2019版物理大一轮优选讲义：第13讲万有引力与航天 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第13讲万有引力与航天考纲要求考情分析命题趋势1.万有引力定律及其应用Ⅱ2．环绕速度Ⅱ3．卫星的变轨问题Ⅱ2016·全国卷Ⅰ，17本节知识点在高考中主要以选择题题型考查．要深刻理解天体问题的两个基本思路,熟练掌握卫星各参量与半径的关系,会求解天体质量和密度1．开普勒三定律的内容、公式定律内容图示或公式开普勒第一定律（轨道定律）所有行星绕太阳运动的轨道都是__椭圆__，太阳处在__椭圆__的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的__面积__相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的__三次方__跟它的公转周期的__二次方__的比值都相等eq\f（a3,T2)＝k,k是一个与行星无关的常量2.万有引力定律(1）内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与__两物体的质量的乘积__成正比，与__两物体间的距离的二次方__成反比．(2）公式：F＝__Geq\f(m1m2，r2)__，其中G为万有引力常量,G＝6。67×10－11N·m2/kg2，其值由卡文迪许通过扭秤实验测得．(3)使用条件:适用于两个__质点__或均匀球体；r为两质点或均匀球体球心间的距离．3．宇宙速度（1）第一宇宙速度①第一宇宙速度又叫__环绕__速度，其数值为__7.9__km/s.②第一宇宙速度是人造卫星在__地面__附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．③第一宇宙速度是人造卫星的最小__发射__速度，也是人造卫星的最大__环绕__速度．④第一宇宙速度的计算方法．由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f（v2，R)得v＝__eq\r（\f(GM,R))__；由mg＝meq\f(v2,R）得v＝__eq\r(gR)__.(2）第二宇宙速度使物体挣脱__地球__引力束缚的最小发射速度，其数值为__11。2__km/s.(3）第三宇宙速度使物体挣脱__太阳__引力束缚的最小发射速度，其数值为__16。7__km/s。1．判断正误(1）只有天体之间才存在万有引力．（×)（2)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝eq\f(Gm1m2,r2)来计算物体间的万有引力．(×）(3）牛顿发现了万有引力定律并第一个测出了地球的质量．（×）（4）不同的同步卫星的质量可以不同，但离地面的高度是相同的．(√）（5)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度．（√）（6）发射探月卫星发射速度必须大于第二宇宙速度．（×)2．在物理学发展的过程中，许多物理学家的科学研究推动了人类文明的进程．关于物理学史，下列说法正确的是（C)A．经过长期的天文观测，天文学家第谷总结出行星运动三定律B．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因C．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许用扭秤实验测出了万有引力常量的数值D．开普勒经过多年的天文观测和记录，提出了“日心说”的观点解析开普勒在第谷天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，但并未找出行星按照这些规律运动的原因，选项A、B均错误;牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许用扭秤实验测出了万有引力常量的数值，从而使万有引力定律有了真正的实用价值，选项C正确；哥白尼提出了“日心说"的观点,开普勒发现了行星运动的三大规律，即开普勒三定律，选项D错误．3．关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是（C)A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期B．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同C．沿椭圆轨道运行的一颗卫星,在轨道上两个不同位置可能具有相同的速率D．某个卫星绕地球的自转轴做圆周运动且经过北京的上空解析根据eq\f（r3,T\o\al（2,1)）＝eq\f(a3,T\o\al(2,2）)(式中r为圆轨道半径，a为椭圆的半长轴)，若r＝a时，两颗卫星的周期相同，选项A错误；所有的同步卫星的轨道半径均相同，选项B错误；沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道对称的不同位置具有相同的速率，选项C正确；卫星绕地球运行时，仅受万有引力作用，且由万有引力提供向心力，而万有引力总是指向地心，所以所有绕地球做圆周运动的卫星，轨道的圆心一定与地心重合，选项D错误．一万有引力定律的理解与应用1．地球表面的重力与万有引力地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力．（1）在两极,向心力等于零，重力等于万有引力；（2)除两极外，物体的重力都比万有引力小;（3)在赤道处,物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝eq\f（GMm，R2)－mRωeq\o\al（2，自)。2．地球表面附近(脱离地面)的重力与万有引力物体在地球表面附近（脱离地面）时，物体所受的重力等于地球表面处的万有引力，即mg＝eq\f（GMm，R2），R为地球半径，g为地球表面附近的重力加速度，此处也有GM＝gR2.3．距地面一定高度处的重力与万有引力物体在距地面一定高度h处时，mg′＝eq\f（GMm，R＋h2)，R为地球半径，g′为该高度处的重力加速度．[例1]（2018·河南郑州模拟)由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7000米分别排在第一、第二．若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体,“蛟龙"下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h。“蛟龙”号所在处与“天宫一号”A．eq\f（R－d，R＋h) B．eq\f（R－d2，R＋h2）C．eq\f(R－dR＋h2,R3) D．eq\f(R－dR＋h，R2）解析令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等,有g＝Geq\f(M,R2）.由于地球的质量为M＝ρ·eq\f(4，3)πR3，所以重力加速度的表达式可写成g＝eq\f（GM,R2）＝eq\f（G·ρ·\f（4,3)πR3,R2）＝eq\f（4,3)πGρR.根据题意有，质量分布均匀的球壳对地壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部,受到地球的万有引力即为半径等于（R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度g′＝eq\f（4，3)πGρ(R－d)．所以有eq\f(g′，g）＝eq\f（R－d，R）。根据万有引力提供向心力Geq\f（Mm，R＋h2)＝ma,“天宫一号”的加速度为a＝eq\f(GM,R＋h2),所以eq\f（a，g）＝eq\f（R2,R＋h2),eq\f（g′，a）＝eq\f(R－dR＋h,R3)2，故选项C正确，A、B、D错误．二天体的质量和密度的计算1．“g、R”计算法利用天体表面的重力加速度g和天体半径R（1）由Geq\f（Mm,R2）＝mg得天体质量M＝eq\f(gR2,G).(2)天体密度ρ＝eq\f(M，V）＝eq\f(M，\f(4，3）πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。2．“T、r"计算法测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T（1）由Geq\f（Mm，r2）＝meq\f(4π2r,T2)得天体的质量M＝eq\f（4π2r3，GT2）。（2）若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq\f（M，V）＝eq\f（M,\f(4,3）πR3）＝eq\f（3πr3,GT2R3）.(3）若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R,则天体密度ρ＝eq\f（3π,GT2)，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．［例2］(2018·浙江宁波模拟）(多选）科学家在研究地月组成的系统时，从地球向月球发射激光,测得激光往返时间为t.已知万有引力常量G，月球绕地球公转（可看成匀速圆周运动)周期T，光速c(地球到月球的距离远大于它们的半径)．则由以上物理量可以求出（AB）A．月球到地球的距离 B．地球的质量C．月球受到地球的引力 D．月球的质量解析根据激光往返时间为t和激光的速度可求出月球到地球的距离,选项A正确；由Geq\f（Mm,r2)＝meq\f（4π2，T2）r可求出地球的质量M＝eq\f(4π2r3，GT2)，选项B正确；我们只能计算中心天体的质量，选项D错误;因不知月球的质量，无法计算月球受到地球的引力，选项C错误．估算天体质量和密度时应注意的问题（1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时,估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量．（2）区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝eq\f(4,3)πR3中的R只能是中心天体的半径．三人造卫星的运行规律1．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律规律eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(G\f(Mm,r2）＝,r＝R地＋h）\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1(m\f(v2，r）→v＝\r（\f（GM,r））→v∝\f(1,\r(r））,mω2r→ω＝\r(\f(GM，r3)）→ω∝\f（1,\r(r3））,m\f(4π2，T2）r→T＝\r(\f(4π2r3，GM）)→T∝\r（r3））)越高越慢，ma→a＝\f（GM，r2）→a∝\f(1,r2））)，mg＝\f（GMm，R\o\al（2,地）)在地球表面时→GM＝gR\o\al(2,地））)(1）解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿第二定律．(2）卫星的an、v、ω、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化．(3）an、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定．［例3］(2018·甘肃兰州调研）在同一轨道平面上的三颗人造地球卫星A、B、C都绕地球做匀速圆周运动，在某一时刻恰好在同一直线上，下列说法正确的有（C)A．根据v＝eq\r（gr），可知vA<vB〈vCB．根据万有引力定律,可知向心力FA〉FB〉FCC．向心加速度大小aA>aB〉aCD．三颗人造地球卫星各自运动一周，C先回到原地点解析根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力可得eq\f(GMm,r2）＝ma＝meq\f(v2,r）＝mω2r＝meq\f（4π2，T2）r,卫星的速度v＝eq\r(\f(GM，r))，可见r越大，v越小，则有vA>vB〉vC，故选项A错误；由于三颗卫星的质量关系未知，无法根据万有引力定律F＝Geq\f（Mm,r2)比较引力的大小,故选项B错误;卫星的向心加速度a＝eq\f（GM,r2），r越大，a越小,则有aA〉aB〉aC，故选项C正确；卫星的周期T＝2πeq\r(\f（r3,GM）),r越大，T越大,所以运动一周,A先回到原地点,C最晚回到原地点，故选选项D错误．［例4］(多选）地球同步卫星可视为绕地球做圆周运动,下列说法正确的是（BC）A．同步卫星的周期可能小于24hB．同步卫星的速度小于第一宇宙速度C．同步卫星的速度大于赤道上静止（相对地球）物体的速度D．同步卫星在运行时可能经过北京的正上方解析同步卫星的角速度ω与地球自转的角速度相同，周期也是相同的，均为24h，选项A错误；由Geq\f（Mm，r2）＝meq\f（v2,r)得v＝eq\r(\f（GM,r）），轨道半径r增大，卫星的速度v减小，故同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度，选项B正确;由v＝ωr结合ω相同,可得同步卫星的速度大于赤道上静止物体的速度，选项C正确;同步卫星只能在赤道的正上方,不可能经过北京的正上方，选项D错误．同步卫星的六个“一定”四卫星(航天器）的变轨问题及对接问题(1)航天器变轨问题的三点注意①航天器变轨后稳定在新轨道上的运行速度由v＝eq\r(\f(GM，r）)判断．②航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大,机械能越大．③航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度．（2)变轨的两种情况eq\x(\a\al(较低圆,轨道)）eq\o(，\s\up7（近地点向后喷气),\s\do5(近地点向前喷气）)eq\x（\a\al（椭圆,轨道））eq\o(，\s\up7（远地点向后喷气),\s\do5（远地点向前喷气)）eq\x（较高圆轨道)[例5］(2018·北京海淀区期中测试）（多选）某载人飞船运行的轨道示意图如图所示，飞船先沿椭圆轨道1运行，近地点为Q，远地点为P.当飞船经过点P时点火加速,使飞船由橢圆轨道1转移到圆轨道2上运行，在圆轨道2上飞船运行周期约为90min。关于飞船的运行过程，下列说法中正确的是（BCD)A．飞船在轨道1和轨道2上运动时的机械能相等B．飞船在轨道1上运行经过P点的速度小于经过Q点的速度C．轨道2的半径小于地球同步卫星的轨道半径D．飞船在轨道1上运行经过P点的加速度等于在轨道2上运行经过P点的加速度解析由于飞船经过点P时点火加速,使飞船由椭圆轨道1转移到圆轨道2上运行，外力做正功,机械能增加,所以飞船在轨道2上的机械能大于在轨道1上的机械能,选项A错误；根据开普勒第二定律，可得飞船在轨道1上运行经过P点的速度小于经过Q点的速度，选项B正确；根据公式T＝2πeq\r（\f（r3，GM)）可得半径越大周期越大，同步卫星的周期为24h，大于轨道2上运动的飞船的周期，故轨道2的半径小于同步卫星的运动半径，选项C正确；根据公式a＝eq\f（GM,r2）,因为在轨道1上运行经过P点和在轨道2上运行经过P点的运动半径相同，所以加速度相同，选项D正确．［例6］我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动,为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是(C）A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接解析若使飞船在空间站在同一轨道上运行，然后飞船加速,所需向心力变大，则飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，选项A错误;若使飞船与空间站在同一轨道上运行，然后空间站减速,所需向心力变小，则空间站将脱离原轨道而进入更低的轨道,不能实现对接，选项B错误；要想实现对接，可使飞船在比空间实验室半径较小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的空间实验室轨道，逐渐靠近空间实验室后，两者速度接近时实现对接，选项C正确;若飞船在比空间实验室半径较小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能实现对接，选项D错误．五天体运动中的“多星”系统在天体运动中,离其他星体较远的几颗星，在它们相互间万有引力的作用力下绕同一中心位置运转，这样的几颗星组成的系统称为宇宙多星模型．1．“双星”系统(1）两颗恒星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两恒星做匀速圆周运动的向心力大小相等．(2)两颗恒星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是相等的．（3）两颗恒星做匀速圆周运动的半径r1和r2与两行星间距L的大小关系r1＋r2＝L。2．“多星"系统(1）多颗行星在同一轨道绕同一点做匀速圆周运动，每颗行星做匀速圆周运动所需的向心力由其他各个行星对该行星的万有引力的合力提供．（2)每颗行星转动的方向相同,运行周期、角速度和线速度大小相等．［例7]（多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统,其中有一种三星系统如图所示,三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R,忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G,则（ABC)A．每颗星做圆周运动的线速度为eq\r(\f（Gm,R））B．每颗星做圆周运动的角速度为eq\r(\f(3Gm,R3））C．每颗星做圆周运动的周期为2πeq\r(\f（R3,3Gm)）D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关解析每颗星受到的合力为F＝2Geq\f（m2,R2)sin60°＝eq\r（3）Geq\f(m2,R2)，轨道半径为r＝eq\f(\r（3）,3)R，由向心力公式F＝ma＝meq\f（v2，r）＝mω2r＝meq\f(4π2r，T2)，解得a＝eq\f(\r(3）Gm,R2)，v＝eq\r（\f（Gm,R)）,ω＝eq\r(\f(3Gm,R3）)，T＝2πeq\r（\f(R3，3Gm））,显然加速度a与m有关，故A、B、C正确．天体运动中的“多星”系统特点(1)不论是双星还是三星系统模型，每个星体都做匀速圆周运动(中心星体除外），且周期、角速度相等．(2)注意应用数学知识，由星体距离求轨道半径．(3)只有当系统中星体质量相等时，它们的轨道半径才相等．1．(2017·全国卷Ⅱ）（多选）如图,海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中(CD)A．从P到M所用的时间等于eq\f（T0,4）B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大C．从P到Q阶段，速率逐渐变小D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功解析海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，由开普勒第二定律可知，从P→Q速度逐渐减小，故从P到M所用时间小于eq\f(T0，4），选项A错误，C正确；从Q到N阶段，只受太阳的引力，故机械能守恒，选项B错误；从M到N阶段经过Q点时速度最小，故万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确．2．(2017·全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道（可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的(C)A．周期变大 B．速率变大C．动能变大 D．向心加速度变大解析天空二号单独运行时的轨道半径与组合体运行的轨道半径相同．由运动周期T＝2πeq\r(\f（r，GM))，可知周期不变,选项A错误；由速率v＝eq\r(\f(GM，r))，可知速率不变，选项B错误；因为(m1＋m2)>m1，质量增大，故动能增大，选项C正确；向心加速度a＝eq\f（v2，r）不变,选项D错误．3．宇航员王亚平在“天宫一号"飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M,半径为R,引力常量为G.则飞船所在处的重力加速度大小为（B)A．0 B．eq\f(GM，R＋h2）C．eq\f(GMm，R＋h2) D．eq\f（GM，h2)解析对飞船由万有引力定律和牛顿第二定律有eq\f(GMm，R＋h2)＝mg′,解得g′＝eq\f(GM，R＋h2)，故选项B正确,A、C、D错误．4．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6。6倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为（B)A．1h B．4hC．8h D．16h解析地球自转周期变小,卫星要与地球保持同步,则卫星的公转周期也应随之变小，卫星的轨道半径应变小,当一地球卫星的信号刚好覆盖赤道120°的圆周时，卫星的轨道半径r＝eq\f（R，sin30°）＝2R；它们间的位置关系如答图所示,此时卫星周期最小,设为T0，由Geq\f（Mm,r2）＝meq\f（4π2，T2）r得eq\f（6。6R3，242）＝eq\f(2R3,T\o\al(2，0）)，解得T0≈4h．故选项B正确．5。如图所示是月亮女神、嫦娥一号绕月做圆周运行时某时刻的图片，用R1、R2、T1、T2分别表示月亮女神和嫦娥一号的轨道半径及周期,用R表示月亮的半径．（1)请用万有引力知识证明:它们遵循eq\f(R\o\al(3，1),T\o\al(2,1））＝eq\f(R\o\al（3,2)，T\o\al（2，2)）＝K,其中K是只与月球质量有关而与卫星无关的常量;(2)经多少时间两卫星第一次相距最远；(3）请用所给嫦娥1号的已知量，估测月球的平均密度．解析（1)设月球的质量为M，对绕月亮运行的卫星由牛顿第二定律均有Geq\f(Mm，R2)＝meq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(2π,T)）)2R，解得eq\f(R3,T2）＝eq\f(GM，4π2)＝常量,即eq\f(R\o\al（3,1),T\o\al（2，1）)＝eq\f（R\o\al(3，2)，T\o\al(2,2）)＝K，且K只与月球质量有关而与卫星质量无关；(2）两卫星第一次相距最远时有eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（t，T1）－\f(t,T2）)）2π＝π，解得t＝eq\f(T1T2,2T2－2T1)；(3)对嫦娥1号由牛顿第二定律有Geq\f(Mm,R\o\al(2，2）)＝meq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2π,T2))）2R2，又M＝eq\f（4πR3，3）ρ,解得ρ＝eq\f（3πR\o\al(3，2）,GR3T\o\al(2,2））.答案(1）见解析（2）eq\f(T1T2,2T2－2T1)(3)eq\f(3πR\o\al（3，2），GR3T\o\al（2,2）)［例1］（2017·湖北宜昌质检·6分）地球赤道上有一物体随地球自转做圆周运动,所需的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1;绕地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(高度可忽略）所需要的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星做圆周运动所需要的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3,角速度为ω3,已知地面的重力加速度为g,同步卫星离地的高度为h，若三者质量相等，则()A．F1＝F2>F3 B．a1＝a2＝g>a3C．v1＝v2>v3 D．ω1＝ω3〈ω2[答题送检]来自阅卷名师报告错误致错原因扣分ABC混淆三个物体做圆周运动时的向心力来源,导致公式运用错误。－6［规范答题］［解析］对赤道上的物体有F1＝eq\f(GMm,R2）－mg＝ma1，v1＝ω1R，对地面附近的卫星有F2＝eq\f(GMm，R2）＝ma2＝meq\f(v\o\al(2,2）,R）＝mωeq\o\al(2，2）R，对地球同步卫星有F3＝eq\f（GMm，R＋h2)＝ma3＝meq\f(v\o\al（2，3)，R＋h)＝mωeq\o\al（2,3)(R＋h），ω3＝ω1，v3＝ω3(R＋h），故有F1〈F2，F2>F3；a1<a2,a3<a2;v1〈v3,v2〉v3;ω1＝ω3<ω2。[答案]D[例2］(2017·四川成都诊断·12分）在天体运动中,将两颗彼此距离较近且相互绕行的行星称为双星,由于两星间的引力而使它们之间距离保持不变，如果两个行星的质量分别为M1和M2，则它们的角速度多大？[答题送检］来自阅卷名师报告[错解]如图所示,M1和M2做匀速圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供，则对于M1:Geq\f(M1M2,L2）＝M1ωeq\o\al(2，1)L，得ω1＝eq\f（1,L)eq\r（\f（GM2,L）),对于M2：Geq\f(M1M2，L2)＝M2ωeq\o\al（2,2）L，得ω2＝eq\f（1,L）eq\r(\f（GM1,L)）。［致错原因]地球绕太阳、月球绕地球等运转问题，轨道半径就是两者之间的距离．按照这个模型,不加分析地死搬硬套，认为M1绕M2运转，M2绕M1运转，导致错误．［扣分]－12［规范答题］[解析］如图所示,由于两者的引力而使其距离保持不变,M1和M2相当于一个用轻杆连接的整体，以相同的角速度运转，其连线上某点保持相对静止，这一点就是它们的旋转中心．设该点到M1的距离为x，则对于M1：Geq\f(M1M2,L2）＝M1ω2x，①对于M2：Geq\f(M1M2，L2)＝M2ω2（L－x），②联立解得ω＝eq\f（1,L)eq\r（\f（GM1＋M2，L)）。[答案]eq\f（1，L)eq\r(\f(GM1＋M2，L))（12分）1．(多选)有a、b、c,d四颗地球卫星，a还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星,它们均做匀速圆周运动,各卫星排列位置如图所示．下列说法正确的是(BC)A．a的向心加速度等于重力加速度gB．在相同时间内b转过的弧长最长C．c在4h内转过的圆心角是eq\f（π，3）D．d的运动周期有可能是20h解析a为赤道上的物体,由牛顿第二定律Geq\f(Mm，R2)－FN＝ma，又FN＝mg,故a≠g，选项A错误;根据Geq\f(Mm,r2）＝meq\f(v2,r）＝meq\f(4π2，T2）r，可以判断出b、c、d三颗卫星线速度vb〉vc〉vd，周期Tb〈Tc〈Td，选项B正确；c是地球同步卫星，则Tc＝24h，c卫星在4h内转过的圆心角θ＝ωt＝eq\f(2π,T)t＝eq\f（π,3），选项C正确；Td〉Tc＝24h，选项D错误．2．(多选）如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔地分布在半径为r的圆轨道上．已知地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是（BC）A．地球对其中一颗卫星的引力大小为eq\f(GMm，r－R2)B．其中一颗卫星对地球的引力大小为eq\f(GMm,r2）C．两颗卫星之间的引力大小为eq\f(Gm2，3r2)D．三颗卫星对地球引力的合力大小为eq\f（3GMm，r2）解析由万有引力定律可知，地球与每一颗卫星间的引力大小F＝eq\f（GMm，r2)，选项A错误，B正确；由几何关系可知，两卫星之间的距离d＝eq\r(3)r，故两卫星之间的引力F＝eq\f(Gmm，d2）＝eq\f(Gm2，3r2），选项C正确；由于三颗卫星对地球引力的大小相等，且方向互成120°，由力的合成可知，其合力大小为零，选项D错误．3．（2017·河北衡水模拟)（多选）宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为L的正方形的四个顶点上，其中L远大于R，已知万有引力常量为G，忽略星体自转效应．则关于四星系统，下列说法正确的是（CD)A．四颗星做圆周运动的轨道半径均为eq\f(L,2）B．四颗星做圆周运动的线速度均为eq\r(\f（Gm,L)\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(2）,4））)）C．四颗星做圆周运动的周期均为2πeq\r(\f(2L3，4＋\r(2)Gm）)D．四颗星表面的重力加速度均为Geq\f(m，R2)解析如图所示，四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径r＝eq\f(\r（2），2）L.取任一顶点上的星体为研究对象，它受到其他三个星体的万有引力的合力为F合＝eq\r（2)Geq\f（m2，L2）＋Geq\f（m2,\r(2）L2)。由F合＝F向＝meq\f（v2,r)＝meq\f(4π2r,T2），可解得v＝eq\r(\f(Gm，L)1＋\f(\r(2),4））,T＝2πeq\r(\f(2L3,4＋\r(2)Gm)），故选项A、B错误,C正确；对于星体表面质量为m0的物体，受到的重力等于万有引力，则有m0g＝Geq\f(mm0，R2)，故g＝Geq\f（m,R2），选项D正确．1．（2017·天津卷)我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号"发射升空后，与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体．假设组合体在距地面高为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动,已知地球的半径为R，地球表面处重力加速度为g,且不考虑地球自转的影响．则组合体运动的线速度大小为__Req\r（\f(g，R＋h））__，向心加速度大小为__eq\f（R2，R＋h2)g__。解析设组合体的质量为m、运转线速度为v,地球质量为M,则Geq\f（Mm,R＋h2)＝ma向＝meq\f（v2，R＋h）,①又有Geq\f(Mm，R2）＝mg,②联立上述①②两式得a向＝eq\f（R2，R＋h2）g，v＝Req\r(\f（g，R＋h）).2．（2017·北京卷）利用引力常量G和下列某一组数据,不能计算出地球质量的是(D)A．地球的半径及重力加速度（不考虑地球自转)B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离解析已知地球半径R和重力加速度g，则mg＝Geq\f（M地m,R2），所以M地＝eq\f(gR2，G)，可求M地；近地卫星做圆周运动，Geq\f（M地m，R2）＝meq\f(v2，R），T＝eq\f（2πR，v),可解得M地＝eq\f（v2R,G)＝eq\f（v3T,2πG），已知v、T可求M地；对于月球Geq\f(M地·m，r2）＝meq\f(4π2，T\o\al(2,月)）r，则M地＝eq\f（4π2r3,GT\o\al(2，月）），已知r、T月可求M地；同理，对地球绕太阳的圆周运动，只可求出太阳质量M太，故选项D正确．3．（2017·江苏卷）（多选）“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空．与“天宫二号"空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380km的圆轨道上飞行A．角速度小于地球自转角速度B．线速度小于第一宇宙速度C．周期小于地球自转周期D．向心加速度小于地面的重力加速度解析由于地球同步卫星与地球自转的角速度、周期等物理量一致,故“天舟一号"可与地球同步卫星比较．由于“天舟一号”的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，所以，角速度是“天舟一号"大，周期是同步卫星大,选项A错误，C正确；第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，故“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度，选项B正确；对“天舟一号”有Geq\f(M地m,R地＋h2)＝ma向,所以a向＝Geq\f(M地,R地＋h2)，而地面重力加速度g＝Geq\f(M地,R\o\al(2,地)），故a向<g，选项D正确．4．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为（B）A．eq\f(3πg0－g,GT2g0） B．eq\f（3πg0，GT2g0－g）C．eq\f（3π,GT2） D．eq\f(3πg0，GT2g)解析在两极物体所受的重力等于万有引力，即eq\f（GMm，R2）＝mg0，在赤道处的物体做圆周运动的周期等于地球的自转周期T,则eq\f(GMm，R2)－mg＝meq\f（4π2，T2）R，则密度ρ＝eq\f（3M，4πR3)＝eq\f（3，4πR3)·eq\f（g0R2，G)＝eq\f（3πg0,GT2g0－g)。选项B正确．5．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内,行星“51pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的eq\f(1,20）.该中心恒星与太阳的质量比约为（B）A．eq\f（1，10） B．1C．5 D．10解析行星绕恒星做圆周运动,万有引力提供向心力Geq\f（Mm，r2）＝mr（eq\f(2π，T）)2，M＝eq\f（4π2r3，GT2）,该中心恒量的质量与太阳的质量之比eq\f(M,M日）＝eq\f(r3，r\o\al（3，日））·eq\f(T\o\al(2,日），T2）＝1。04，选项B正确．6．如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的是（D）A．a2〉a3>a1 B．a2〉a1>a3C．a3>a1>a2 D．a3>a2>a1解析空间站与月球周期相同，绕地球运动的半径r1<r2，由a＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（2π,T))）2r可得a1<a2；同步卫星与月球属于地球卫星r3〈r2，由a＝eq\f(GM,r2）可得a3>a2，故选项D正确．课时达标第13讲［解密考纲]考查解决天体问题的两条基本思路，卫星各参量与半径的关系、天体质量和密度的计算、卫星变轨分析．1．登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父"欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响．根据下表,火星和地球相比(B)行星半径/m质量/kg轨道半径/m地球6。4×1066。0×10241。5×1011火星3。4×1066。4×10232。3×1011A．火星的公转周期较小B．火星做圆周运动的加速度较小C．火星表面的重力加速度较大D．火星的第一宇宙速度较大解析设公转半径为r，星球半径为R，太阳的质量为M，由公式eq\f（GMm，r2）＝meq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2π，T)）)2r,由题可知火星轨道半径大于地球公转轨道半径,所以火星公转周期大于地球公转周期,所以选项A错误;由公式eq\f(GMm，r2）＝ma得a＝eq\f（GM，r2）,所以火星运行时的向心加速度小于地球公转时的加速度，所以选项B正确；由公式eq\f(Gm，R2）＝g，表格中数据估算可知m火≈eq\f(1,10）m地，R火≈eq\f(1，2）R地,所以g火≈eq\f(2,5）g地,即火星表面重力加速度小于地球表面重力加速度，所以选项C错误；又由第一宇宙速度公式v＝eq\r（G\f(m,R)），可得v火≈eq\r（\f(1，5））v地即火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，所以选项D错误．2．（多选)如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是（AC）A．轨道半径越大，周期越长B．轨道半径越大，速度越大C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度解析根据Geq\f（Mm,R2)＝mReq\f（4π2，T2)，可知半径越大则周期越大，故选项A正确；根据Geq\f(Mm,R2）＝meq\f（v2，R）,可知轨道半径越大则环绕速度越小,故选项B错误;若测得周期T，则有M＝eq\f(4π2R3，GT2），如果知道张角θ,则该星球半径为r＝Rsineq\f（θ,2),所以M＝eq\f(4π2R3，GT2）＝eq\f（4,3)πeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（Rsin\f（θ,2)）)3ρ，可得到星球的平均密度，故选项C正确,而选项D无法计算星球半径，则无法求出星球的平均密度，选项D错误．3．（2017·吉林长春调研）（多选）我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星－500”的实验活动．假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的eq\f(1，2），质量是地球质量的eq\f（1,9).已知地球表面的重力加速度是g，地球的半径为R，王跃在地面上能向上竖直跳起的最大高度是h,忽略自转的影响，下列说法正确的是(ABD)A．火星的密度为eq\f(2g，3πGR）B．火星表面的重力加速度是eq\f（4，9）gC．火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度相等D．王跃以与在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能达到的最大高度是eq\f（9，4）h解析由Geq\f(Mm，R2）＝mg,得到g＝eq\f(GM,R2)，已知火星半径是地球半径的eq\f(1,2），质量是地球质量的eq\f(1，9),则火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的eq\f(4,9)，即为eq\f（4，9）g，选项B正确．设火星质量为M′,由万有引力等于重力可得Geq\f(M′m，r2）＝mg′，解得M′＝eq\f（gR2，9G），密度为ρ＝eq\f（M′,V)＝eq\f(\f(gR2，9G),\f（4π·\f（1,8)R3，3）)＝eq\f（2g,3πGR）,故选项A正确；由Geq\f（Mm，R2)＝meq\f（v2,R)，得到v＝eq\r（\f（GM，R）)，火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的eq\f（\r(2），3)倍，故选项C错误；王跃以v0在地球起跳时，根据竖直上抛的运动规律得出可跳的最大高度是h＝eq\f(v\o\al(2,0）,2g),由于火星表面的重力加速度是eq\f(4,9)g,王跃以相同的初速度在火星上起跳时，可跳的最大高度h′＝eq\f(9，4)h，故选项D正确．4．如图所示，搭载着“嫦娥二号”卫星的“长征三号丙”运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射，卫星由地面发射后，进入地月转移轨道,经多次变轨最终进入距离月球表面100千米、周期约为118分钟的工作轨道，开始对月球进行探测(B)A．卫星在轨道Ⅲ上的运行速度比月球的第一宇宙速度大B．卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上大C．卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时大D．卫星在轨道Ⅲ上经过P点的加速度比在轨道Ⅰ上经过P点时大解析第一宇宙速度是发射卫星的最小速度,等于近月卫星的速度，大于所有卫星的速度，选项A错误；卫星由Ⅰ轨道进入Ⅱ或Ⅲ轨道,需减速做近心运动,机械能减小,选项B正确，选项C错误；卫星在轨道Ⅲ或Ⅰ上经过P点时，到月心的距离相等,根据eq\f(GMm,r2）＝ma可知，加速度应相等，选项D错误．5．一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后做匀速圆周运动，动能减小为原来的eq\f（1，4)，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的(C)A．向心加速度大小之比为4∶1B．角速度大小之比为2∶1C．周期之比为1∶8D．轨道半径之比为1∶2解析由eq\f（GMm，r2)＝meq\f（v2，r）可得v＝eq\r（\f(GM,r)）,卫星动能减小为原来的eq\f(1，4)，速度减小为原来的eq\f(1，2),则轨道半径增加到原来的4倍,故选项D错误；由an＝eq\f（v2,r)可知向心加速度减小为原来的eq\f（1，16），故选项A错误；由ω＝eq\f(v，r)可知,角速度减小为原来的eq\f(1，8)，故选项B错误；由周期与角速度成反比可知，周期增大到原来的8倍，故选项C正确．6．(多选）已知地球质量为M,半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G.有关同步卫星，下列表述正确的是（BD)A．卫星距地面的高度为eq\r（3，\f（GMT2，4π2）)B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度C．卫星运行时受到的向心力大小为Geq\f(Mm，R2)D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度解析天体运动的基本原理为万有引力提供向心力，地球的引力使卫星绕地球做匀速圆周运动，即F引＝F向＝meq\f（v2,r）＝eq\f(4π2mr,T2）.当卫星在地表运行时，eq\f（GMm,R2)＝mg，设同步卫星离地面高度为h，则eq\f(GMm,R＋h2)＝ma向〈mg，所以选项C错误，选项D正确;由eq\f(GMm，R＋h2）＝eq\f(mv2，R＋h）得,v＝eq\r(\f（GM,R＋h））〈eq\r（\f(GM,R)),选项B正确；由eq\f(GMm,R＋h2）＝eq\f（4π2mR＋h，T2），得R＋h＝eq\r（3,\f(GMT2,4π2)），即h＝eq\r（3,\f(GMT2,4π2）)－R，选项A错误．7．（多选)为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1,总质量为m1。随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动,此时登陆舱的质量为m2，则(AD）A．X星球的质量为M＝eq\f(4π2r\o\al（3，1）,GT\o\al(2,1）)B．X星球表面的重力加速度为gX＝eq\f(4π2r1，T\o\al(2，1））C．登陆舱在r1与r2轨道上运动时的速度大小之比为eq\f(v1,v2)＝eq\r（\f(m1r2，m2r1))D．登陆舱在半径为r2轨道上做圆周运动的周期为T2＝T1eq\r（\f(r\o\al（3,2），r\o\al(3,1）)）解析探测飞船做圆周运动时有Geq\f（Mm1,r\o\al（2,1））＝m1eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T1)）)2r1，解得M＝eq\f（4π2r\o\al（3，1)，GT\o\al(2，1)）,所以选项A正确；因为X星球半径未知,所以选项B错误；根据Geq\f(Mm，r2)＝meq\f(v2,r），得v＝eq\r(\f(GM，r)），所以eq\f(v1,v2）＝eq\r(\f（r2,r1）),选项C错误；根据开普勒第三定律得eq\f(r\o\al(3，1），T\o\al(2,1）)＝eq\f（r\o\al(3，2),T\o\al（2，2)）,T2＝T1eq\r(\f(r\o\al(3，2),r\o\al（3,1)))，选项D正确．8．(2017·重庆调研）（多选)如图所示,a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星．关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中正确的是（BC）A．地球对b、c两星的万有引力提供了向心力，因此只有a受重力，b、c两星不受重力B．周期关系为Ta＝Tc>TbC．线速度的大小关系为va〈vc<vbD．向心加速度的大小关系为aa>ab〉ac解析a、b、c都受到万有引力作用，选项A错误；赤道上的物体a、同步卫星c的周期相同，所以角速度一样，根据eq\f（r3，T2)＝k，所以c的周期大于b的周期，所以选项B正确．v＝eq\r(\f（GM,r)），c的半径大于b，所以vc<vb,a、c的角速度相等，c的半径大，vc>va，所以选项C正确；a＝eq\f(GM，r2),所以ab>ac,又根据a＝rω2可知．ac〉aa，所以选项D错误．9．如图所示，人造卫星A、B在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动，已知A、B连线与A、O连线间的夹角最大为θ,则卫星A、B的线速度之比为（C）A．sinθ B．eq\f(1，sinθ）C．eq\r（sinθ） D．eq\r(\f(1,sinθ))解析本题的关键是审出A、B连线与AO连线间何时夹角最大,经分析是OB垂直AB时，设A的轨道半径为r1，B的轨道半径为r2，当OB⊥AB时，sinθ＝eq\f（r2，r1）.卫星绕地心做圆周运动时，万有引力提供向心力,eq\f（GMm,r2）＝meq\f（v2,r），得v＝eq\r（\f(GM,r）)，所以A、B的线速度之比eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f（r2,r1））＝eq\r（sinθ），故选项C正确．10．2002年四月下旬，天空中出现了水星、金星、火星、木星、土星近乎直线排列的“五星连珠”的奇观．假设火星和木星绕太阳做匀速圆周运动，周期分别是T1和T2,而且火星离太阳较近,它们绕太阳运动的轨道基本上在同一平面内，若某一时刻火星和木星都在太阳的同一侧，三者在一条直线上排列，那么再经过多长的时间将第二次出现这种现象（C）A．eq\f（T1＋T2,2) B．eq\r（T1T2）C．eq\f(T1T2，T2－T1) D．eq\r（\f（T\o\al(2，1）＋T\o\al(