第二章-状态空间表达式的解

第二章控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解2.1线性定常齐次状态方程的解2.2状态转移矩阵的性质及计算方法2.3线性定常系统非齐次状态方程的解2.4

线性时变系统的解2.5离散时间系统状态方程求解2.6线性连续系统的离散化第二章控制系统状态空间表达式的解一、定义：

运动的分类1、自由运动：线性定常系统在没有控制作用时，由初始条件引起的运动称自由运动。

状态方程：2、强迫运动：线性定常系统在控制作用下的运动,称为强迫运动。

状态方程：x2.1线性定常齐次状态方程的解第二章控制系统状态空间表达式的解二、齐次状态方程的解也就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，设系统的状态方程的齐次部分为：其中：，且初始条件为线性定常连续系统：（1）幂级数法标量定常微分方程

的解为：

将标量齐次微分方程的解法推广到向量微分方程中去。假设的解X(t)为时间t的向量幂级数形式，即：

第二章控制系统状态空间表达式的解式中都是n维向量，则第二章控制系统状态空间表达式的解故而有：且有。第二章控制系统状态空间表达式的解故第二章控制系统状态空间表达式的解定义：则纯量微分方程的解为，称为指数函数，而向量微分方程的解在形式上称为矩阵指数函数。

与其是相似的，故把第二章控制系统状态空间表达式的解是由转移而来，对于线性定常系统，又有状态转移矩阵之称，并记作，即：状态转移矩阵将两端取拉氏变换，有（2）拉普拉斯变换法：

第二章控制系统状态空间表达式的解【例】已知系统的状态方程为，初始条件为，试求状态转移矩阵和状态方程的解。解：（１）求状态转移矩阵此题中：，第二章控制系统状态空间表达式的解所以

２）状态方程的解【例】已知系统状态方程为，第二章控制系统状态空间表达式的解初始条件为，试求状态方程的解。解：

第二章控制系统状态空间表达式的解故而第二章控制系统状态空间表达式的解2.2状态转移矩阵的性质及计算方法是由转移而来，对于线性定常系统，又有状态转移矩阵之称，并记作，即：

若初始条件为，则状态转移矩阵记为：一、状态转移矩阵1）状态转移矩阵的性质第二章控制系统状态空间表达式的解二、状态转移矩阵的性质性质一

或这是组合性质，它意味着从-τ转移到0，再从0转移到t的组合，即:第二章控制系统状态空间表达式的解性质二

上述二性质可由定义得到证明。本性质意味着状态矢量从时刻t又转移到时刻t，显然，状态矢量是不变的。性质三

或这个性质是，状态转移矩阵的逆意味着时间的逆转；利用这个性质，可以在已知x(t)的情况下，求出小于时刻t的x(t0),(t0<t)

第二章控制系统状态空间表达式的解这个性质说明，或eAT矩阵和A矩阵是可以交换的。可由得到A性质四对于状态转移矩阵，有

或

第二章控制系统状态空间表达式的解令便可证明该性质表明可分解为与的乘积，且与可交换相乘。性质五第二章控制系统状态空间表达式的解性质六证明：………(1)

………(2)

…(3)

比较（1）、（3）式，有成立。第二章控制系统状态空间表达式的解根据这一性质，可把一个转移过程分为若干个小的转移过程来研究。如下图:第二章控制系统状态空间表达式的解性质七性质八若矩阵A，B可交换，即AB＝BA，那么

，否则不成立。

第二章控制系统状态空间表达式的解根据定义，

比较上述两展开式t的各次幂的系数可知，当AB＝BA式，

第二章控制系统状态空间表达式的解三、几个特殊的状态转移矩阵1）第二章控制系统状态空间表达式的解2)第二章控制系统状态空间表达式的解3）若矩阵A为一约当矩阵，即第二章控制系统状态空间表达式的解4）若矩阵A通过非奇异矩阵P化为对角线矩阵，即：,则：5)若，则：第二章控制系统状态空间表达式的解【例】已知状态转移矩阵为

试求和A。解：（1）根据状态转移矩阵的性质3，可知第二章控制系统状态空间表达式的解（2）根据状态转移矩阵的性质4，可知

第二章控制系统状态空间表达式的解【例】已知

试求状态转移矩阵解：根据特殊状态转移矩阵的特点，可知。第二章控制系统状态空间表达式的解【例】验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。

解：利用性质2

所以该矩阵不是状态转移矩阵。，第二章控制系统状态空间表达式的解

【例】已知系统状态方程为，当时，当时，试求系统矩阵A和状态转移矩阵解：由性质4可知：由已知，有

第二章控制系统状态空间表达式的解∴

∴第二章控制系统状态空间表达式的解2）状态转移矩阵的计算方法1.直接法2.拉普拉斯变换法3.化矩阵A为标准型法第二章控制系统状态空间表达式的解4.化矩阵指数为A的有限项。，则A满足1)Cayley-Hamilton定理设n阶矩阵A的特征多项式为：其特征方程，即:第二章控制系统状态空间表达式的解可表示为A的状态转移矩阶多项式

式中，均为幂函数。

推论2）化为A的有限项第二章控制系统状态空间表达式的解3)的计算。(1)A的特征值互异时。第二章控制系统状态空间表达式的解(2)A有重特征值时第二章控制系统状态空间表达式的解【例】已知求解：1.直接法第二章控制系统状态空间表达式的解

第二章控制系统状态空间表达式的解【例】已知，求解:

第二章控制系统状态空间表达式的解2.拉普拉斯变换法【例】已知，求

解

第二章控制系统状态空间表达式的解所以

第二章控制系统状态空间表达式的解3.化矩阵A为标准型法类似地，若矩阵A可变换为Jordan标准形，则eAt可由下式确定出:

eAt=PeJtP–1

若可将矩阵A变换为对角线标准形，那么eAt可由下式给出:第二章控制系统状态空间表达式的解【例】已知，求第二章控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解【例】考虑如下矩阵解

该矩阵的特征方程为因此，矩阵A有三个相重特征值λ=1。可以证明，矩阵A也将具有三重特征向量（即有两个广义特征向量）。易知，将矩阵A变换为Jordan标准形的变换矩阵为第二章控制系统状态空间表达式的解

矩阵P的逆为第二章控制系统状态空间表达式的解于是第二章控制系统状态空间表达式的解注意到可得eAt=PeJtP

–1第二章控制系统状态空间表达式的解即第二章控制系统状态空间表达式的解【例】已知

，求

解：

根据前面有关内容，可知：设

，则

得：

得：

得：

第二章控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解

，第二章控制系统状态空间表达式的解

或由约旦形式直接写出变换阵

第二章控制系统状态空间表达式的解4.化矩阵指数为A的有限项。然后通过求待定时间函数获得的方法。这种利用凯莱-哈密尔顿定理，化为A的有限项，方法相当系统，而且计算过程简单。【例】已知，求第二章控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解2.1线性定常齐次状态方程的解2.2状态转移矩阵的性质及计算方法2.3线性定常系统非齐次状态方程的解2.4线性时变系统的解2.5离散时间系统状态方程求解2.6线性连续系统的离散化第二章控制系统状态空间表达式的解2.3线性定常系统非齐次状态方程的解

给定线性定常系统非齐次状态方程为其中，，且初始条件为

解法：1、直接积分法2、拉氏变换法第二章控制系统状态空间表达式的解在上式两边左乘e-At，可得将上式由0积分到t，得求出其解为采用类似标量微分方程求解的方法，将上式写成1、直接积分法第二章控制系统状态空间表达式的解或注意：若取作为初始时刻，积分可得：

即：第二章控制系统状态空间表达式的解2、拉氏变换法，两边同时取拉氏变换则第二章控制系统状态空间表达式的解在此视为，视为，则由拉氏变换卷积定理：或具体采用那个式子，视求解方便程度而定。第二章控制系统状态空间表达式的解非齐次状态方程的解右边第一项表示由输入向量为零时，初始状态引起的自由运动，称为状态方程的零输入响应；第二项是初始状态为零时，输入向量引起的的强制运动，称为状态方程的零状态响应。第二项的存在为控制提供了这样的可能性，即通过选择输入向量u(t)，使得x(t)的形态满足期望的要求。是由两部分组成：等式第二章控制系统状态空间表达式的解当u(t)

为几种典型的控制输入时，即脉冲信号输入；阶跃信号输入；斜坡信号输入；有如下形式。第二章控制系统状态空间表达式的解1脉冲信号输入，即：

时即：

第二章控制系统状态空间表达式的解2阶跃信号输入，即

即：第二章控制系统状态空间表达式的解3斜坡信号输入，即

，可以求得：

第二章控制系统状态空间表达式的解【例】已知系统状态方程为解：

由已知u(t)=1,u(t-τ)=1，则有输入，初始条件为试求解此非齐次状态方程。，（1）先求，由前面例题可知第二章控制系统状态空间表达式的解（2）求

第二章控制系统状态空间表达式的解故而

或直接代入右式得第二章控制系统状态空间表达式的解%Example

grid;xlabel('时间轴');ylabel('x代表x1，----*代表x2');t=0:0.1:10;x1=0.5-exp(-t)+0.5*exp(-2*t);x2=exp(-t)-exp(-2*t);plot(t,x1,'x',t,x2,'*')end第二章控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解2.4线性时变系统的解系统微分方程中只要有一个系数是时间的连续函数，便称为时变系统。线性时变连续系统动态方程的一般形式为:第二章控制系统状态空间表达式的解研究时变系统比研究定常系统要复杂困难得多，这里只研究把定常的某些状态空间分析的理论推广应用到时变系统中去，而传递函数和频率特性在时变系统中推广是很困难的。在定常连续系统齐次状态方程的解析中，曾应用与标量定常齐次微分方程解的类比方法导出矩阵指数及状态转移矩阵概念，这里也采用与标量时变齐次微分方程解的类比方法来导出某些结果。第二章控制系统状态空间表达式的解一、时变齐次状态方程的解标量时变齐次微分方程

用分离变量法，并在取积分，有解得即转移特性与a(t)以及t、t0

有关。故时变系统的状态转移矩阵不再是形如，而是第二章控制系统状态空间表达式的解可见x(t)也是由x(t0)转移而来，但转移特性不再是定常情况下的，而是，时变齐次状态方程为。第二章控制系统状态空间表达式的解设其解式中

为时变系统状态转移矩阵。将解代入原方程有

故当t=t0时，由

有是应满足的微分方程及初始条件。第二章控制系统状态空间表达式的解已知定常系统的的幂级数表达式对于时变系统，可否用上述类似公式来表示？第二章控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解线性时变系统状态转移矩阵是满足如下矩阵微分方程和初始条件的解。二、时变系统状态转移矩阵的性质（1）时变系统状态转移矩阵第二章控制系统状态空间表达式的解2、；（2）线性时变系统状态转移矩阵的几个重要性质1、证又有第二章控制系统状态空间表达式的解3、；该性质表明必有逆，x(t0)

至x(t1)的状态转移矩阵是x(t1)至x(t0)的状态转移矩阵的逆阵。该性质表明，x(t0)转移至x(t2)

的转移特性，可分解为x(t0)

至x(t1)

及x(t1)

至x(t2)的分段转移特性，或者说x(t0)

至x(t1)

及x(t1)

至x(t2)的转移特性，可合成为x(t0)至x(t2)

的转移特性。第二章控制系统状态空间表达式的解4、计算时变系统状态转移矩阵的公式上式一般不能写成封闭形式，可按精度要求，用数值计算的方法取有限项近似。特别地，只有当满足即在矩阵乘法可交换的条件下，如下矩阵指数函数形式

才可表示为第二章控制系统状态空间表达式的解三、时变非齐次状态方程的解设其解为对上式求导有：设其解为故第二章控制系统状态空间表达式的解又所以第二章控制系统状态空间表达式的解若考虑时变系统输出方程为则时变系统输出响应函数为第二章控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解2.1线性定常齐次状态方程的解2.2状态转移矩阵的性质及计算方法2.3线性定常系统非齐次状态方程的解2.4

线性时变系统的解2.5离散时间系统状态方程求解2.6线性连续系统的离散化第二章控制系统状态空间表达式的解2.5离散时间系统状态方程求解离散时间状态空间表达式为

第二章控制系统状态空间表达式的解离散系统状态方程描述了(k+1)T时刻的状态与kT时刻的状态、输入量之间的关系；离散系统输出方程描述了kT时刻的输出量与kT

时刻的状态、输入量之间的关系。离散时间系统状态方程求解方法：递推法（迭代法），对定常、时变系统都适用；Z变换法，只适用于定常系统。第二章控制系统状态空间表达式的解1）递推法求解离散时间系统的状态方程线性定常离散时间系统的状态方程为：

用递推法解上面矩阵差分方程，即依次取

，得：第二章控制系统状态空间表达式的解即

即为线性定常离散时间系统的状态方程的解第二章控制系统状态空间表达式的解当初始时刻为h时，同理可推出：或离散系统的解可记为：其中称为线性定常离散系统的状态转移。矩阵，记为（满足：；

）第二章控制系统状态空间表达式的解【例】已知某离散系统的状态方程是：

，，初始状态，试用递推法求解。，解：第二章控制系统状态空间表达式的解显然，用递推法求解所得到的不是一个封闭的解析形式，而是一个解序列。第二章控制系统状态空间表达式的解2）Z变换法求解离散时间系统的状态方程设定常离散系统的状态方程是：

两边取Z变换：

，整理有∴

两边取Z反变换：

第二章控制系统状态空间表达式的解【例】已知某离散系统的状态方程是：

，，初始状态，，试用Z变换法求解。第二章控制系统状态空间表达式的解解：

第二章控制系统状态空间表达式的解而

∴第二章控制系统状态空间表达式的解

对取z反变换，有第二章控制系统状态空间表达式的解2.6线性连续系统的离散化离散化的目的数字计算机所处理的数据是数字量，它不仅在数值上是整量化的，而且在时间上是离散化的。如果采用数字计算机对连续时间状态方程求解，那么必须先将其化为离散时间状态方程。当然，在对连续受控对象进行在线控制时，同样也有一个将连续数学模型的受控对象离散化的问题。在最优控制理论中，我们经常要用离散动态规划法对连续系统进行优化控制，同样也需要先进行离散化。第二章控制系统状态空间表达式的解１）线性定常系统的离散化状态方程第二章控制系统状态空间表达式的解

记令则代换后有第二章控制系统状态空间表达式的解故离散化状态方程为：

输出方程为：

其中：，第二章控制系统状态空间表达式的解【例】试写出连续时间系统

采样周期为T的离散化状态方程。

解：先求第二章控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解

所以：

第二章控制系统状态空间表达式的解线性时变连续系统动态方程的一般形式为：在x(t0)及u(t0)作用下的解为令t0=KT时的状态x(tk)作为初始状态；在t∈[tk，

tk+1]有２）线性时变系统的离散化状态方程第二章控制系统状态空间表达式的解则tk+1时刻的状态为记故线性时变系统的离散化状态方程为式中表示x(k)至x(k+1)的状态转移矩阵。上式