圆锥曲线结论

数椭与双线的偶质-（必背经典论）

yxF

O

F椭必的典论

点处切线PT分eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)F在处的角1D

以焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径内切1TF1

O2B

1

F1

O

F2B

1PT平分eq\o\ac(△,)在处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点1轨迹是以长轴为径的圆，除长轴的两个端.

若

Px,y00

在椭圆

2y2ab2

上，则过

P

的椭圆的切线方是

H

D

xy0ab2

T

yF1

OF2

PB

1

x

以焦点弦PQ为径的圆必与对应准相离.

B

第1页

1212

若

Px,00

在椭圆

2y2ab

外，过作圆的两条切线切点

椭

2y2ab

（a＞b＞）的焦半公：为、，切点弦P的直线方程是122

xy0ab2

MF||MF((F(xy)01200y

).PA

xP

F

O

F

B

2y2椭圆(＞＞的右焦点分别为F点为椭圆上ab2任意一点FPF则椭圆焦点三角形的面为2

设过椭圆焦点作线与椭圆相交、Q两，A为圆长轴一个顶点连结和AQ分交相应于焦点的圆准线于MN两，S

tan

2

则MF⊥NF.y

θ

P

N

P

M

x

F1

O

1

F2

Q

A

M

A1

1

O2B1

Q

A2

N

10.过椭圆一个焦点F的线与椭圆交于两点Q,A、A为圆长轴1的顶点AP和AQ交点M，和A交点N，则MFNF.1第2页

a2aa2a11.椭圆

2y2ab2

的不平行于对称的弦

xy)00

为AB的

若

Px,y00

在椭圆

2y2ab

内，则过的弦中点的轨迹方程是点，则

b，即KOMABAB

xy

xy0a2ab2

yA

F

O

M

F

AA

A1

OMA0

xB

Q212.若P(x,y在椭圆002xy0a2b

b

内被Po所分的中点的方程是

14.椭圆的光学特PF1

OF2

QA

F

O

F

AA

B

1BB

第3页

aa1121200OMABABaa221、2双线aa1121200OMABABaa221、2

两点，则⊥NF.

点处切线PT分eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)F在P处的角.1

过双曲线一个焦的线与双线交于两点P、Q,A、A为曲线12平分eq\o\ac(△,)在P处内角，则焦点在直线PT上的射影H点1

实轴上的顶点AP和AQ交于点MAP和AQ交点N，⊥NF.1轨迹是以长轴为径的圆，除长轴的两个端以点弦为径的圆必与应准线相.

AB是曲线

2yab

（a＞）不平于对称轴的，以点半径PF为径的圆必与实轴为直径的相.内切P在1右支；外切P在左支）2y若(x,y在双曲线（a＞0上，则过的曲线000xy的切线方程是0ab22y若(x,y在双曲线（＞＞0）外，则过作曲00xxy线的两条切线切为、，则切点弦PP的线方程是0.a2b2y双线（＞＞o的左右焦点分为，F，P为a

xbxMy为AB的点，则K0，即K。yy02y若(y)在曲线（＞＞0内，则被Po所分00xyy2的中点弦的方程00.a22ab22y若(y)在曲线（＞＞0内，则过Po的中00xy点的轨迹方程是a2ab2椭与双线的偶质（推导经典论双曲上任意一点

2

，则双线的焦点角形的面积为

椭

圆St.22双线＞0,b＞焦半公((,0),c,0)a当M(,y在支时|MF|00当M(,y在支时MF|0102设双曲线点F作线与双曲线相交P、Q两，为双曲长轴上一个顶点，连AP和AQ分交相应于焦点的曲准线于M、

椭圆会推导经典结2y2椭（＞b＞o）ab的两个顶点为A,0)(a与y轴平行的直线交椭于时AP与A交的轨迹方11222y程是.ab第4页

1BC121BC12

过椭圆

a

b2

(a＞b＞0)上一点

A,y

任意作两条

设椭圆

2y2（＞b0）的两个焦为F（于长轴ab2倾斜角互补的直交椭圆于2k0（常数）2yyA

两，则直线BC有定向且

端点）为椭圆上任意一点，在△F中，记PF12cF则.y

F

O

F

C

x

P

A'

α

γ

x

若M为圆

2y2ab

（＞b）上异长轴端点的任点，

B

F、F是焦点,12aant.a22

MFF

MFF1

，则

2若椭圆（＞＞）的左、右焦点分别为F、F，左ab2准线为L则＜≤时可在椭圆上求一点P使1y

是到应准线距离与的例中2MF

α

O

βF

x

]第5页

2222为圆

a

2b

（＞b＞0上任一F为二焦点，A为1

yQ椭圆内一定点，

2AFPA|PF2AF|1

且仅

P

x当

A,F,P

三点共线时，等成

O

P

过椭圆

2y2＞b0右焦点F作线该椭圆于ab2F

AOF

两点，弦的直平分线交轴于P，则

|PF|MN|2

B

y

椭圆

(x)a2

(y)0直线Byb2

有公共点

M

x的充要条件是

A

a

B

b

(AxBy)0

O

PF

已知椭圆

2y2ab2

（＞b＞0O为标原点P、Q为圆

B

N上两动点，且OPOQ.1111（）|OP|2|OQ|a2

2+|OQ|

的最大值为

42b2a2

;

2y210.已知椭圆ab）,AB、椭圆上的两点线ab段AB的垂直平分与轴交于点P,0)则（）

的最小值是

aa

b

a

a

a

a

第6页

y

S

2b2b

cot

yP

x

P

OF2

γA

MB

AF

OF

β

x11.

设点椭圆

2y2ab

（＞b上异于长端点的任一

点F、F为焦点记12

PF

，则

13.已知椭圆

2y2＞b＞的右准线lx轴交点，ab

|PF||PF|

221

S

F

2

2

过椭圆右焦点

F

的直线与椭圆相于AB两,

C

在右准线

l上，且

//

轴，则直线AC经过线段EF的点.yPθ

AF

OFB

OF

MEB12.

设A、是圆

2y2ab

（＞＞0）的长轴两端点P是圆上的一点，

PBA

e分是椭圆的半焦距离心率，则有(1)

|

ab|cos

第7页

111214.过圆焦半径的端点椭圆的切线与以长轴为直径圆相交，则相应交点与相焦点的连线与切线垂1112yL

比为常数e(离心率).（注在椭焦三角形中,非顶点的内、外角分线与长轴点分别称为内、外点）K

2圆焦三角形,内心将内点非焦顶点连线分成定比e.xF1

OF2

E

3圆焦三角形,半焦距必为、外点到椭圆心的比例中.15.过圆焦半径的端点椭圆的切线相应准线于一点则该点与

椭与双线的偶质会推的典结双线焦点的连线必与半径互相垂

双曲线

2yab

（a0,b）的两顶点为

A,0)

A(a,0)

，y

Q

与y轴平行的直线交曲线于P时A与A交的轨迹方程是2y2.ab

x

过双曲线

22a

（0,bo上任一点

x,

任意作两条倾F1

OF2

E

斜角互补的直线双曲线于两点，则直线BC有向且（常数）.

k

BC

22y1.

椭圆焦三角形中,内到一焦的距离与以该焦为端点的焦半径之

若为曲线

22a

（＞0）右（或左支上除顶点的任第8页

12OPQ11122212OPQ111222一点F,是点,1

PFF2

PF

，则

cc2

已知双曲线

2yab

＞＞为标原点PQ为曲线（或

ct）.c2y设双曲线（＞＞）的两个焦点为、（异于长轴ab

上两动点，且OP.1111a2b（）+|OQ|的小值为（3|OP|2|OQ|a2b2a22的最小值是b2端点）为双曲线上任意一点，在△PFF中，记1sinPFFF则.a

F2

2y过曲线a＞＞的右焦点F作直线交双曲线的右a|PFe支于两，弦的直平分线交x于P，则||2y若曲线（a＞0的左、右焦分别为FF，准ab线为L，则当＜≤2，可在曲线上求一点，得是到1对应准线距离d与的例项22yP为曲线（＞＞0上任一F为焦点A为ab双曲线内一定点AF|PA当且仅AFP三共1且和A在y轴同侧时，等号2y双线＞＞0）直线By有共点的a

2y已双曲线（＞0,b＞0,AB是曲线上的两点线段aba22的垂直平分线与x轴相交于点x,0)则x或aa22a22设点双曲线0于实轴点的任一F、a22F为其焦点记PF，则(1)PF||PF|1S.2y设A、是曲线（＞＞）的长轴两端点，是曲a线上的一点，,BPAc分别是双曲线的充要条件是

22

半焦距离心率，有(1)

|

2ab2cos22

第9页

212212

tan

S

PAB

2b2b

已知双曲线

2ya

（＞＞0）右准线l与轴相交于点E，

有抛物焦点问的探过抛物线

y

2px

的点作条直线L和抛物线相交于过双曲线右焦点F直线与双曲线交于A、B两点C在右准线l上且

轴，则直线AC经线段EF的中点.

A

()11

、

()2

两点

过双曲线焦半径端点作双曲的切线，与以轴为直径的相交，则相应交点与相焦点的连线与切线垂

过双曲线焦半径端点作双曲的切线交相应线于一点，该点与焦点的连线必与半径互相垂4.

双曲线焦三角形,外到一焦点的距离与以该点为端点的焦半径之比为常数e(离心率.(注:双曲线焦角形中,非顶点的内角分线与长轴点分别称为内、外点.1.

双曲线焦三角形,其焦点所的旁心将外点与焦顶点连线段分成定比e.2.双曲线焦三角形,半焦必为内、外点到曲线中心的例中.

xp结论12ABAFx1第页

p)x)xxp2

2p22p2结论：若线L的倾角为，则长

AB

2

OBFAF

OFBFOF

证:(1)若

2

时直L的率不存，此时

为物的通

OFAF22sin

径,AB结论得证

8(2)

2

时,设直线L的程为：

ppyx)tany2

结论5(1)

y1

2

12

p24代入抛物线方程得

y

p20

由韦达定理yy1

2

,yy21

证

yx2

,x2

(y2P2224由弦长公式得

AB

2y2p212

2psin

结论6以为径圆抛物的线相切证：设M为AB的点，过A点准线的垂线AA，过B点准线1过M点准线的垂线MM，梯形的中线性质和抛物线的定义知1结论：过焦的弦通长小2psin2pAB

的最小值为

2p

即焦点的弦长中

AABBMM结论7连AF、B则AF11

AB

故结论得证通径长最短.

AAOFFFA同理

FBAFB90111

AFB1结论：

S

oAB8

为第页

oB22111121AAMM结论8AMBM（2）MFAB（）AFoB22111121AAMM1（）AM与AF相于H，MB与FB相交Q则MQ111F，H四点圆

证为

oA

y2yk22yypp12p

y1

2（）AM4M11证：由结论）M在以AB直径的圆AMBM1FB为角三角，M是斜边AB的点11AMFAFF111111

所以结论10：

2y2ppy21

所以三点共线。理可得2）AAFMM901111AFAFM9011

证：过A作AR垂X轴点R过B点作BS垂直X轴于点，准线与轴点为因为直线L倾斜角为则M1MAFAM90ABF

EFAFcos1

AFAF

P1

FB11

同理可得

1FAFB所以MQF,H四共，AMM111

结论：

线段F平分角PEQ

AFAEBF

(3)K

AE

结论9（1）A、B三共（）BOA三共11（）直AO与物线准的交点为B则平行X轴1

(4)当

时,当

时不垂直于B（）设线BO抛物的线交点A，AA行于X1轴第页

222221122，∴．222224代入y12222221122，∴．222224代入y12BBEFAA

BFFA

B,FAA

k2242k2E90相似于EBA＝111＋＝9011BEF即F

可能假设错误结论得证深化：性中，把弦AB过点为AB过对称轴上一点（a,0

BF

线A线BE关X轴对K＋K0AEBE

则有

y2

．证：设AB方程为my=x-a，代入

y

．得：

当

2

时，AF＝EF＝90

y2深化2：焦点弦AB不垂直于x轴，的中垂线交当

时，设直程-其代入方2x

轴于点R，则

|||AB|2p2kx-p(k4A(x,y),B(x,y)则1212

pk2

xx=12

p24

假

设

y)证明：设AB的斜角为，直线AB的程为：2pa(xpx)得：，

，yyAEBEK＝AEp22

pxa)即：．由性质得pppp即yy-222

AB

2psina

，第页

pctga|22)ABxxppctga|22)AB2又设AB的点为M则cosacosaFMa|||∴|cosa|asin，．

，

5.x13126.;AFP7.AO、'三共线；8.BO、A三共线；

p2)2sin

;9.

S

AOB

2sin

；

10.

S

P32

（定值11.

AF

；

BF

；C'

12.BC'垂平分B；13.AC垂平F；

14.

C

F

；总结：基础回顾1.以AB为直径的圆与准线

L

相切；

15.16.17.18.

AB；11'AB('BB')22K=；yy=;x-p

；1.2.

2xy

;;

19.20.

A'B'AF1.2

;3.4.

AC'B90'FB'90

;;

21.切线方程

yp00

第页

p性质深究一)焦弦与切线p

结论10

FA

、过物线焦点弦的两端点作抛物的切线线点位置有何特殊之处？

结论11

PABmin

结论1交点在准线当弦x轴时，则点的标为

,0

线上．

二)焦点弦与切线思考弦AB不过焦线于P点，结论切交点与弦中点连线行于对称轴

也有与上述结论类似结果：结论3弦AB不过焦点即切线交点不准线上时，切线交与弦中点的连线也平行对称轴．

结论12

①

xp

y122

，

yyy2

2、上述命题的逆命题否成立？

结论13PA平分同PB分1结论过物线准上任一点作抛物的切线，则过两切点的弦必焦点

∠．1结论14

PFB过准线与轴交点作抛物的切线，则过切点AB的必过焦．

结论15点M平PQ结论5过线上任一点抛物线的切，过两切点的最短时，即通径．

结论16

FA

AB是物线

y

2（p0点弦，Q是的中点，l是物线的准线，AAl，BBl1

，过AB的线相于，与物线交于点M则有结论6PB．结论7⊥．结论M平PQ结论PA平∠AAB，平B．11第页

1．11若

在椭圆

外，则过Po作椭圆的两条切线2．标准方程：切点为、，则点弦PP的线方程是.3．4．点的切线平分eq\o\ac(△,)F在处的外角.5．PT平eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)F在P处外角，则焦点在线PT上射影点轨迹是以长轴为径的圆，除长轴的两个端.6．以焦点弦PQ为径的圆必与对应准线相.7．以焦点半径PF为径的圆与以长轴为直的圆内.

12AB椭圆中点，则.

的不平行于对称且过原点的M为8．设A为椭圆的左、右点，则eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)F在边PF（PF上的旁

13若

在椭圆

内，则被Po所平的中点弦的方切圆，必与所在的直线切A（）.9．椭圆（＞＞）两个顶点为,，与

程是.y轴平行的直线交椭圆于PP时P与A点轨迹方程是

14若

在椭圆

内，则过Po的弦点的轨迹方程10若

在椭圆

上，则过

的椭圆的切线方是

是..

15．若PQ是椭圆（a＞b＞）上中心张直角弦，则.第页

16．若椭圆

（＞b＞）上中张直角的弦L在直线方程

19过椭圆(a＞＞0)上任一点

任意作两条为

,

则倾斜角互补的直交椭圆于两点直线有定且

（常(1)17．给定椭圆

;(2)：

.（＞＞）：

数）.20椭圆

(a＞＞0)左右点分别为FF点P椭圆上任意一点

，则椭圆的焦点形的面积为,i)对

上任意给定的点,它，.任一直角弦必须过

上一定点M(

.(ii)对

上任一点

在

上存在唯一的点

,得

的任21P为椭圆（＞＞于轴端点的任一,,F

一直角弦都经过

点.是焦点,，.18．设为椭圆（或圆）(a＞0,.b＞0)上一点，PP曲线的动,且弦PP,P斜率存，记为k,,则直线

22椭圆

（＞＞）的焦径公式：,

(,P通过定点

的充要条件是.).第页

23．若椭圆线为，则当

（＞b＞）的左右焦点分别为F、F左准29．A,B为椭圆

上两点，其直线AB与0＜e

时，可在椭圆上一点P，使PF是P到应线距离d与

圆

相交于,则.PF的比例中.30．在椭圆

中，定长为（＜≤）弦中点轨迹方程24P椭圆（a＞＞0）上任,F,F为焦点A椭圆内一定点，则,当且当三点共线时，等成.25圆（＞＞存在两点关直线：

为,其中,当

时,.31．设S为椭圆（＞＞）的通，定长线段L的两端对称的充要条件.

点A,B在椭圆上移动，记|AB|=，

是点，则当

时，26过圆焦半的端点作椭的切线与以长轴为直径的相交则相应交点与相应点的连线必切线垂.27．过椭圆焦半径的端点作椭的切线交相应线于一点，该点与焦点的连线必与半径互相垂.28．是圆（＞b＞0上一点则点P对椭两焦点

有,);当,.

时，有32．椭圆

与直线

有公共点的充要件是张直角的充要条是

.第页

38．是经椭

（＞＞0）焦点任一弦，若33．椭

与直线

有公共点的充要条件是

.

过椭圆中心O的半弦，则

.34设椭圆（＞＞）的两个焦点FF（于长轴

39．设椭圆（＞＞）,M(m,o)或o,为对称轴上端点）为椭圆上任意一点，在△PFF

中，记

除中心，顶点外任一点，过M引一条直线与椭圆相交于P、两点则直,

,，有.

线APQ(AA为称轴上的两顶的交点N在线：,

(或)35经过椭圆

（a＞0的长的两端点A和

上.

40．设过椭圆焦点作直线与椭圆相交PQ两，为圆长轴上的切线，与椭圆任一点的切相交于和P，则

.

一个顶点，连结和AQ分交相应于焦点F的圆准线M、两点则MFNF.41．过椭圆一个焦点F的直线椭圆交于两点P、A、为圆长36已知椭圆（＞＞），为坐标原点，、为椭上两动点1）2+|OQ|

轴上的顶点AP和AQ交点M，PAQ交于点N，MF⊥NF.42椭圆方程,斜率为k(k≠0)的平行弦的中必在直的最大值为;（3）

的最小值是.

线：

的共轭直线

上,且.37MN是经椭（＞＞）焦点的一弦，若是过椭圆心O且平于MN的弦，则

.第页

43设ABCD为圆

上四点ABCD所在线的倾47．设A（,y）椭圆（＞＞）任一点，过A作角分别为

，直线AB与CD相交于P,且不在椭圆上,则一条斜率为

的直线L设d是点直的距,

分别是.

A椭圆两焦点距离，则

.44已知椭圆圆的焦点，

（a＞＞）点P为其上一点F,为椭的外（内）角平线为，FF分垂直于R、，

48椭圆（a＞0（一直线顺次与它相交于A、、C、四，则│=|CD│当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是

49．已知椭圆（a＞＞）,A、、是椭圆上的两点，(

).

线段AB的垂直平分线轴相交于点

,

则45设内接椭圆，AB为

的直径，为AB的轭直径所.在的直线，分别直线ACBC于E和F又D为上点则CD与椭相切的充要条件D为EF的点

50．设P点是椭圆

（ab＞）上于长轴端点的任一46过椭圆（＞＞0）的右焦点F作直交该椭圆右支

点,F

、F

为

其

焦

点

记，

则于M,N两点，弦MN的垂平线交轴于P，(1).(2).第页

51设过椭圆的轴上一点Bm,o作直线与圆相交于P、Q点，A为圆长轴的顶点AP和AQ分别交相应于过B点的线MN：

为锐角且

或（且仅当

时取等号）.于MN点则.55．已知椭圆

（＞b＞），线L通过右焦点F,且52L经过椭圆（ab0长轴顶点A且长轴垂直

与椭圆相交于A、B两点，A、B与椭圆左焦点F连起来，则的直线EF是椭两个焦点离心率点

，若，（当且仅当AB⊥轴右边不式取等号，是锐角且

或（且仅当

时取等号）

当且仅当A、F、三点线时左边不等式取等.56．设、是椭圆（＞b＞）的轴两端点，是53L是圆

（ab）的线A、B是圆的长轴圆上的一点，

,

,

分别椭的两顶点点

，e离心率，，是L与X轴交c是

半

焦

距

离

心

率

，

则

有焦距，则

是锐角且

或（且仅当

时取

(1).(2).(3)等号）.54L椭圆是L与的交

（a＞＞0的线E、是个焦点H，,离心率为e焦距为c

57．设A、是椭（异于原点）、部的两点，

（ab＞）长上分别位于椭圆内、的横坐标，1）若过第页

A点直线与这圆相交于PQ两，则

；（）若过61到椭圆

（ab两点的距离之等于（c引直线与这椭圆交于P、Q点，则

.58设A、是椭（ab＞）轴上分别位椭圆内（异于原点），部的两点，1）若过A点引线与这椭圆相交于PQ

为半焦距）的动M的迹是姊妹圆.62．到圆（a＞＞）的轴端点的距离比等于两点交椭圆于两点不关轴对

，（半焦距）动点M的轨是姊妹圆

.则点、B的横标、

满足

；（）若过B点直线与这椭圆相交于、两点且足.

,则点、B横标满63．到椭圆

（a＞＞）的准线和x轴交点的距离之比为

（半焦距）动点的轨迹姊妹圆59．设

是椭圆

的长轴的两个端，

是与

垂

（e为心率）.64．已知P是椭

（a＞＞0）上个动点，

是它直的弦，则直线

与

的交点P轨迹双曲线.长轴的两个点,且

,

，则点的轨迹方程是60过圆（a＞＞的焦点CD.

作互相垂直的两弦、.65．椭的一条直径(过中心弦的长为通一个焦点且此直径平行的弦长和长之长的比例.第页

66椭圆（ab＞轴端为,

是69．

是椭圆（＞＞0）上一个定，PA、PB是互垂直的弦，则（1）直线AB必经一个点椭圆上的点过P作率为

的直线过

分别作垂直于长的直.（2以P、B为径两圆的另一线交于

,则

个交点轨迹程是（）

（2）四边形

面积的最小值是.(

且67知圆

（ab＞右线与x轴交于点，).过椭圆右焦点

的直线与椭圆相于A、B两点

在右准线上，且

70．如果一个椭圆短半轴长为b，焦点F、F到线

的距离分别为轴，则直线AC经过段EF的中点.

d那（1）

，且F在

同侧

直线L和圆相切.68OAOB是椭（a＞0,b＞）两条互相垂直

（2在L同直线或F、在L异直和椭相交.

和椭圆相离

，的弦为标原1直AB必经一个点.(2)以

71．AB是椭（＞＞）的长轴

是椭圆上的动点过

的切线与过AB的线交于

、

两点则形的角线的交OAB为径的圆的另一个点Q的迹方是点M的轨迹方程

..第页

72设点

为椭圆（a＞＞）的内部一定点

83．椭焦三角形中,过任一点向非焦顶点的角平分线引垂线则椭圆中心与垂足距离为椭圆半轴的.84．椭焦三角形中,过任一点向非焦顶点的角平分线引垂线垂足就是垂足同侧半径为直径圆和椭圆长轴直径的圆的AB椭圆

过定点

的任一弦，当弦AB平行或合）

85．椭圆焦三角形,非焦顶的外角平分线与半径、长轴在直线于椭圆长轴所在线时.弦AB垂直于长轴所在线,.

的夹角的余弦的为定值e.86．椭圆焦三角形,非焦顶的法线即为该顶的内角平分.87．椭圆焦三角形,非焦顶的切线即为该顶的外角平分.88椭圆焦三角中,过非焦点的切线与椭圆轴两端点处切线相交,以两交点为径的圆必过两焦.73圆焦三角中以焦半为直径的圆必与椭圆长轴为径的圆相内切74椭圆焦三角的旁切圆必长轴于非焦顶同侧的长轴

89.

已知椭圆(包括圆在内)上一点,75椭圆两焦点椭圆焦三角旁切圆的切线为定值a+ca-c.

过点

分别作直线

及

的平行线，与直

分别交于76椭圆焦三角的非焦顶点其内切圆的切长为定值a-c.77圆焦三角中内点到焦点的距离与以焦点为端点焦半径之比为常数e(离心率.注在椭圆焦三角中非顶的内、外角平

,

为原点，则.分线与长轴交点别称为内、.78椭圆焦三角中,内心将点与非焦顶点连段分成定比e.

（1；2.79椭圆焦三角中,半焦距为内、外点到椭中心的比例.80圆焦三角形中椭中心到内点的距离点同侧焦的距离、

90.过平面上的

点作直线

及

的平行线半焦距及外点到侧焦点的距成比.81椭圆焦三角,半焦距外点与椭圆中心线段、内点同侧焦

别交轴于交

轴于（若

则

的点连线段、外点同侧焦点连段成比.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引线,则椭圆中心与垂足线必与另一半径所在直线.第页

轨迹方程是.(2)，则轨迹方程是.

的91.

点

为椭圆

(括圆在内在一象限的弧上任意一点过

引轴、

轴的平行线，交

轴、轴于，交直线

于，记

与

的面积为，：.92.点

为第一象限内一，过

引轴、

轴的平行线，交轴、轴交直线

于记

与

的面积为，已知，则.

的轨迹方程是第页

1．

10若在双曲线（＞＞）上，则过曲线的切线方程.

的双2．标准方程：11．若

在双曲线（＞0,b）外，过Po作3．4．点的切线平分eq\o\ac(△,)F在处的内角.5．PT平eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)F在P处内角，则焦点在线PT上射影点轨迹是以长轴为径的圆，除长轴的两个端.6．以焦点弦PQ为径的圆必与对应准线相.7．以焦点半径PF为径的圆与以实轴为直的圆外.8．设A为双曲线的左、顶点，PF在边PF（或PF）上旁切圆，必与AA所的直线于或.

双曲线的两条切切点为P点弦的线方程是.12AB是双线（a＞0的不平行于对称且过原点的弦，AB的中点，则13若

在双曲线（＞0,b）内，则被Po所9曲线（＞0,b0两顶点,，与轴平行的直线交双曲线PP时与AP交的轨迹方程是

分的中点弦的方是.

14若中点的轨迹方程第页

在双曲线（＞0,b）内，则过Po的.

15．若PQ是双线（a＞）对中心张直角的弦，18．设

为双曲线（＞0,b0）上一点P为线C动弦且弦PP,PP斜存在，记为,k,则线P通过定点则.的充要条件是

.16．若双曲线

（b＞a＞）上心张直角的弦L在直线19过双曲线

（a＞0,b上一点

任意作两条方

程

为

,

则倾斜角互补的直交双曲线于B,C两直线BC有向且(1)17．给定双曲线

;(2)：,i)对

.（常数）（ab0）,：20双曲线上任意给定的点,它F，P为曲线上意一点

（＞0,b）的右焦点分别为F，则双曲线的焦角形的面积任一直角弦必须过(ii)对上任一点

上一定点在

上存在唯一的点

.,得

的任

为，.21若双曲

（a＞0,b0）右或左）支上除顶点外一直角弦都经过

点.的点,F

是焦点,（或

）.

,，则第页

22．双曲线

（a＞0,b＞o）的焦半径：

26曲线焦半的端点作双曲线的切线长为直径圆相交，则相应交点与相焦点的连线与切线垂.27过双曲线焦半径的端点作曲线的切线交相准线于一点该(

,

与焦点的连线必焦半径互相.当

在右支上时，

,

.

28P是曲线（＞＞）上点，则点P对双曲线当

在左支上时，

,

.两焦点张直角的要条件是

.23．若双曲线

（a＞0,b＞）的左、右焦点分别为F，左准线为，则

29设为双线（＞0,b，上点，1＜e时，可在双曲线求一点P，得PF到对准线距离d与的比例中项

其直线AB与双曲线

相交于,则.24．为双线为双曲线内一定，则

（＞0,b0）上一,F,F为焦点A,当且当三点

30．在双曲线

中，定长为（））的弦中点轨迹方程为共线且

和

在y轴同侧时，号成立,其中,当

时,.25．双曲线（a＞＞）上存在两点关于直线：31．设S为双曲（＞0,b）的径，定长线段L对称的充要条件

两端点在双曲线上移动AB|=，第页

是AB中点

时，有,);当

时，35．经过双曲线（＞0,b＞）实轴的两端点A和A的.

切线，与双曲线任一点的切相交于和P，

.36．已知双曲线

（ba＞），为标原点、Q为32双线

（a＞0,b＞与线

有公共点的充要条件是

.

双曲线上两动点且.（

;（2）33．

（＞0）与直线

|OP|+|OQ|的小为

;（3

的最小值是.有

公

共

点

的

充

要

条

件

是37MN是过双线（＞0,b过焦点的任交于.两支AB是经过双曲线中心O且平于MN的

.34设双曲线（＞0,b＞）的两个点为FF（异于长端点）为双曲线上任意点，在△F中，

38是过双线

（＞＞的任一弦(交同支，,,，

则

有若过双曲线中心O的半弦

，则..第页

39设双曲线（＞0,b,M(m,o)为轴所在线上除44．已知双曲线

（a0,b0）,点P为上点F,

中心，顶点外的一点，过M引条直线与双曲相交于P、两点则直

为双曲线的焦点

的（内角平分线为作FF分垂直于线APAQ(AA为顶点)的点在直：,

上

R、S，当跑遍个双曲线时R、形的轨方程是40．设过双曲线点F作线双曲线相交P、Q两点，为曲线长轴上一个顶点，连AP和AQ分交相应于焦点F的曲线准线于、N点，则MFNF.

(

).41过双曲线一焦点F的直线与双曲线交于点P、Q,A、A为双

45．三顶分别在双曲线

上，且为

的直径，为AB的曲线实轴上的顶，P和AQ交于M，AP和AQ交于点N则MF⊥NF.共轭直径所在的线，分交直线ACBC于E和F，又D为上一点，则42曲线方则斜率为≠的行弦的点必在CD与曲线

相切的充要条件D为EF的中点直线：

的共轭直线

上,而且.

46．过双曲线（＞0,b＞）的右焦F作直交该双曲43设A、C、D为曲线

（a＞0,bo）上四点,AB、

线的右支于两，弦MN的直平分线交x轴P，则.CD所直线的倾角分别为

，直线AB与相于P,且P在双曲47．设A（,y）是双曲线（＞0,b＞）任点，过线上,.A作一条斜率为

的直线，又设d是点到直L的距离,

分别是A到双曲线两焦点的距离则第页

.

48．已知双曲线

（＞0,b＞0）和52L是过双曲线（＞＞）点且与轴直的（

），一条直线顺与它们相交A、B、C、四点则│AB

直线双曲实轴的两个点是离心率点

，│=|CD.则

是锐角且

或（且仅当

时取等号49已知双曲线（＞＞）、是曲线上两点，53L经过双线

（a＞0,b）的轴顶点A与x轴线段AB的直平分线x轴相交于点,则

或垂直的直线、是双曲线准线与x轴交点点

，e离心率，.是与轴的点c是焦距则

是锐角且

或50设点双线

（a0,b＞0）上于实轴端点的任（当且仅当

时取等号.一

点,F

、F

为

其

焦

点

记，

则54是双曲线

（＞＞点F且x垂直的直线，(1).(2).51．设过双曲线的实轴上一点B（）直线双曲线相交于P两点为双线轴的左顶点结AP和AQ分交相应于过B点的直线

E双曲线准线x轴交L与x轴的交点

，,离心率为，半距为c，则

为锐角且

或（MN：

于M，两点,则.且仅当第页

时取等号）.

55已知双曲线（＞＞），直线L通其焦点58．设A、B是曲线（＞0,b）实轴上分别于双曲且与双曲线右支于A、B两，将A、双线左焦点F连起来，则

线一支内（含焦的区域），部的两点，）过A点直线与双曲线这一支相交于P、Q两，（若BP交曲线这支于两点，则P、Q不（当且仅当⊥轴取等号.

于轴对称），且，则点A、的坐标、

满足；（）若过B点引线与双线这一支相交于P、Q两，56设、B是双曲线

（a0,b0）的轴两端点，是,则点AB的横坐标满足

.双曲线上的一点

,

,

c别是双曲

线

的

半

焦

距

离

心

率

，

则

有

59

是双曲线

的实轴的两个端，

是与

垂(1).(2).(3)直的弦，则直线

与

的交点P的轨迹是双曲线.60．过双曲线

（a＞0,b＞0）的焦点

作互相垂直的两弦57设A、是双线（＞0,b0）实轴上分别于双曲AB、CD,则

.线一支含焦的区域部两点、

的横坐标，（