第7课时离散型随机变量的分布列均值与方差

i221222i221222第7课时

离散型随变量的分布、均值与方差一、基础知识习总：1．散型随变量的均值方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为：XP

x11

x22

„„

xii

„„

xnn(1)分列的性：≤≤1(i1,2,3,)i

n②p.i(2)均：(Xx叫均值或数学期望，反应平均水平112n(3)方：[()]2p称为随机变量的方差应X的稳定性.或者说是Xiii偏离它的平均值的程度大小.2．值与方的性质

X)X为的标准差(1)(aX)aE(X).(2)(bX

2

D(X)a，b为常数)二、基课堂知识检：判断下列结论的误(正确的打√”误的打×”)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．√)(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．(√)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.(×离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．√)期望值就是算术平均数，与概率无关．(×随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．×)在篮球比赛中，罚球命中1次得分，不中得分．如果某运动员罚球命中的概率为，那么他罚球次的得分X的均值是0.7.(√在一组数中，如果每个数都增加，则平均数也增加a.(√)在一组数中，如果每个数都增加，则方差增加a.(×(10)如果每个数都变为原来的倍，则其平均数是原来的a倍，方差是原来的a

2

倍．√)考一

离型机量分列性[1](1)是一个离散型随机变量，其分布列为：X

－101P

12

1－2

2则q于()A．1B．

22

C．－

22

D．＋

22解：由分布列的性质知：

1－2q≥0，q≥，－＋＝，

2∴q＝1－

答案：C

322233363292(2)设离散型随机变量的分布列为：322233363292

00.2

10.1

20.1

30.3

4m求：X分布列；②的分布列．解：由分布列的性质知：0．2＋0.10.1＋0.3＝1，∴m＝0.3.首先列表为012342X11359－1|102从而由上表得两个分布列为：①2X＋1的分布列为：2X1

10.20.10.10.30.3②|X－1|的分布列为－1|

030.3练习．机变的分布列为：其中a，bc成等差数列，1若E()＝，则D(ξ)＝________.

ξ－101bc111解：由abc成等差数列及分布列性质得解abc62c11∴D()＝×××.练习2．在本例(2)条件下，X

2

的分布列．解：X

2

的分布列为：349160.10.30.3考点二

离散型机变量的均与方差[2]湖南益阳调研)某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低的为合格品，可以出厂，现随机抽取这两种产品各件进行检测，检测结果统计如下：得分甲种产品的件数乙种产品的件数

5103411812319①试分别估计甲，乙两种产品下生产线时为合格品的概率；②生产一件甲种产品，若是合格品可盈利元，若是不合格品则亏损元；生产

60460343432412744533一件乙种产品，若是合格品可盈90，若是不合格品则亏15，在①的前提下：a．记X为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获的总利润，求随机变量的分布列和数学期望生产5件乙种产品所获得的利润不少于300的概率．60460343432412744533453402解：①甲种产品为合格品的概率约为＝，乙种产品为合格品的概率约为＝②a.随机变量X的所有取值为，－，311且P(X＝＝×＝，P(X＝85)＝×，434121(X＝＝×＝，P(X＝－35)＝×＝.所以随机变量X的布列为190－

111124612190857035所以E(X)＝＋＋－＝b．设生产5乙种产品中合格品有n件，则不合格品有(－n)件，依题意得，2590－15(5n≥300解得n≥取n4或n＝5设“生产5乙种产品所获得的112利润不少于300”为事件A，则()＝C＋(2016·高考全国乙卷某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个2元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每500．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100机器更换的易损零件数的频率代替1机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2机器三年内共需更换的易损零件数，n示购买2机器的同时购买的易损零件数．①求的分布列；②若要求P(X≤n≥0.5，确定n最小值；③以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝之中选其一，应选用哪个？解：①由柱状图可知，100台机器在3年内更换易损零件数为8，9，10，的机器台数分别为204020，台，所以更换易损件的频率分别为：，0.4，0.20.2，以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为，0.4,0.2,0.2.更换易损件个数为8，9，，个的事件分别为A，B，，D，则两台机器更换易损件的个数X的取分别为：，，1819，，，对应事件分别为式AAAB+BABB+AC+CABC+CB+AD+DACC+BD+DBCD+DC，DD，所以(X＝＝0.2×0.2；(X＝＝2×0.2×0.4；(X＝＝2×0.20.2＋0.40.4＝0.24P(＝19)＝2×0.20.2＋2×0.4×0.2；(X＝＝2×0.20.4＋0.20.2＝0.2(X＝21)＝2×0.2×0.20.08；(X＝＝0.2×0.2所以的分布列为1617192021220.160.20.080.04

XP，，则，②由①知P(X≤＝，P(X≤＝0.68，故的最小值为XP，，则，③记表示2机器在购买易损零件上所需的费用单位：元)．当n＝时，E(Y)0.0)0

200)04

40当n＝时，

)200.88(20200500)2可知当n19所需费用的期望值小于当n＝时所需费用的期望值，故应选n＝19.练习题商店试销某种商品天，获得如下数据：日销售量(件)

0频数1试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于件，则当天进货补充至件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X分布列．解：(1)设当天销售量为

，当天不进货的事件为

A

事件，则

P(AP(

0)P(

∵

P(

195，(，，(3)20202020∴

P(A)P(

(

620(2)由题意知，

X

的可能取值为

2)P(

43)(P(2)所以的分布列为：

3)

12020X

21

33考点三

44与二项分布有关的均值与方差例若X(n,A

，且

X)6D(X1)B

的值为(C)C

D解：∵

E)D(X)npp

，∴

np6，(1)3，∴,12，∴

X1)C

1).2某居民小区有两个相互独立的安全防范系统简称系统A和，系统A和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和49①若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；50②设系统在3相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量求ξ的分布列及均值E()．解：①∵两系统相互独∴个系统同时发生故障的概率为：

110

p

，

∴至少有一个系统不发生故障的概率为：1

1149p∴p，∴10505②由题意，得P(0)3，2)0.1，3所以，随机变量ξ的分布列为：

P(2，3)30.7293ξ

00.001

10.027

20.243

30.729故随机变量ξ的均值：E(

)0.0270.729或

B，∴E

)2.7.练习：假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被并闭，且概率均为0.5．记此时教室里敞开的窗户个为.(1)求X的分布列；(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变记每天上午第三节课上课时刻教室里敞开的窗户个数求的数学期望．解：(1)∵X的所有可能取值为，且X，(

1(X1)10.5163P2)C22，P(05.8

，P(X4)0.5

0.5

∴的分布列为：0234

1311648416(2)的所有可能取值为，则：((X

3，PY)41315Y的数学期Y)44

．

23344230.551[考真题体验]23344230.5511高考四川卷)时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2试验中成功次数的均值是_．解：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概率为－，且X～值是×＝.2．已知随变量X服从二项分布B(n，p．若(X＝30D(X＝20，则p________.1解：因为X～n，p)，所以E(X)＝np＝30，D(＝np－p＝20，解得n90p＝.3．(2016·考全国甲卷某险种的基本保费为a单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数保费

0≥0.85aa1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数概率

0124≥50.300.150.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．解：设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事发生当且仅当一年内出险次数大于1故＝0.2＋0.20.1＋0.05＝0.55.设B示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()＝0.1＝0.15.3又P(＝B，故()＝＝＝＝.此所求概率为.(3)记续保人本年度的保费为元，则的分布列为0.85aa1.251.5a1.75a2a0.300.10(X)＝0.85×0.30＋a×＋1.25a×0.20＋1.5×0.20×0.10＋2a×0.05＝1.23因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.4．(2013·考课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出t产品获利润500，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图所示．经销商为下一个销售季度购进了130该农产品．以X单位：≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．将T示为X的函数；根据直方图估计利润少于57的概率．在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如若求