【新教材】人教A版选择性必修第一册全册单元测试（每单元易+中+难3份）（学生版+解析版）

第一章空间向量与立体几何单元检测卷（易）

一、单选题.

1.（2020.北京昌平一中高二期中）已知"（1,1,1）,8（-3,1,5）,则同的值为（）

A.4B.472C.5D.5&

2.（2021•北京市育英学校高二期末）已知向量万=（-1,2,4）,b=（x,-l,-2）,并且则实数X的值为

)

A.10B.-10C.1D.--

22

3.（2021•浙江）如图，在平行六面体7的棱中，与向量五不模相等的向量

有

A.0个B.3个C.7个D.9个―

4.（2020•全国高三专题练习）已知平面a的一个法向量为万=（1,2,2＞，A8=（-2,-4,-4）,

则直线AB与平面a的位置关系为

A.AB//a'B.ABuaC.相交但不垂直D.ABLa

5.（2020•北京师范大学万宁附属中学高二期中）已知）=（1,0,1）,很=（x,l,2）,且£%=3,则向量万与5

的夹角为（）

6.（2021•塔什库尔干塔吉克自治县深塔中学高二期末（理））如图，已知空间四边形O48C,

其对角线为O8,/C,M,N分别是04CB的中点，点G在线段A/N上，且使MG=2GN,

用向量②，瓦，反表示向量后为（)

A.OG^OA^OB^OC

B.OG=LOA+IOB+IOC

633233

C.OG=OA+-OB+-OCD.OG^-OA+-OB+-OC

33233

7.（2021•黑龙江高三一模（文））如图，已知棱长为2的正方体力BCD-40GA，E,F,G

分别为的中点，则异面直线4G与EF所成角的余弦值为（）

A.0B.—C.—D.1

102

8.（2021・全国）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，

例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖腌指的是四个面均为直角三角形

的三棱锥如图，在堑堵/8。一/4G中，4c8=90'，若AB=6,AA}=2,当鳖腌

4-48C体积最大时，直线8。与平面Z8玛4所成角的余弦值为（）

3四RVior1n2V2

A•---------D.--------v•U.---------

IO1033

二、多选题.

9.（2021•广东高二期末）已知向量2=（4,-2,-4筋=（6,-3,2）,则下列结论不正确的是（）

A.a+b—（10,—5,—2）B.a—b—（2,—1,6）

C.a»b=10D.p|=6

10.（2020•全国高二）（多选题）已知直线/过点尸（LO,-1）,平行于向量£=（2,1,1）,平面a过直线/与点M（l,2,3）,

则平面a的法向量可能是（）

A.(1)—4,2)B.C.D.(0,—1,1)

11.（2021•揭西县河婆中学高二月考）已知£,F分别是正方体的棱8c和。的中点,

则（）

A.4。与BQ是异面直线

B.4。与£尸所成角的大小为45。

C.4尸与平面BE8所成角的余弦值为:

D.二面角的余弦值为逅

3

12.（2021•邵阳市第二中学高三月考）如图，菱形48。边长为2,440=60。，£■为边48的中点.将A/DE

沿。E折起，使A到4，且平面©。平面8CQE,连接WB,A'C.

则下列结论中正确的是（）

A.BDLA'CB.四面体HCDE的外接球表面积为阮

C.8c与4D所成角的余弦值为;D.直线H8与平面/C。所成角的正弦值为逅

44

三、填空题

13.（2021•上海位育中学高二期中）已知直线/的一个方向向量为2=（1,-2,0）,平面1的一个法向量为

万二（加,3,6）,且///a,则加=.

14.（2020,全国高二课时练习）如图所示，在长方体48CD-4&GD1中，AB=BC=2fAAi=也,E,F分别

2

是平面AiBiGDi,平面BCG81的中心，则E,F两点间的距离为

15.（2021•北京高三其他模拟）已知边长为1的正方体X8CQ-4AGR,M为8c中点，N为平面OCCQ

上的动点，若MN，/。，则三棱锥N-/UQ的体积最大值为.

16.（2021♦全国高二课时练习）已知正方体力BCD—44GB的棱长为2,点M,N分别是棱8C,CG的

中点，则二面角C-/A/-N的余弦值为.若动点尸在正方形（包括边界）内

运动，且P4II平面NMN,则线段P4的长度范围是

17.（2021•全国高二单元测试）如图，在平行六面体中，设刀|=

a，AB=b>AD-c，M,N,P分别是44”8C，G3的中点，试用/底表示以下

各向量：

⑴万；

（2）MP+NC1.

3

18.（2021•全国高二课时练习）如图，在长方体4BCQ-45CQ中，|AB|=4,|4）|=3,|44卜5,N为

棱CG的中点，分别以。4。。,3口所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.

（1）求点43,c,q,。的坐标；

（2）求点N的坐标.

19.（2021•海原县第一中学（理））如图在边长是2的正方体NBCQ-4AGA中，瓦广分别为Z8,4c

的中点.

（1）求异面直线EF与C"所成角的大小.

（2）证明：EFL平面48.

4

20.（2021•全国高二课时练习）如图所示，已知点尸在正方体/BCD—HB'C'。'的对角线8。'

上,NPD4=601

⑴求DP与CC所成角的大小.

⑵求。尸与平面AA'D'D所成角的大小.

5

21.(2021・浙江高二单元测试)已知OC两两垂直，。4=00=3,08=2，”为08的中点，点N在ZC

上，AN=2NC.

(1)求MV的长：

(2)若点P在线段8c上，设空=4,当“尸_LMN时，求实数X的值.

6

22.（2020•安徽淮北市•高二期中（理））如图所示，A5CO与△MCD都是边长为2的正三角形，平面

平面BCD,AB1平面BCD,AB=2^3.

（1）求证：Z8〃•平面A/C£）；

（2）求平面ZCM与平面88所成二面角的正弦值.

7

第一章空间向量与立体几何单元检测卷(易)

一、单选题

1.(2020•北京昌平一中高二期中)已知趴-3,1,5),则|万|的值为()

A.4B.40C.5D.572

【答案】B

【详解】

•；”(1,1,1),8(-3,1,5),.•.在=(Y,0,4)，,画=*4)2+0，+甲=4近,

故选：B.

2.(2021•北京市育英学校高二期末)已知向量。=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),并且3_L5,

则实数x的值为()

11

A.10B.-10C.-7D.——

22

【答案】B

【详解】

'''akb>

a»b=—x—2—8=0"

解得x——10.

故选：B.

3.(2021•浙江)如图，在平行六面体A8CD-ABC。的棱中，与向量五？模相等

的向量有

A.0个B.3个C.7个D.9个-

【答案】C

【详解】

向量模相等即长度相等，根据平行六面体的性质可知，与向量五不模相等的向

量是：~AA,~B^,BrB,CC：,CrC,Db,'5D，共7个.故选C.

4.(2020•全国高三专题练习)已知平面a的一个法向量为力=。,2,2),刀=(-2,-4,T),

则直线A8与平面a的位置关系为

A.AB/laB.ABaC.相交但不垂直D.AB±a

【答案】D

【详解】

根据已知条件容易得到：屈;2；，所以善|立；故直线A8与平面a垂直

故选：D

8

5.（2020•北京师范大学万宁附属中学高二期中）已知万=（1,0,1）,B=（X,1,2）,且屋否=3,

则向量1与B的夹角为（）

2万乃71

A至B.C.一D.

636

【答案】D

【详解】

,a，6=x+2=3'・・x=l'••Z)=(1,1,2).

a-b_3_V3

CQS<a,b>=

|a|-|61V2xV62,

又<4]>£[0,乃],

.・・。与b的夹角为e，故选D.

o

6.（2021•塔什库尔干塔吉克自治县深塔中学高二期末（理））如图，已知空间四边形。18C,

其对角线为。8,力仁股,%分别是。4。8的中点，点6在线段的上，且使MG=2GN,用

向量方,0瓦1表示向量而为()

A.OG=-OA+-OB+-OCB.OG=-OA+-OB+-OC

633233

C.OG=OA+-OB+-OCD.OG=-OA+-OB+-OC

33233

【答案】A

【详解】

___._-2.2.1.

OG=OM+MG=OM+-MN=-ON-t-OM.

333

因为M,N分别为04C8的中点，

所以而=4方，丽五+反）,

22、'

所以旃=；（砺+历）+那=那+那+厚.

故选：A.

7.（2021•黑龙江高三一模（文））如图，已知棱长为2的正方体Z8C。-48c〃，E,F,G

分别为力民的中点，则异面直线4G与所所成角的余弦值为（）

A.0RMcV2D.1

102

【答案】A

【详解】

AEB

9

如图分别以DA,DC,DD、所在的直线为xJ,z轴建立空间直角坐标系,

则4(2,0,2)、G(l,0,0)、£(2,1,0),尸(0,1,1),

所以而=(-1,0,-2),=(-2,0,1),

设异面直线4G与所成角为e,

故选：A

8.（2021・全国）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多

年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱：鳖腌指的是四个面均为直

角三角形的三棱锥如图，在堑堵A8C-481cl中，NACB=90。，若AB=丘,A4=2,当

鳖腌4-ABC体积最大时，直线&C与平面ABaA1所成角的余弦值为（）,1股:-----

3痴B>/ioc1D2V2

101033\\\

【答案】A\、\

【详解】\'

解：在堑堵ABC-481cl中，ZACB=90°,AB=叵,A4=2,当鳖臊4-A8c体积最大-

时，AC=BC=1,5

以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CJ为z轴，建立空间直角坐标系，

Bi(0,1,2),C(0,0,0),A(1,0,0),8(0,1,0),

麻=(0,_1,-2),应=(1,-1,0)西=(0,0,2)

设平面ABB141的法向量"-（x,y,z）>

.—•—B—

nBA=x—y=0

则V_____/取x=l,得7=(1,1,0),

n-BB、=2z=0

10

设直线BiC与平面48814所成角为

1

则

sin0=^|pj|V5^72"V10,

所以cos0=3^^

10

・・・直线81c与平面乂844所成角的余弦值为噜.

二、多选题

9.(2021,广东高二期末)已知向量2=(4,-2,-4),3=(6,-3,2),则下列结论不正确的是()

A.a+ft=(10,-5,-2)B.a-b-

C.a'b=10D.卜卜6

【答案】BC

【详解】

解：•••向量4=(4,-2,-4)/=(6,-3,2),

a+b=(10,-5,-2),故A正确：

a-b=(-2,1,-6),故B错误：

"•3=24+6-8=22,故C错误；

|a|=V16+4+16=6,故。正确.

故选：BC.

10.(2020•全国高二)(多选题)已知直线/过点尸(1,0,-1),平行于向量£=(2,1,1),平面

a过直线/与点”(1,2,3),则平面a的法向量可能是()

11

A.(1,—4,2)B.(^-,-1,—)C.(--^•,1,--)D.(0,—1,1)

【答案】ABC

【详解】

解：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量£=(2,1,1),和向量两，

而丽=(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),

选项A,(2,1,1>(1,-4,2)=0,(0,2,4>(1,-4,2)=0满足垂直，故正确；

选项B,(2,l,l)G，-l,；)=0,(0,2,4)g,-l,；)=0满足垂直,故正确;

选项C,(2,l,l)《-；,l,-g)=0,(0,2,4>(-；,l,-g)=0满足垂直，故正确；

选项D,(2,1,1).(0,-1,1)=0,但(0,2,4).(0,-1,1)*0,故错误.

故选：ABC

11.(2021•揭西县河婆中学高二月考)已知£,尸分别是正方体Z8CD-/©GA的棱8c

和CO的中点，则()

A.4。与42是异面直线

,fi1G

B.4。与E厂所成角的大小为45°

C.4尸与平面可£8所成角的余弦值为:

D.二面角〜*「5的余弦值为当

AB

【答案】AD

【详解】

对选项A,由图知：4。与5a是异面直线,故A正确；

以。为原点，DA,DC,0A分别为X,y,z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体边长为2,

对选项B,

Z

/吁声"y

X

12

£>(0,0,0),4(2,0,2),£(1,2,0),F(0,1,0),

所以丽=(-2,0,-2),£F=(-1-1,0),

设4。与E尸所成角为6,

|丽•司=21

则cos。=

阿丽「不77=5,

又因为0°<0490°，所以6=60°，故B错误.

对选项C,由题知：平面的法向量为反,

因为反=（0,2,0）,羽=（-2,1,-2）,

设4尸与平面B、EB所成角为。,

U.F-DCl21?F)

则sine=J—।।一•=—7==；,cos0=24,故C错误;

|^F|-|DC|2V933

______UUU.

对选项D,=(2,2,0),BBX=(0,0,2),

设平面的法向量而=（x，%zj,

::赛靠:令g得小。），

则

一UULL

设平面A4c的法向量"=（X2，%，Z2），8c=（-2,0,-2）

nD,B,=2X+2y,=0人1、

则〈万雅二一2；2二：=0,令一t得〃=­z)，

设二面角C-B的平面角为e,

_m__n__2V6

贝Ijcos9=

阿.|“y/2-y/33

又因为。为锐角，所以cose=Y6,故D正确.

3

故选：AD

12.（2021•邵阳市第二中学高三月考）如图，菱形Z8CO边长为2,NB4D=60。，E为边.AB

的中点.将ANOE沿。E折起，使A到不，且平面4DEJ.平面8CDE,连接H8,AC.

13

AAr

D

则下列结论中正确的是()

A.BD±ACB.四面体/COE的外接球表面积为87t

3

C.8c与0。所成角的余弦值为:D.直线H8与平面/C。所成角的正弦值为

4

V6

4

【答案】BCD

【详解】

由题知，AJ5D为正三角形，DELAB,将A4DE沿DE折起，使A到4，且平面4Z)E_L平

面8CDE,则E8，ED,ET两两垂直，以E点坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系,

对于A,5(1,0,0),0(0,73,0),⑷(0,0,1),C(2,V3,0),访=(一1,40)，=(2,£-1),

怅应)-=-2+3=1H0，故8。与/'C不垂直，故A错误；

对于B,取C£的中点F,联结DF,又DELDC,

则FE=FD=FC=-CE=-73+7=—,

222

过F作尸O_L平面CDE,四面体"CDE的外接球球心。在F。I:,作OAf_L⑷E,

设OF=x,OD=OA'=R,在RMOFD,R/AOW中，

有炉=(*>+》2=(亭)2+(]-幻2,解得x=；,R=6,

故四面体©CDE的外接球表面积为4万代=8万，故B正确；

14

对于C，5C=(l,V3,0)-ND=(O,收-1)，设8c与H。所成角为6,

BCA'D

3

?故C正确:

贝"二^7^F

对于D,N；8=(l,0,-l)，A；C=Q,瓜-I)，，'Z=(0,6,-I)，

设平面⑷CD的法向量;=(x,y,z)

n-A'C=2x+yfiy-z=0「

则《—.r',取2=百,

n-AxD=y/3y—z=0

贝W=(0,l,6)，

—>—>n-A'B-5/3\[b

贝ijcos<n,A'B>=

故直线48与平面所成角的正弦值为也，D正确；

4

故选：BCD

三、填空题

13.(2021•上海位育中学高二期中)已知直线/的一个方向向量为2=(1,-2,0),平面々的

一个法向量为万=(加,3,6),且///a,则，〃=.

【答案】6

【详解】

■:111a,且直线/的一个方向向量为2=(1,-2,0),平面a的一个法向量为历=(阳,3,6),

:.d-n=0>即lxm+(-2)x3+0x6=(),

解得：，”=6.

故答案为：6

14.(2020•全国高二课时练习)如图所示，在长方体A8CD-481QD1中，AB=BC=2,A4

=&,E,F分别是平面A1&QD1,平面8CGB1的中心，则E,F两点间的距离为

15

【答案】—

2

【详解】

解析：以。为原点，加，皮，西的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,

所以|斤|=逅

2

故答案为：显

2

15.（2021•北京高三其他模拟）己知边长为1的正方体力BCO-4AGA,M为8c中点,

N为平面。CCQ上的动点，若MN_L4C,则三棱锥N-44。的体积最大值为.

16

【答案】7

6

【详解】

以。为原点，分别以DA,DC,DR为x,y,z轴建立空间直角坐标系:

则4（1,0,1）,C（0,1,0）,用（，1,0）,设N（0,a,b）,。4a4l,0<b<l,

所以抚=（1,0,1）,丽=（_a0_1力），

因为丽_LK，

——•—►11

所以MN・4C=—+Q—l—b=0,即。一6=一，

22

又b=〃-,

2

所以

2

所以匕vw=；xSjD=,当°=1/=g等号成立,

所以三棱锥N-44。的体积最大值为，，

6

故答案为：—

6

17

16.（2021•全国高二课时练习）已知正方体力BCQ—MgGA的棱长为2,点”,N分别

是棱BC,CC1的中点，则二面角C-/M-N的余弦值为,若动点P在

正方形8。。田|（包括边界）内运动，且尸AII平面则线段尸4的长度范围

是_____________________.

・f上、23v2/T

【答案】--,V5

3[_2

【详解】

解：延长AM至Q,使得CQ_LAQ,连接NQ,如图,

由于ABCD-4iBiCiDi为正方体，

正方体中有C£_L平面488,/Qu平面Z5CD,所以CC|_L4。,即CN，/。,

CQCCN=C,CQ,GVu平面NC0,所以/0J•平面NC0,

乂N0U平面NC0,所以N0，/。，

所以NNQC为二面角C-AM-N的平面角,

CQ_AB_2=222

而sinZCMQ=sinZ.AMB=,故CQFM飞

~CM~~AM~扬+:V5

3

NQ=

18

/.cosZ.NQC=.

NQ3,

以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设P(m,2,n)(0<m,n<2),A(2,

0,0),M(l,2,0),N(0,2,1),Ai(2,0,2),

则彳而'=(-1,2,0),丽=(-2,2,1),4?=(w-2,2,n-2),设平面AMN的一个法向量为

v-AM=-x+2y=0

N=(x,y,z),

v-AN=-2x+2y+z=0

故可取'=(2,1,2),

乂P4〃平面AMN,

：.4P-v=2(7n-2)+2+2(n-2)=2(7»+n-3)=0,

/.点P的轨迹为经过BBi,BiCi中点的线段，

根据对称性可知，当点P在两个中点时，|P4IM=JFIT=^,当点P在两个中点连线段

的中点时，1出京=

故选段PA1的长度范围是［签，括

故答案为：:，［孚，石•

四、解答题

17.(2021•全国高二单元测试)如图，在平行六面体Z8C。—Z£G"中，设刀i=£，AB

=坂，而="，〃,N,p分别是/4,8C，G2的中点，试用工友工表示以下各

向量：

⑴万;

(2)MP+NCi-

一1--3-1-3-

【答案】(1)a+—b+c；(2)—a+—b+—c.

2222

【详解】

解：(1)・・,在平行六面体48CD-4&C1D1中，P是CiDi的中点，

AP=AA^+4]D[+P=AA^+/Z)+5G

=AA,4-AD+—AB=a+-b-^-c

122

(2)•・•在平行六面体48CQ4B1C0中,M是八4的中点，

19

MP=MA+AP=—A,A+AP=-—a+(a-^—b+c)=—a-^—b+c

212222

^l^.=NC+CC.=-BC+AA.=-Ab+AA.=-c+a

''212'2

___]_3_]_3一

MP+NC\=(—a+—b+c)+(—c+a)=—a+—b+—c

222222

18.（2021•全国高二课时练习）如图，在长方体/BCO-MAG2中，|AB|=4,=

|44j=5,N为棱CG的中点，分别以所在的直线为x轴、V轴、z轴，建立

空间直角坐标系.

（1）求点4瓦。,。,4,练4A的坐标;

（2）求点N的坐标.

【答案】（1）力（3,0,0）,8（3,4,0）,。（0,4,0）,。（0,0,0）,4（3,0,5）,片（3,4,5）,£（0,4,5）,

4（0,0,5）；（2）NR,*）.

【详解】

（1）。为坐标原点,则。（0,0,0）,

.•点A在X轴的正半轴上，且|40|=3,.•.4（3,0,0）,

同理可得：C（0,4,0）,P,（0,0,5）,

1,点B在坐标平面xQy内，BC1CD,BALAD,.-.5（3,4,0）,

同理可得:4（3,0,5）,C,（0,4,5）,

与B的坐标相比，点用的坐标中只有2坐标不同，忸同=|/4|=5，，四（3,4,5）.

综上所述:4(3,0,0),8(3,4,0),C(O,4,O),£>(0,0,0),4(3,0,5),与(3,4,5),C,(O,4,5),

。（0,0,5）.

(2)由(1)知：C(O,4,O),£(0,4,5),

则CG的中点N为（等,程，等），即N（0,4卷1

19.（2021•海原县第一中学（理））如图在边长是2的正方体/BCD-48cA中，E,F

分别为AB,4c的中点.

（1）求异面直线EF与Cj所成角的大小.

（2）证明：Ml平面48.

【答案】（1）60=;（2）证明见解析.

【详解】

据题意，建立如图坐标系.于是：

20

£>(0,0,0),4(2,0,2),C(0,2,0),£(2,1,0),尸(1,1,1),4(0,0,2)

.•.丽=(-1,0,1),丽।=(0,-2,2),DAx=(2,0,2),DC=(0,2,0).

EFCD_-lx0+0x(-2)+lx2

(1)cos〈EF,CD,=i2

RR--72x2-722

(瓯函)=60,

异面直线EF和CD,所成的角为60".

(2)市•丽=-1X2+0X0+1X2=0

二EF1DA1,即EF±DAt

EFZ)C=—lx0+0x2+1x0=0,

二呼_£皮即跖

...EF1平面4CD.

20.(2021•全国高二课时练习)如图所示，已知点尸在正方体力BCO-©B'C'0'的对角线

BD，上,NPDA=600.

⑴求。P与CC'所成角的大小.

⑵求DP与平面AA'D'D所成角的大小.

【答案】(1)45°.(2)30°.

【详解】

⑴如图所示，

21

以D为原点,DA,DC,DD，分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系，

设DA=1.则而=(1,0,0),营=(0,0,1).连接BD,BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.

设而=(m,m,D(m>0),

由已知<DH,DA>=60。,由DH^DA^\DA\\DH\cos<丽,DA>，可得2m=J2m?+1.解得

五

m=——,

2

所以.

E心——■—--x0+2-xO+lxlrz

因为cos<DH,CC'>=22________=

A/2X1-2

所以<丽，CC'>=45°,B|JDP与CU所成的角为45°.

(2)平面AA-D'D的一个法向量是反=(0,1,0),

mu,----------ex0+也xl+lxO.

因为cos<DH,DC>=22________=1

lxe_2

所以〈而，反＞=60。,可得DP与平面AADD所成的角为30°.

21.(2021•浙江高二单元测试)已知O4O&OC两两垂直,。/=。。=3,。8=2,阳为08的

中点，点N在ZC上，AN=2NC.

(I)求MN的长;

(11)若点P在线段BC上，设第=/1,当月P_LMN时，求实数彳的值.

【答案】(I)|皿|="(H)^=|

A

【详解】

(I)由题意，以OAQBQC分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系,

C(0,0,0),4(3,0,0),3(0,2,0),C(0,0,3)

22

由于M为。8的中点，点AT在ZC上，可得M(OJO),N0,0,2)

\MN\^y/6

(II)设尸(0,y,z)•.•算=儿，旦点p在线段8C上

:.BP=APC

VAP1MN.-.APMN^0

26A

=02=-

T+zT+I3

22.(2020•安徽淮北市•高二期中(理))如图所示，△BCD与△MCD都是边长为2

的正三角形，平面MCDL平面8C。，平面8CQ,48=26.

(1)求证：AB〃平面MCD；

(2)求平面ZCN与平面58所成二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析：(2)竽.

【详解】

(1)证明：取CD中点O,因为△MCQ为正三角形，所以MO_LCQ.

由于平面“CD_L平面BCD,平面MCDn平面8CD=CO,

所以MO±平面BCD.

又因为Z8_L平面BC。，

所以又平面MCZ),用。匚平面”8,

所以Z5//平面MCD.

(2)连接08,则08_LC£>,又MO_L平面88.

取O为原点，直线OC，BO,。“为x轴，夕轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示.

OB=OM=0则各点坐标分别为C(L0,0)，阳(0,0,9，S(0,-A/3,0),

23

A(0,-V3,20).CM=(-1,0,73),04=2⑹.

In±CM=•CM=0

设平面ZCW的法向量为〃］二(x,y,z)A

/?)!C44•C4=0

-x+y/3z=0,

解得X=任，歹=z取2=1,

—x—y/3y+2>/3z—0,

得=.乂平面8CQ的法向量为〃2=(0,0,1),

所以cos的"产牖=而1

,设所求二面角为e,

则sin0=11-cos2g%>=jl-g--y--

24

第一章空间向量与立体几何单元检测卷（中）

一、单选题

1.（2020•江苏省平潮高级中学高二月考）如图，在平行六面体X8C。-/0a。中，E为

4A的中点，设方=2，AD=b>AA,=c,贝］1而=()

A.a+-b-cB.a——b+c

22

C.a--b-cD.-a--b+c

22

2.（2021•南京市第十三中学高二开学考试）两平面a,尸的法向量分别为

工=（一2,-%1）,若a,万，则y+z的值为（）

A.-3B.6C.-6D.-12

3.（2021•江西省分宜中学高二月考（理））已知A、B、。三点不共线，点。是平面48c

外一点，则在下列各条件中，能得到点”与A、8、C一定共面的是（）

A.OM=-OA+-OB+-OCB.OM=-OA--OB+OC

22233

C.OM=OA+OB+OCD.OM=2OA-OB-OC

4.(2021•四川省大竹中学高二月考(理))如图，在平行六面体48CD-48cA

liuuur.

中，AB=AD=\,AAt==ZDAA,=45°,ZBAD=60",则卜G卜

()

A.1B.73C.9D.3

5.（2021•浙江高二期末）如图，正三角形4C8与正三角形4co所在平面互

相垂直，则二面角8-CD-Z的余弦值是（）

A.-B.且C.3D.在

2235

6.（2020•沈丘县第一高级中学高三月考（文））三棱锥P-Z8C满足：

PA=PB=PC,AAPB=90°,NAPC=NBPC=60；则直线P/与8c所成角

的余弦值为（）

A.B.-272

2CT亍

7.（2021•河北秦皇岛一中高二月考）在棱长为1的正方体/8CZ）-W8'C'D'中，己知点P

是正方形,/小。内部（不含边界）的一个动点，若直线4P与平面力48Z所成角的正弦值

和异面直线/P与。C'所成角的余弦值相等，则线段。尸长度的最小值是（）

25

B.平P娓4

L>>-----------D.

233

8.（2022•全国高三专题练习）如图所示，在正方体"CO-44Gq中，P为线段

上的动点，给出下列四个结论：①“长度为定值：②三棱锥尸-/耳。的体积为定值；

③任意点只都有DPJL4J④存在点只使得4。，平面4片。其中正确的是（）

----

A.①③B.②④C.②③D.①④

二、多选题

9.（2021•全国高二课时练习）定义向量的外积："xB叫做向量£与B的外积，它是一个

向量，满足下列两个条件:(1)a±(axfe),b±(axb),且“、5和axB构成右手系(三个

向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致）；⑵氤5的模辰.=固卧sin«®（的

表示向量£、坂的夹角）.如图所示，在正方体力8CO-4片GR中，有以下四个结

论中，不正确的有（）

A.福xk与西方向相反

B.~ABX7C=~BCX7B

C.61方Cx祝I与正方体表面积的数值相等

D.（何x荔）.瓦与正方体体积的数值相等

10.（2021•重庆市黔江新华中学校高三月考）在长方体力8C£>-4，G4中，AB=2,AD=3,

力4=1,以。为原点，以刀，DC，西分别为x轴，了轴，z轴正方向建立空间直角坐

标系，则下列说法正确的是（）

A.西=（-3,-2,1）

B.异面直线4。与8。所成角的余弦值为亚

35

C.平面4G。的一个法向量为（-2,-3,6）

3

D.二面角G-R的余弦值为］

11.（2