周世勋量子力学教(学)案5253

如何分？假设本征值及本征函数较容易解岀或已有现成解，是小量能看成微扰，在已知解的基础上，把微扰的代入方程=朗+卿+护矽+…)(巒聊+2變屮+护巒严+…)⑵ (0叫-或)理严_(的一童屮艸屮*恵卩®严=①求能量的一级修正 (2)式左乘并对整个空间积分丹件曲⑴-琦则％"囲叮叫叩珂仇-f时叨'时滋f巫严田⑷—理艸曲“J[依⑻-即同町吧叫“0能量的一级修正等于在态中的平均值②求对波函数一级修正仍是方程(2)的解，选取a使展开式不含将上时代入式(2)S説％叫严-曆乞品即二础祁此月邨°)i以Zi令i左乘上式，对整个空间积分i③求能量二级修正把代入⑶式，左乘方程(3)式，对整个空间积分冋严(肿—肿财靳一迟'歸十吒鈕弘+朗即驾/町=Z•諳牛=苓屛鼻讨论：(1)微扰论成立的条件: (a)可分成，是问题主要部分，精确解已知或易求(b)<<1 (2)可以证明例：一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场作用，电场沿x正方向，用微扰法求体系的定态能量和波函数[解]曙二卜严(齐洱叩(力毎-略可阂(曲护％是的偶函数瞪=f哼飞眉皆(讪=型『小叩⑴血—co—C&利用递推公式波函数的一级修正利用能级移动可以直接准确求岀令:假设是简并的代入上式以左乘上式两边，对整个空间积分边边--■亿3不全为零解的条件是由久期方程可得到能量一级修正的k个根由于具有某种对称性，因此不考虑时，能级是k度简并的,考虑后，哈密顿量的对称性破坏降低或完全消，使能级的简并度要确定，需求岀，将代入上式，可求岀。斯塔克(stark)效应：氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象 下面研究n=2时的能级分裂现象:求 时，矩阵元才不为零只有两个态角量子数差，和不为零为实的厄密算符带入久期方程没有外电场时，原来简并的能及在一级修正中分裂为三个，兼并部分消除[解]由归一化条件①当时②当时应用微扰论应很小，否则微扰论不能应用，本节所介绍的变分法不受上述条件限制对任意一个归一波函数能量平均值即用任意波函数算岀的平均值总是大于体系基态能量，而只有当均值才等于。(1).选取含有参量的尝试波函数。根据具体问题的特点，选数学形式上较简单，物理上也较合理的试探波函数。所得结果就是恰好是体系的基态波函数时,，N能量并与精确解比较。kr2sm我敌旳加歹二42sinsin乙■灼+…上府咱2"=rdr加由严格解为带正电2e,核外两个电子核固定论一般形式的薛定谔方程如有分离的能量本征值关通过分离变量对任意一态t某个本征态即即如果t>0时，(不含时间)则体系一直保持如t>0时，哈密顿量加上一微扰，(通常是含时间的)状态将发生变化，这时将不再是能量本征态能量本征态为岀现的几率，也就是原来状态跃迁到的跃迁几率。考虑后，如何求？代入方程利用上式简化为以左乘上式，对整个空间积分MM上式是薛定谔方程在能量表象中的形式JH考虑到一级修正讨论：(1)利用的厄密性，在一级近似下，(2)对简并情况下，不能由此得岀从能级如有简并的跃迁几率等于从能级的几率。计算的跃迁几率跃迁几率与时间无关如初态有简并。性质:x=0利用跃迁速率(2)只在末态能量的围中才有显著跃迁几率，可看出只有当连续变化时才有意义。用态密度，则表表示体系末态的因此从初态到末态跃迁几率是各种可能跃迁几率之和(黄金规则)末态是自由粒子动量的本征函数时的态密度：箱归一化每一组的值确定一个态动量在围态的数目为能量为(或动量为)单位立体角的态密度。在光的照射下，原子可能吸收光子而从低能级跃迁到较高能级或从较高能级跃迁到较低能级而放出子。这种现象分别称为光的吸收与受激辐射。光为电磁场，场强是周期变化的，原子在光的照射下，实际上是受到一周期性微扰。体系在t=0时,受关本征函数论：当即第二项正比于时间t，第一项不随时间增加，因此第二项起主要作用。同样时，第一项，第-项起主要作时，跃迁几率很小，因此只有或时，才能岀现明显跃迁。也就是说，只有当外界微扰含有频率体系才能从态跃迁到态，体系吸收或发射的能量是，这是共振现象。时时时，利用令AR沪|如哄寸叫±唧当，只有时，跃迁几率才不为零，即体系由当时跃迁几率不为零，体系吸收能量能量时间测不准关系态跃迁到态，发射岀能量的光子确定，不确定t测量时间间隔情况光的吸收在外界作用下当无外界作用时，原子中的电子处于定态按量子力学的观点它应永远处在这个定态，不可能自发跃迁至较低能级并辐射岀光子。而要想达到辐射平衡必须有自发跃迁，只因为我们把光子看成了经典的电磁场，只有用现象。一.自发辐射和爱因斯坦理论爱因斯坦建立了一套理论，他先假设同时存在平衡条件来建立自发辐射与受激辐射之间的关系，利用量子力学件给岀原子体系的自发辐射系数。自发辐射和受激辐射，当体系和辐射场达到热平衡后，用含时微扰论求岀受激辐射系数，再利用平衡条,的自发发射系数，单位时间由的几率。,受激发射系数，为单位时间由的跃迁几率，为外加电磁场的能量密度。吸收系数，为单位时间原子由的跃迁几率。T由麦克斯韦—玻尔兹曼分布律，K:玻尔兹曼常数由热平衡时，黑体辐射时的普朗克公式由麦克斯韦—玻尔兹曼分布律可知二.用微扰论计算发射和吸收系数这里我们把光波看成经典理论中的电磁波1.沿轴传播的平面单色偏振光 禺单位时间原子由态跃迁到态的几率光波的能量密度不为零的条件:连续分布，各向同性,对光的频率分布围积分原子在单位时间由的几率再考虑各向同性，对所有偏振方向求平均迁000V(2/-1X2/41)不同时为零的条件:,最后的出不为零的条件 第五章小结总结】扰论将复杂的体系的哈密顿量分成与两部分。是可求出精确解的，而可看成的微扰。只需将精确解加上由微扰引起的各级修正量，逐级迭代，逐级逼近，就可得到接近问题真实的近似解。确定时，先确定，再用确定(1)非简并(2)简并兼并情况的不同之处是，若按微扰论的基本特点，仍让的精确解作为定态解的零级近似的话，那么需先要解决的问题是如何从个简并态中挑选出正确的零级近似波函数，正确的零级近似波函数应是使对角化的基矢。对角化后对角上的元素为对能量的一级修正。为此令期方程求出能量一级修正，将每个解代入方程可求出每个解对应的零级近似波函数、、.、、“i)简并非简并的区别是对我们所考虑的能及来说的，与其他能级是否兼并无关。)新的零级近似的波函数是彼此正交的iii)在以新的正确地零级近似波函数为基矢的之空间即、与在该空间都是对角化的000…04t■I'0■*IL03.含时微扰3.含时微扰的作用是使体系由原来的一定态(2)跃迁几率列的可能态，体系由跃迁到态的几率为