新高考二轮复习真题源导数专题讲义第15讲 切线问题与公切线问题（解析版）

第15讲切线问题与公切线问题参考答案与试题解析1．（2021春•昔阳县校级期中）已知曲线．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求曲线过点的切线方程；（3）求斜率为1的曲线的切线方程．【解答】解：（1）在曲线上，且，在点处的切线的斜率为．曲线在点处的切线方程为，即；（2）设曲线与过点的切线相切于点，，则切线的斜率，切线方程为，点在切线上，，，解得或故所求的切线方程为或．（3）设切点为，则切线的斜率为，．切点为，切线方程为或，即或．2．（2021•乙卷）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．【解答】解：（1），△，①当△，即时，由于的图象是开口向上的抛物线，故此时，则在上单调递增；②当△，即时，令，解得，令，解得或，令，解得，在，，单调递增，在，单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减．（2）设曲线过坐标原点的切线为，切点为，则切线方程为，将原点代入切线方程有，，解得，切线方程为，令，即，解得或，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和．3．（2021•河南月考）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，求曲线过点的切线与曲线的公共点的坐标．【解答】解：（1），当时，，则在上单调递增：当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）当时，，则，设切点为，，则切线方程为，即，将代入，得，解得或4，因为（1），（4），且结合图象（图略）可知，两条切线与曲线分别只有一个公共点，所以曲线过点的切线与曲线的公共点的坐标为和．4．（2021•香坊区校级二模）已知，其中，，存在使，求的值．【解答】解：可以看作是动点，与动点之间距离的平方，动点在函数的图象上，在直线上，问题存在使，转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，对函数求导，得，由，解得，此时直线与曲线的切点为，直线上的动点与曲线上点的最小距离为，，根据题意，要使，则，此时恰好为垂足，即，解得．5．（2021春•东海县校级期中）已知函数当时有极值，且在处的切线的斜率为．（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间，上的最大值与最小值；（3）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．【解答】解：（1）在时有极值，且在处的切线的斜率为可有：函数的解析式为：（2）由（1）知：令，有，．所以，当，时，，在上单调递减；当，时，，在上单调递增；；，（2）（2）．（3）设切点为，切线斜率为：切线方程为：①又切线过点，带入①化简为：令与，（1），；，令，；在，单调递减，上单调递增；过点可作曲线的三条切线，即存在三个，也即是与有三个交点．故如图所知：．6．（2021•金牛区校级月考）（文已知函数．求曲线在点，处的切线方程；设常数，如果过点可作曲线的三条切线，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数，．切线方程为，即．（Ⅱ）已知关于的方程即有三个不等实根．令，则．可知在递减，在递增，在递减，的极小值为：，极大值为（a）．结合图象知．7．（2021春•五华区校级月考）已知函数．（1）求的极大值点；（2）当，时，若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围．【解答】解：（1），令，得或，若，则当时，；当时，，故在，上单调递增，在上单调递减，此时的极大值点为；若，则当时，；当时，，故在，上单调递增，在上单调递减，此时的极大值点为；若，在上单调递增，无极值．（2）设过点的直线与曲线相切于点，，则，且切线斜率，所以切线方程为，因此，整理得，构造函数，则“若过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有三个不同的零点”，，与的关系如下表：100极大值极小值所以的极大值为，极小值为（1），要使有三个解，即且（1），解得，因此，当过点存在3条直线与曲线相切时，的取值范围是．8．（2021•朝阳区校级月考）已知函数，其中．（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程（Ⅱ）如果过点可作曲线的三条切线（1）当时，证明：（a）；（2）当时，写出的取值范围（不需要书写推证过程）．【解答】解：（Ⅰ），，曲线在点，处的切线的斜率，由点斜式写出切线方程为，即．（Ⅱ）（1）如果切线过点，则存在，使．于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．记，则，令，解得，或当，时，当时，当时，取极大值，当时，取极小值，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即，则，即（a）；（2）令，解得，或当，时，当时，当时，取极大值，当时，取极小值，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即（a）．9．（2021•兴庆区校级月考）已知函数（Ⅰ）求曲线．在点，处的切线方程；（Ⅱ）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：（a）．【解答】解：（1）求函数的导函数；．曲线在点，处的切线方程为：，即；（2）如果有一条切线过点，则存在，使．于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．记，则．当变化时，，变化情况如下表：000递增极大值递减极小值（a）递增由的单调性，当极大值或极小值（a）时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，，即方程只有两个相异的实数根；当（a）时，解方程得，，即方程只有两个相异的实数根．综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则，即（a）．10．（2021•北京开学）已知函数．（Ⅰ）当时，有极小值，求的值；（Ⅱ）若过点只有一条直线与曲线相切，求的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，判断过点，，分别存在几条直线与曲线相切．（只需写出结论）【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由得．（1分）根据题意（1），解得．（2分）此时．令，解得或．当时时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，符合当时，有极小值，因此．（4分）（Ⅱ）设过点的直线与曲线相切于点，，则，且切线斜率为，所以切线方程为．因此，整理得．（6分）设，则“过点只有一条直线与曲线相切”等价于“只有一个零点”．．当变化时，与的变化情况如下：0100所以，是的极大值，（1）是的极小值．（8分）当只有一个零点时，有或（1），解得或．因此当过点只有一条直线与曲线相切时，的取值范围是或．（10分）（Ⅲ）过点存在1条直线与曲线相切；过点存在3条直线与曲线相切；过点存在2条直线与曲线相切．（13分）11．（2021•长沙一模）已知函数为实常数）．（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；（2）判断是否存在直线与的图象有两个不同的切点，并证明你的结论．【解答】解：（1）函数的导数为，由在上单调递增，可得在上恒成立，即，由在上递增，可得的值域为，则，即有的取值范围为，；（2）不存在直线与的图象有两个不同的切点．证明：假设存在这样的直线，设两切点为，，，，由假设可得，由，可得，即有，显然，，即有，而，即，故不存在直线与的图象有两个不同的切点．12．（2021春•天河区期末）已知直线是函数图象的切线，也是曲线的切线．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明：当，，时，；（Ⅲ）当时，讨论函数的单调性．【解答】解：（Ⅰ）设与和的切点分别为，、，；，，，，，切线方程分别为，即为，或，即为，，解得，，；证明：（Ⅱ）令，，，，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（1），故，，时，即；（Ⅲ），，，在上单调递减，而，（1），由（Ⅱ）中的单调性，可得：，由（Ⅱ）可得：（1），，使得，即时，，时，，即在上单调递增，在上单调递减．13．（2021春•江西月考）已知函数，，．（Ⅰ）若的图象在处的切线过点，求的值并讨论在上的单调增区间；（Ⅱ）定义：若直线与曲线、都相切，则我们称直线为曲线、的公切线．若曲线与存在公切线，试求实数的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，得．又（1），故在的切线方程为，代入，得，．从而，，，①当时，，．故的单调增区间为；②当，即时，，．故的单调增区间为；③当，即时，由得，故的单调增区间为，．综上，当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为，．（Ⅱ）设的切点横坐标为，，切线方程为①设的切点横坐标为，，切线方程为②联立①②，得，消去得．考虑函数，．令，得或2．当或时，，函数在区间，上单调递减，当且时，，函数在区间，上单调递增．，．故当时，方程有解，从而，函数与存在公切线．14．（2021•江苏二模）已知函数，，．函数的导函数在存在零点．（1）求实数的取值范围；（2）若存在实数，当，时，函数在时取得最大值，求正实数的最大值；（3）若直线与曲线和都相切，且在轴上的截距为，求实数的值．【解答】解：（1）已知函数，，，则，则，即方程在有实数解，由，，故，；（2）由，，△，①当△时，即，时，，递增，故不符合题意；②当△时，即时，有两个解，，当时，当时，函数递增，显然不会是最大值，故不符合题意，当，时，由于，故在递减，在，递增，若，则在，递减，在出有最大值，若，，则在递减，在，递增，要使最大，则（b），即，即，，，故，即，，综上，最大值为4；（3）设直线与的切点为，，所以切线斜率，切线方程为，即，根据题意得，，化简得，得，故切线方程为，设直线与的切点为，由，故切线方程为，即，故，消去，得，由得，设，，，递增，且（1），故，代入的．15．（2021•湘潭四模）已知函数．（1）若点，为函数与图象的唯一公共点，且两曲线存在以点为切点的公共切线，求的值：（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知，与图象的在唯一公共点处的切线相同，又因为，，所以，，即，由可得或，由点唯一可得或，即或，由可得，综上可得，；（2）由，，则，若即时，在上单调递减，在上单调递增，因为时，，且（2），故要使得有2个零点，只有（1）即，当时，只有一个零点，故若，即时，①当时，在上单调递增，不符合题意；②当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且时，，且（1），，故要使得有2个零点，则，即，令（a），，则，故（a）在上单调递增，且，故（a）在上恒成立，不可能有2个零点，③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且（1），故不可能有2个零点，综上．16．（2021春•修水县期末）已知函数，．（1）若，求函数的图象在处的切线的方程．（2）若函数的图象与函数的图象存在公共切线，求实数的取值范围．【解答】解：（1）若，，，函数的图象在处的切线的斜率，又，故函数的图象在处的切线的方程为，即．（2）设，的公切线的斜率为，与，图象的切点分别是，，，；若不存在，则不是图象的切线，所以存在；则，，，整理得，根据题意，此关于的方程有解；令，则有零点．，在上单调递减，在上单调递增，（1），有零点当且仅当（1），解得，即实数的取值范围为，．17．（2021•海口模拟）已知函数．（Ⅰ）当，分析函数的单调性；（Ⅱ）当时，若函数与的图象有且只有一条公切线，求的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，，，．当为奇数时，，，在区间上单调递增，当为偶数时，，，当时，，当时，，在区间上单调递减，在上单调递增，综上所述，当为奇数时，在区间上单调递增，当为偶数时，在区间上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ），．设与上各有一点，，，．则在以为切点的切线方程为，在以为切点的切线方程为．由两条切线重合，得，由题意，方程组有唯一解，消去，整理得：．令，．可知在区间上单调递减，在，上单调递增．又当时，，有唯一解，则有，即．即．令，．可知在区间上单调递减，在区间，上单调递增．又，只有唯一一实根．当时，函数与的图象有且只有一条公切线．18．（2021•西安一模）若存在过点的直线与曲线和都相切，求实数的值．【解答】解：设直线与曲线的切点坐标为，，则，则切线的斜率或，若，此时切线的方程为，由，消去，可得，其中△，即，解可得；若，其切线方程为，由，消去可得，又由△，即，解可得．故或．19．（2012•山东模拟）设函数，，函数的图象与轴的交点也在函数的图象上，且在此点处与有公切线．（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）设，试比较与的大小．【解答】解：由题意：，，（2分）由题意可得：．（5分）由可知，令．．，（8分）是上的减函数，而（1），（9分）当时，，有；当时，，有；当时，，有．（12分）20．（2021•长春二模）已知函数，．（Ⅰ）当时，求的最小值；（Ⅱ）若曲线与有两条公切线，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，令，，令且可得，．（Ⅱ）方法一：根据二次函数和代数函数的性质得：当时，曲线与有两条公切线，即在上恒成立，即在上恒成立，设，，令，，即，因此，，方法二：取两个函数相切的临界条件：，解得，，由此可知，若两条曲线具有两条公切线时，，故的取值范围是，．21．（2015•南通模拟）设函数，其中为常数．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）若函数在区间，上的最大值为3，求实数的取值集合；（3）试讨论函数的图象与函数的图象的公切线条数．【解答】解：（1）当时，，，令，解得，即当时，函数的单调减区间为．（3分）（2），：当时，在区间，上恒成立，即单调递增，令（3），，所以不符合题意．（4分）：当时，，因为在区间，上的最大值为3，所以，当，即时，在区间，上恒成立，即单调递减，令，得，即符合题意，（6分）当，即时，在区间，的解集为，，即函数在区间，上单调递减，在区间，单调递增，所以，（3），又因为，所以令（3），求得，即符合题意，综上，实数的取值集合为，．（8分）（3）设，并设切点为，则，即切线方程为，整理得，，且由题意，令此直线与的图象相切，即，整理可得，令，整理得，由题意可知，此方程根的个数即为函数的图象与函数的图象的公切线条数，（10分）设，则，令，解得或，：当，即时，的解集为，列表如下：，000极大值极小值由表得，当时，取得极小值，又因为，所以方程，有且仅有一个实数根，即公切线条数为一条（12分）：当，即时，恒成立，即在上单调递增，又因为，所以方程有且仅有一个实数根，即公切线条数为一条（13分）：当，即时，的解集为，列表如下：0，00极大值极小值由表得，当时，取得极大值；当时，取得极小值，因为，，当，即时，方程，有且仅有一个实数根，即公切线条数为一条，当，即时，方程，有且仅有两个实数根，即公切线条数为两条，当，即时，方程有且仅有三个实数根，即公切线条数为三条，综上，当时，公切线条数为一条；当时，公切线条数为两条；当时，公切线条数为三条．（16分）22．（2021•临沂期末）已知函数其中是实数，设，，，为该函数图象上的两点，且．（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数的图象在点，处的切线重合，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，，，，，，①时，，此