初中数学专题旋转问题

标准实用文案标准实用文案文档文档标准实用文案文档专题二旋转出题位置：选择、填空最后一道题和倒数第二道题，压轴题最后两道“旋转”在苏教版中是一个独立章节，在中考和平时的考试张经常出现，结合三角形，四边形等基本图形考察学生对旋转的应用。同时，旋转对解决动点问题有极大的帮助。基本图形一：学习要点与方法点拨：将∠AOB旋转至∠A’OB’，图①、②分别可以得到结论？学习要点与方法点拨：①②旋转点会有一组对角相等（考题规律，如果已知条件为较小的角度相等，则题目一定需要较大的角相等；如果条件给出较大的角相等，则一定需要较小的角相等）基本图形二：将△AOB旋转至△A’OB’，连接AA’与BB’，分别在图①、②中证明△OAA’与△OBB’相似。旋转后连接得到的两个三角形相似。因为旋转的两个三角形全等，连接后出现等腰三角形，顶角相等；则底角亦相等；或根据夹角成比例证明相似。解题步骤第一步：找旋转点，角相等；第二步：证全等、相似；第三步：利用全等、相似得到边、角条件。模块精讲模块精讲例1.在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△ABC． 1 1当点C在线段CA的延长线上时，如图1，求∠CCA的度数； 1 11如图2，△ABC绕点B按逆时针方向旋转，连接AA，CC，若△ABA的面积为4，求△CBC的面积； 1 1 1 1（3）点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P，求线段EP长度的最大值与最小值．1 1∠BOE=度；②当△∠BOE=度；②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；例2.已知△ABC是等边三角形.（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角（0°＜＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O.①如图a，当=20°时，△ABD与△ACE是否全等？（填“是”或“否”），（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB=AB′,AC=AC′,连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角（0°＜＜180°），得到△ADE.BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由.例3.（一）如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°．①当点D在AC上时,如图(1)线段, BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你猜想的结论；②将图(1)中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）,如图（2）,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由．（二）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时,使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立?不必说明理由．甲：AB：AC=AD：AE=1,∠BAC=∠DAE≠90°；乙：AB：AC=AD：AE≠1,∠BAC=∠DAE=90°；丙：AB：AC=AD：AE≠1,∠BAC=∠DAE≠90°．例4.【2016·扬州】已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF。设CE=a，CF=b。如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由。例5.【例5.【2016·淮安】问题背景：如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC、BC、CD之间的数量关系.小吴同学探究此问题的思路是：将ΔBCD绕点D逆时针旋转90°到ΔAED处，点B、C分别落在点A、E处（如图②），易证点C、A、E在同一条直线上，并且ΔCDE是等腰直角三角形，所以CE＝CD，标准实用文案标准实用文案文档文档文档例6.【2016·宿迁】已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．1.将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A11.将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1CQ=；（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．课堂练习

1．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，4)，将OA绕坐标原点O旋转90°至OA′，则点A′的坐标是．课后巩固习题2．如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点课后巩固习题(第2题图)(第3题图)3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连结AB′，且A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为．4．把二次函数y＝(x－1)2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的表达式为．5．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2)．(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△ABC，请画出△ABC的图形．1 11(2)平移△ABC，使点A的对应点A坐标为(－2，－6)，请画出平移后对应的△ABC的图形．222(3)若将△ABC绕某一点旋转可得到△ABC，请直接写出旋转中心的坐标． 11 222(第5题图)6．如图，将△ABC绕点C(0，1)旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为(a，b)，则点A′的坐标为()A.(－a，－b)B.(－a，－b－1)C.－(a，－b＋1)D.(－a，－b＋2)（第6题图)(第7题图)(第8题图)7．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是()A.50°B.60°C.70°D.75°8．如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是()9．如图，把一个斜边长为2且含有30°角的直角三角尺ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°到△ABC，则在旋转11过程中这个三角尺扫过的图形的面积是(D)333π11π33 A.πB.3C.＋D. ＋ 4 2 12 4(第9题图)(第10题图)10．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD.把△ABC绕着点D逆时针旋转m(0＜m＜180)度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝.11．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P，此时AP＝2；将位置①的三角形绕点P顺时针旋转到位置②，可得到点P，此时AP＝1＋ 1 11 2 22；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝2＋2；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2016为止．则AP2016＝．(第11题图)12．在数学兴趣小组的活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为22的正方形AEFG按图①位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．(1)小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．(2)如图②，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请帮他求出此时BE的长．(3)如图③，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．(第12题图)13．在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．如图，表盘是△ABC，其中AB＝AC，∠BAC＝120°，在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1s，此时光线AP交BC边于点M，BM的长为(203－20)cm.(1)求AB的长．(2)从AB处旋转开始计时，若旋转6s，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？若旋转2014s，交点又在什么位置？请说明理由．(第13题图)14.如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是______