数，得到的频谱形状不同。所以选择合适的窗函数可以实现对频谱泄漏有效的抑制。a)a)频谱泄漏b)珊栏效应f/Hz主瓣泄漏旁瓣泄漏幅值/Vf/Hz幅值/V图2.8频谱泄漏与栅栏效应（2）栅栏效应当利用FFT算法进行信号分析时，要对信号连续频谱等间隔的抽样。FFT可以分析出的最大频率是信号采样频率的二分之一，谱线数M是FFT数据长度N的一半，那么抽样间隔为。取样后只能得到各离散频点的值，即离散频率点为其余频点的值相当于被栅栏挡住而观测不到，如图2.8（b）所示，这就相当于透过栅栏观赏风景,只能看到频谱的一部分,而其它频率点看不见,因此很可能使一部分有用的频率成分被漏掉,此种现象被称为栅栏效应.如果频率分量与某抽样频点重合，即，则能得到该频率分量的准确值为（2.31）如果信号中频率分量和抽样频点没有重合，即，那么就只能按照就近原则（2.32）这样近似值与真实值就会产生一个误差，称为栅栏效应误差。其实不管是时域采样还是频域采样，因为是离散取样，栅栏效应都不可避免。在频域分析，由于某些因为栅栏效应而观测不到的频谱可能对于该组信号具有重要的特征信息，栅栏效应就会产生的比较大的误差，对数据结果会产生根本性的影响。（3）泄漏效应和栅栏效应的关系栅栏效应主要由离散抽样造成，计算结果只能得到不定位置的等间隔的离散的点，这种情况很容易产生误差。尤其是在谱峰比较尖锐的时候，栅栏效应产生误差的可能性非常大而且产生的误差也会相当大。例如当信号频谱是理想线谱的时候，只有两条理想的谱线，其他频率分量上谱值都为零。这时候若是离散抽样频点与信号中的频率分量没有重合，那么在频谱上该频率分量也就无法观测到，算法默认为零，那么栅栏效应的误差为无穷大。但是在实际工程测试与应用中，在时域对信号进行截断，不可避免的会产生频谱泄漏现象，频谱泄漏分为主瓣泄漏和旁瓣泄漏。主瓣泄漏可以平缓信号的谱峰，使中心频率附近的频率分量会有一个近似的值。对信号频谱离散抽样时，它在一定程度上就会减小栅栏效应带来的误差，频谱泄露虽然造成了能量的分散，降低了谱线幅值，但是在某种意义上来说，它对栅栏效应误差产生了很大的抑制作用，也不是完全有害的。另一方面旁瓣泄漏完全是有害的。信号加不同的窗函数会对频谱泄漏的形状产生很大影响，因此进行信号截取时，为了提高频谱分析的精度，对窗函数的要求一般是主瓣对旁瓣泄漏大（即最大旁瓣电平小）且对远隔旁瓣衰减速度快，这样就可以很好的抑制旁瓣泄漏，精度也会得到很大的提高。

3加窗插值FFT动态频率测量算法3.1窗函数正如前面所说，在工程测试中，用计算机进行信号处理时，不可能做到对无限长信号实现测量和运算，而是要对信号截取一个时间段来进行分析，然后对观察的信号时间片段进行周期延拓处理，得到一个虚拟的无限长的信号[[]张起丽.高精度计算与FFT算法的应用[J].电脑开发与应用,2013,第2期]，然后再对信号进行傅里叶变换以及其他的[]张起丽.高精度计算与FFT算法的应用[J].电脑开发与应用,2013,第2期对信号进行截断以后必然会产生频谱泄漏的现象。因为窗函数w(t)的频带是无限的，所以即使原信号x(t)是有限带宽信号，截断以后也都会成为无限带宽的函数，也就是说信号在频域的能量与分布被拉伸扩展了[[]郭东亮，张铁军，戴宪华.基于信号延拓的采样信号频谱泄漏抑制[J].仪器仪表学报,2010,第3期]。由采样定理可以知道，不管采样的频率有多么高，信号一旦被窗函数截断，就会引起混叠现象，这种情况是不可避免的。所以信号截断必定会导致一些误差，[]郭东亮，张铁军，戴宪华.基于信号延拓的采样信号频谱泄漏抑制[J].仪器仪表学报,2010,第3期若截断的宽度T增大，即增长矩形窗口，那么窗函数的频谱W（ω）就会被压缩变窄（π／T减小）。从理论上讲，最然频谱的范围仍然是无限宽，但这样一来，中心频率之外的频率分量衰减将会加快，将可以减小泄漏误差。考虑极限情况，当窗口宽度T趋于无穷大时，那么谱窗W（ω）就会变为δ（ω）函数，而δ（ω）与X（ω）的卷积仍为H（ω）。可见，当窗口长度为无限宽时，也就是没有随信号进行截断，便不存在泄漏误差。不同的截取函数造成的频谱泄漏程度不同，为了尽量减少频谱能量泄漏，要选择合适的函数对信号进行截断，这个截断函数就称作窗函数。3.1.1时窗函数的一般考虑不同的窗函数对应着各种不同的频谱，谱线幅值和宽度上各有差异。窗函数几个比较重要的指标是：主瓣带宽、旁瓣峰值电平、旁瓣衰减斜率。频谱泄漏程度主要与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，若窗谱能量可以主要分布在主瓣及其附近，旁瓣的衰减速率可以达到很大，旁瓣的频谱幅度很低，那么在进行信号截取是，得到的频谱准确度会高很多，基本可以较为接近于真实的频谱，为此，在时间域中可采用不同的窗函数来截断信号，为了抑制频谱泄漏，要求谱窗函数既有小的旁瓣，又要有快速的渐近旁瓣衰减速率[[]谢小娟，聂建多，李时阳，杨威，孟伟.正弦信号DFT之频谱泄漏问题的多角度分析[J].山西电子技术,2014,第1期][]谢小娟，聂建多，李时阳，杨威，孟伟.正弦信号DFT之频谱泄漏问题的多角度分析[J].山西电子技术,2014,第1期在离散傅立叶变换中，加窗的主导思想是截取信号时利用比较光滑的窗函数来代替矩形窗函数，以使被截断波形的两端变得更加平滑，降低窗谱旁瓣。旁瓣泄漏是相对比较严重，旁瓣压低了，泄漏自然减少了。窗函数演化的过程如图3.1所示，刚开始是简单的信号截断，之后使间断点平滑，后来到了主、旁瓣特性研究，得到最优化窗函数。图3.1窗函数的演化过程设窗函数的信号模型如下式，它在时域是关于时间的连续函数。时窗区间为，则（3.1）对上述窗函数进行傅立叶变换可以得到频率的连续函数：（3.2）时域权重函数[[]卿柏元.谐波电能计量改进FFT算法研究[学位论文]，2008年湖南大学]w(t)是时窗函数中的一个要点。[]卿柏元.谐波电能计量改进FFT算法研究[学位论文]，2008年湖南大学（3.3）式中，是实常数。权重函数对有各阶微商，时域中关于对称，。由于式（3.1）和式（3.2）在的定义表达式不同，的多次微商在处有可能不连续，这一不连续性将表征式（3.2）在大于f处的渐近特性。将式（3.3）代入式（3.2）求傅立叶变换得谱窗函数为（3.4）对于整数，有（3.5）对于大于的区域，，则将式（2.37）中的因子展开为的级数，可以得到（3.6）由式（2.39）可知，在大于区间，的渐近特性由级数第一个非零项决定。时，以的速率渐近衰减；时，以的速率渐近衰减。为了使谱窗函数的渐近特性较快衰减[[]郭东亮，张铁军，戴宪华.基于信号延拓的采样信号频谱泄漏抑制[J].仪器仪表学报,2010,第3期]，必须选择在上连续的时窗函数w(t)，而且它的高阶微商也必须是连续的。谱窗函数的渐近衰减的程度与w(t)在处连续微商的阶数成正相关[[]宋红卫.基于线性插值的电网频率测量方法[J].工矿自动化,2012,第6期]。[]郭东亮，张铁军，戴宪华.基于信号延拓的采样信号频谱泄漏抑制[J].仪器仪表学报,2010,第3期[]宋红卫.基于线性插值的电网频率测量方法[J].工矿自动化,2012,第6期3.1.2离散时窗函数的傅立叶序列在数字信号处理中使用连续的时窗函数时，需要对其抽样，并且常常将时域转换到频域。此时，时域的乘积等价于在频域的卷积。对谱窗函数进行估计，在区间内将延迟，得到[0，L]区间的时窗函数，（3.7）式中，。假设wD(t)的抽样间隔为，M为偶数，则抽样离散化的时窗函数为（3.8）则当M>2K时，由式（3.8）的点离散傅立叶变换可得（3.9）因此，将离散的输入数据与式（3.8）的离散时窗函数进行乘法运算，由卷级定力可以知道，在频率域上相当于将输入数据的离散傅立叶变换和离散傅立叶序列进行卷积运算。（3.10）由此可见，在频域进行卷积运算的时候，就只有项，方便通过利用卷积来达到时窗函数的效果。选取式（3.8）形式的时窗函数主要是为了达到这个效果。现在主要针对连续时窗函数按等间隔抽样后对谱窗函数的影响进行讨论。抽样后的谱窗函数[[]Arunachalam,V.;NoelJosephRaj,A..EfficientVLSIimplementationofFFTfororthogonalfrequencydivisionmultiplexingapplications[J].Circuits,DevicesandSystems,IET,2014,No.6]为[]Arunachalam,V.;NoelJosephRaj,A..EfficientVLSIimplementationofFFTfororthogonalfrequencydivisionmultiplexingapplications[J].Circuits,DevicesandSystems,IET,2014,No.6（3.11）式中，表示在上等间距重复的脉冲链。由式（3.11）可知，在的整数倍上周期地重复，而在上会出现明显的混叠。为了尽量避免这种现象的出现，必须选择合适的，使它在处的衰减量足够大，进而防止离散化产生的混叠现象。下面列举了几种比较常用的时窗函数，并且对这几种时窗函数的主要性能进行了比较。如图时窗函数的幅度响应以分贝形式表示[[]杨力森，范李平.加窗相位差校正算法在电网频率测量中的应用[J].电网与清洁能源,2009,第7期][]杨力森，范李平.加窗相位差校正算法在电网频率测量中的应用[J].电网与清洁能源,2009,第7期（3.12）式中，为的傅立叶变换；为该变换的直流值。表2.4几种窗的主要性能指标窗的类型主瓣带宽旁瓣电平（dB）旁瓣衰减速率（dB／oct）Hanning窗8/N-3218Blackman窗12/N-5818Blackman-Harris窗16/N-926Chebyshev窗a=2.5-500a=3-600a=3.5-700a=4-8003.2加窗双谱线插值算法快速傅立叶变换是频谱分析的重要的方法，现在也越来越广泛应用在电网的频率测量中[[]Arunachalam,V.;NoelJosephRaj,A..EfficientVLSIimplementationofFFTfororthogonalfrequencydivisionmultiplexingapplications[J].Circuits,DevicesandSystems,IET,2014,No.6]，但是利用FFT进行频谱分析时，要对信号进行截断和离散化处理，频谱泄漏和栅栏效应随之产生，计算得到信号参数结果会产生很大的误差，无法达到测量的国际标准。这时候窗函数的选用就决定了误差的大小[[]汤乐.基于DFT的频率分辨率与栅栏效应分析[J].卷宗,2012,第3期[]Arunachalam,V.;NoelJosephRaj,A..EfficientVLSIimplementationofFFTfororthogonalfrequencydivisionmultiplexingapplications[J].Circuits,DevicesandSystems,IET,2014,No.6[]汤乐.基于DFT的频率分辨率与栅栏效应分析[J].卷宗,2012,第3期本节首先对Nuttall窗进行了主要特性的说明分析，进而对窗函数选择，然后结合双谱线插值算法进行频率算法的研究，利用曲线拟合求出修正系数得到公式，对计算结果进行修正，提出了基于FFT的Nuttall窗双谱线插值的电网动态频率计算方法，3.2.1Nuttall窗频谱泄漏中的旁瓣泄漏造成能量发生拓展，给频谱幅值计算带来误差，是完全有害的。而旁瓣泄漏主要包括两部分：邻近泄漏和远离泄漏。如果窗函数拥有很小的旁瓣就可以有效抑制邻近泄漏。若想减小远离泄漏，那么对窗函数的旁瓣衰减速率就提出了更高的要求。在前面一节中，已经简单介绍了几种窗函数，并对它们的主要特性进行了比较。在进行FFT双谱线插值时，选用的窗函数对于测量结果的精度至关重要。为了更好的抑制频谱泄漏，提高数据结果的准确度，本文在中用到的是Nuttall窗。Nuttall窗的一个特点就是和其他窗函数相比拥有更小旁瓣和最快旁瓣衰减特性[[]张鸿博，蔡晓峰，鲁改凤，张洋.基于改进双谱线插值FFT算法的电力谐波分析[J].水电能源科学,2014,第10期][]张鸿博，蔡晓峰，鲁改凤，张洋.基于改进双谱线插值FFT算法的电力谐波分析[J].水电能源科学,2014,第10期Nuttall窗是一种余弦组合窗，其时域表达式为（3.13）式中，M为窗函数的项数；；bm应满足约束条件：。Nuttall窗的不同项数和阶数对应着不同的窗系数，对应窗函数的功能特性也会有所变化，为了选择合适的Nuttall窗函数，下面列举了几种典型的Nuttall窗函数。它们对应的窗系数和旁瓣特性如下表3.1和表3.2。表3.1Nuttall窗函数的系数窗系数3项1阶4项3阶4项1阶3项最小旁瓣4项最小旁瓣b00.408970.3389460.3557680.42438010.3635819b10.50.4819730.4873960.49734060.4891775b20.091030.1610540.1442320.07827930.1365995b3――0.0180270.012604――0.0106411表3.2Nuttall窗的旁瓣特性Nuttall窗的类型旁瓣峰值电平/dB旁瓣衰减速率（dB/oct）3项1阶-64.1963项最小旁瓣-71.4964项1阶-93.3184项3阶-82.6304项最小旁瓣-98.26经过对比可以知道，4项3阶Nuttall窗相对于其他穿函数，在旁瓣特性方便是最理想的，瓣峰值电平达到了-82.6dB。而且拥有30dB/oct的旁瓣渐进衰减速率，相比其他窗函数是最高的庞斑衰减速率。4项1阶Nuttall窗和4项最小旁瓣Nuttall窗虽然旁瓣峰值电平也比较低，但是它们的旁瓣衰减速率远远低于4项3阶Nuttall窗。综合考虑，选择4项3阶Nuttall窗能够达到更高的数值精度要求。4项3阶Nuttall窗及其频域的归一化幅值对数图[[]滕召胜，高云鹏，周良璋，温和，曾博，杨步明，王一，王璟珣，毛群辉，张红瑛，李聪聪，贺静丹，魏双双.基于Kaiser窗双谱线插值FFT的谐波电能表[P].中国专利：CN201352236,2009.11.25][]滕召胜，高云鹏，周良璋，温和，曾博，杨步明，王一，王璟珣，毛群辉，张红瑛，李聪聪，贺静丹，魏双双.基于Kaiser窗双谱线插值FFT的谐波电能表[P].中国专利：CN201352236,2009.11.25图3.44项3阶Nuttall窗及其归一化幅值对数图3.2.2双谱线插值算法为了更好的说明双谱线插值算法，暂时假设频率是固定的，设采用的信号模型为x(t)以采样频率fs均匀采样得到的离散时间信号，信号如下：（3.14）式中，A0、f0、分别为信号的幅值、频率和初相位。对离散序列x(n)加矩形窗得到，然后对xw(n)进行连续傅立叶变换，可以得到：（3.15）式中，对式（3.3）中得到的连续傅里叶变换进行离散抽样，忽略负频点-f0处频峰的旁瓣影响，得到加窗后信号的离散傅立叶变换的表达式为（3.16）式中，进行离散时抽样间隔为。采样分为同步采样和非同步采样，两种情况下，信号的幅频特性如图3.6所示。从图中可看出，频谱分布差异很大。同步采样时，正弦信号的FFT频谱在各离散点上与信号的理想谱基本吻合，只有一根谱线，而非同步采样的频谱，由中心谱线能量向周围扩散，产生了泄漏，使中心谱值周围的谱值也产生幅值分量，明显与理想谱线相差很多。所以必须对FFT的计算结果进行再处理，使信号的谱值尽量逼近真实值。图3.6同步和非同步采样后的频谱比较下面对非同步采样时的频谱特性进行分析。FFT之后得到的离散频谱，峰值频率不一定会刚好处于离散谱线频点上，若假设峰值点k0附近的两条幅值最大和次最大的谱线分别k1和k2，k1k0k2（=k1+1），那么这2条谱线对应的频率分别是将两个频率分别带入公式（3.4）可以得到两个幅值，分别为和，设、可知取值范围[[]刘毅敏，朱振飞，胡俊，张跃宝，王程林.基于频谱资源描述的动态频率管理方法[J].电波科学学报,2013,第4期]为[0.5，0.5]，将公式带入可得[]刘毅敏，朱振飞，胡俊，张跃宝，王程林.基于频谱资源描述的动态频率管理方法[J].电波科学学报,2013,第4期（3.17）记式（3.5）的反函数为。那么由就可以求出参数，则频率修正公式为(3.18)3.3动态频率测量电网的频率不是固定的50Hz不变的，在电力系统运行过程中电网频率时时刻刻在变化着。为了实时的对频率追踪检测，频率变化率是一个重要的动态指标。频率变化率一般由频率对时间差分求得。工程中，一般要求频率误差在0.01Hz，频率变化率误差控制在0.1Hz/s[[]EdHabtour;MarkPaulus;AbhijitDasgupta.ModelingApproachforPredictingtheRateofFrequencyChangeofNotchedBeamExposedtoGaussianRandomExcitation[J].ShockandVibration,2014,]。考虑到算法的实时性，差分的时间一般小于100ms，可以看出频率变化率对于精度的要求更高[[]Meira-FreitasD;TathamAJ;LisboaR;KuangTM;ZangwillLM;WeinrebRN;GirkinCA;LiebmannJM;MedeirosFA.Predictingprogressionofglaucomafromratesoffrequencydoublingtechnologyperimetrychange.[J].Ophthalmology,2014,No.2[]EdHabtour;MarkPaulus;AbhijitDasgupta.ModelingApproachforPredictingtheRateofFrequencyChangeofNotchedBeamExposedtoGaussianRandomExcitation[J].ShockandVibration,2014,[]Meira-FreitasD;TathamAJ;LisboaR;KuangTM;ZangwillLM;WeinrebRN;GirkinCA;LiebmannJM;MedeirosFA.Predictingprogressionofglaucomafromratesoffrequencydoublingtechnologyperimetrychange.[J].Ophthalmology,2014,No.2针对一个频率有波动的电网信号。对信号进行截取和采样，采样频率为，采样点数为N，截取的段数为segNum，每段的采样点数pointNum，为了后面方便加窗方便，令pointNum=N。为了更加详细和全面的观察电网的频率动态变化，在求取频率变化率时我们分为以下两种情况：截取的信号等间隔相邻S4S2S1S3S5S4S2S1S3S5图3.7截取几段后，分别用前面的双谱线插值方法可以求得基波频率：f(1),f(2),…,f(i)。其中频率f1对应数据点数N1=t1*fs，f2对应的数据点数N2=t2*fs，采样时间间隔，可以得到(3.19)当j=1时，我们设f(0)=50Hz时，则频率变化率：(3.20)当j≥2时，频率变化率为：(3.21)求得频率和频率变化率，以此来检测追踪频率的变化情况。截取的信号等间隔有重合重合的点数可以自己设定，截取的信号如下图所示：S3S2S1S5S4 S3S2S1S5S4图3.8同样的方法，可以求得这几段的基波频率值f（1），f（2）……f(i)。求得频率和频率变化率，以此来检测追踪频率的变化情况。

4动态频率测量实验4.1仿真实验本章首先在构建模拟电网动态频率仿真信号的基础上，进行了离散窗函数的构建，然后根据本文前章提出的基于FFT的Nuttall窗双谱线插值基波频率算法的进行仿真实验。最后对得到的仿真结果进行分析研究，并深入探讨基波频率、采样频率、截断信号的数据长度这些因素对基于FFT的Nuttall窗双谱线插值基波频率算法的精度的影响。4.1.1电网动态频率仿真信号的构建若电网的频率不发生变化，采集到的波形为幅值220V，频率为50Hz的标准正弦波。经过快速傅里叶变换得到的频谱图，它的频谱也近似于两条垂直的谱线。然而，电网的频率时时刻刻都在发生大大小小的变化，是一个动态过程。为了更好的验证本文提出的基于Nuttall窗双谱线插值FFT的基波分析算法，首先针对电网的动态频率信号进行模拟和仿真。仿真信号设为一个频率变化的信号：信号是由两个频率拼接的连续信号。前半段频率f1=50.1，后半段频率f2=50.2，仿真信号两频率对应的周期数分别是C1,C2个，对应两个信号的运行时间分别是t1=C1*1/f1;t2=C2*1/f2，然后对这两个信号进行组合，得到的仿真信号如下:(4.1)电网的频率测量中会受到噪声以及谐波的干扰，为了更好的研究噪声以及谐波等对频率测量精度的影响，对产生的仿真信号进行加白噪声，处理如下：(4.2)为了更好的观察频率的动态变化以及方便频率变化率的测量，将构建的仿真信号分为几段进行处理。分段过程分两种情况。一种是信号相邻等间隔，另一种是信号有重合等间隔。信号分段之后就可以对其进行截断和加窗处理。4.1.2窗函数的构建对数据进行FFT频谱分析之前，要对采集分段后的信号进行加窗处理。下面进行离散窗函数的构建。本文采用的窗函数是四项三阶Nuttall窗。在时域，四项三阶Nuttall窗的表达式为：（4.3）式中，N是进行FFT运算的点数；。当n分别取0,1,…,N-1时，带入式（4.1）得到，，，……，即产生一个离散窗序列，窗序列的长度为N。对采样数据的加窗处理，也就是将得到这个窗序列与同样长度为N的采样序列进行点乘，即由式（4.2）完成对采样数据的加窗处理。（4.2）加窗之后，得到数据序列为，完成信号的加窗处理。4.1.3基于Nuttall窗双谱线插值FFT的频率分析仿真为了双谱线插值算法的说明，设采集得的信号模型为x(n)，输入信号x(n用四项三阶Nuttall窗进行处理，然后进行FFT运算得到离散频谱。由于已经所测频率在50Hz左右，所以计算基波参数时，在40~60Hz的频域范围内，先利用冒泡法找到幅值最大的那根谱线k1，然后在这根谱线的两侧找到幅值次大的谱线k2，同时可以得到这两根谱线的幅值，分别记为y1和y2，进而求出，然后根据前章公式(3.5)得到的反函数，可以求得系数，然后通过修正公式就可以求得基波的频率值。得到一组频率值之后，便可以进行频率变化率的求解。根据得到的频率变化率实现对动态频率的跟踪和检测，同时根据仿真结果进行误差分析和频率算法精度的研究，同时探讨噪声对算法产生的影响。4.1.4仿真结果仿真实验的程序流程如图4.1所示，源程序参见附录。图4.1仿真流程图如果频率不发生变化，可以得到仿真信号的波形，此波形接近于标准的正弦波。经过快速傅里叶变换得到的频谱图，它的频谱也近似于两条垂直的谱线为了模拟电网频率的动态变化，仿真信号设为一个频率变化的信号：信号是由两个频率拼接的连续信号。前半段频率f1=50.1，后半段频率f2=50.2，仿真信号两频率对应的周期数分别是C1,C2个，运行仿真程序（具体程序见附录），波形如图4.4，第一个图为仿真波形，后面5个是截取的5段信号波形。图4.4频率变化的信号仿真波形（为了使波形频率变化更加直观，f1=50.1；f2=70时的情况）图4.5仿真波形对仿真波形进行截取，截取的信号分为5段，然后利用快速傅里叶变换和双谱线插值方法，求取各个段的基波频率。其中频率f1对应数据点数N1=t1*fs=2196，f2对应的数据点数N2=t2*fs=2191.即0-2196点的频率为f1，2197-4387点的频率为f2，计算频率误差时f(1)、f(2)、f(3)真实频率值为50.1，f(4)的真实频率为未知混合频率，f(5)的真实频率为50.2。测得的频率以及求得的频率绝对误差如下表所示：表4.1频率及其误差（无噪声）截取数据段(1)(2)(3)(4)(5)对应数据点数512-10231024-15351536-20472048-25602561-3072f(i)（Hz）50.0995760350.10014354550.1002893150.1947520050.20015501频率真实值（Hz）混合频率50.2频率绝对误差（Hz）-0.000423960.00014354550.000289315——0.000155015频率相对误差-8.4624e-062.86518e-065.77475e-06——3.08796e-06表4.2频率变化率及其误差（无噪声）注：工程中，一般要求频率误差在0.01Hz，频率变化率误差控制在0.1Hz/s截取数据段(1)(2)(3)(4)(5)对应数据点数512-10231024-15351536-20472048-25602561-3072Rocof（Hz/s）-0.004554340.00609634080.0015658871.0147359250.058040150Rocof真实值（Hz/s）000————Rocof误差（Hz/s）-0.004554340.00609634080.001565887————因为f(4)为混合频率，所以无法求（4）、（5）的频率变化率。若是f(5)对f(3)求频率变化率:=0.536388038006009f(5)对f(3)求频率变化率的真实值:=0.537109375000008频率变化率的绝对误差为：=-0.000721336993Hz/s相对误差为：-0.13%对信号添加10%的高斯白噪声，对信号进行截取，得到如下波形。图4.4仿真波形（有噪声）计算频率误差时f(1