2023年姜启源数学建模3.2消费者的选择

第姜启源数学建模3.2消费者的选择

姜启源数学建模3.2消费者的选择

题目：基于NOTEBOOK的消费者的选择的建模与分析

一、问题思维视图：

1.系统要素:商品的价格、购买商品的数量、消费者的支出、商品的效用值（消费者的满意度）2．要素关联：

i.消费者的支出=

x购买商品的数量ii.购买商品的数量

32种商品时，每种商品各买

多少可使商品的效用值最大？

二、数学刻画：1．效用函数

当消费者购得数量分别为x1,x2的甲乙两种商品时，得到的效用可用函数u(x1,x2)度量，称为效用函数

利用等高线概念在x1,x2平面上画出函数u的等值线,u(x1,x2)=c称为等效用线——一族单调减、下凸、互不相交的曲线.

等效用线就是“实物交换模型”中的无差别曲线，效用就是那里的满意度

symsxy1y2y3y1=1./x;y2=3./x;

姜启源数学建模3.2消费者的选择

y3=6./x;

ezplot('1./x',[0,10])holdon

ezplot('2./x',[0,10])holdon

ezplot('3./x',[0,10])

效用最大化模型

购得甲乙两种商品数量分别为x1,x2，甲乙两种商品的单价分别为p1,p2,y是消费者准备付出的钱，在条件p1xx1+p2xx2=y下使效用函数u(x1,x2)最大.

u(x1,x2)=c单调减、下凸、互不相交，

AB必与一条等效用线相切于Q点(消费点)。Q(x1,x2)唯一.

symsxy1y2y3y4y1=1./x;y2=2./x;y3=3./x;

y4=(-1/3)xx-2

ezplot('1./x',[0,10])holdon

ezplot('2./x',[0,10])holdon

ezplot('3./x',[0,10])holdon

ezplot('-0.5xx+2',[0,10])

y4=

-x/3-2

姜启源数学建模3.2消费者的选择

三、模型推演

maxu(x1,x2)p1xx1+p2xx2=y

引入拉格朗日乘子构造函数

L(x1,x2,)u(x1,x2)(yp1x1p2x2)

LL

0,0x1x2

dx2uu

/

推出等效用线u(x1,x2)=c的斜率dx1x1x2

消费线AB的斜率p1/p2u,u

边际效用x1x2

当商品边际效用之比等于它们价格之比时效用函数最大等效用线u(x`1,x2)=c所确定的函数x2(x1)单调减、下凸.u0,u0,2u0,2u0,2u0

22

x2x1x2x1x2x1

四、超参数

效用函数u(x

,x)几种常用的形式

姜启源数学建模3.2消费者的选择

购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比,比例系数是参数α与β之比的平方根.

u(x1,x2)中参数,分别度量甲乙两种商品对消费者的效用，或者消费者对甲乙两种商品的偏爱.2.uxx,0,112

购买两种商品费用之比只取决于λ,μ,与价格无关.

.实际应用时根据对最优解的分析，决定采用哪种效用函数，并由经验数据确定其参数五、超模型

例1、征销售税还是收入税

利用图形从效用函数和效用最大化的角度讨论(p1p0)x1p2x2y

征税前设甲乙两种商品的单价为p1,p2，消费者准备花的钱为y,等效用线为u(x1,x2)=c，消费点为Q(x1,x2).1、征税前的消费点Q

设税率为p0，商品价格被迫增加为p1+p0原来的条件变为（p1+p0）x1+x2=y

对甲商品征销售税,税率为p0消费线AB1,B1在B的左边AB1与l1相切于Q1(x1x,x2x)政府得到的销售税额p0x1x2、若改为征收入税

原来的条件变为p1x1+p2x2=y-p0x1征收的税额与销售税额p0x1x相同

消费线A2B2与l2相切于Q2,可证B2在B1的右边.

symsxy1y2y3y4y5y6y1=1./x;y2=3./x;y3=6./x;

y4=(-1/6)xx+2y5=(-1/3)xx+2y6=-x+2

ezplot('1./x',[0,10])

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holdon

ezplot('3./x',[0,10])holdon

ezplot('6./x',[0,10])holdon

ezplot('(-1/6)xx+2',[0,10])holdon

ezplot('(-1/3)xx+2',[0,10])holdon

ezplot('-x+2',[0,10])axis([0,10,0,10])

y4=2-x/6y5=2-x/3y6=

结论：如果l2在l1上方，Q2的效用函数值将大于Q1,对消费者来说征收入税比征销售税好六．评注

总而言之，该模型现实意义很大，它在比较两种商品时非常有用，而且可以拓展到两种不同的选择上，例如征收收入税还是消费税，价格补贴给生产者还是消费者，等两类比较的案例。但是它不适用于同类产品，或者产品种类比较多