人教版高中数学必修4全部说课稿

正弦函数和余弦函数的图像与性质

课题：正弦函数和余弦函数的图像与性质(1)

一、教材地位和作用

本节课的内容是选自上海教育出版社出版的高中一年级第二学期(试用木)中第六章

《三角函数》第一节。三角函数是把已经学习过的三角比的知识和函数知识结合起来，是刻

画生活中周期现象问题的典型的函数模型，在高中数学知识体系中占有十分重要的地位。本

节课作为《三角函数》开篇的第•课时，主要解决了正弦、余弦函数的定义和其图像的画法

问题，为后面更好地学习三角函数的性质打下牢固的基础。

二、教学目标分析

教学目标：

1.掌握正弦函数和余弦函数的概念。

2.学会利用单位圆中的正弦线作出正弦函数在［0,2可上的图像的方法；并正确运用五

点法作出正弦函数在［0,2可上的大致图像。

3.利用诱导公式，通过图像平移作出余弦函数的图像。

4.进一步形成数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力。

教学重点、难点：

重点：五点法作出正弦函数在［0,2可上的大致图像；通过图像平移作出余弦函数的图

像。

难点：利用单位圆中的正弦线作出正弦函数在［0,2可上的图像。

三、教学问题诊断

高一学生对函数概念的理解本身就是难点，再加上三角比知识，就要求学生有较高的理

解和综合的能力。关于作图方面，在前面函数的章节中，学生已经学习了画函数图像的一些

方法，如兼函数、指数函数、对数函数等可以用列表描点法、图像平移翻折等方法作出其图

像。基于上述情况，预测学生对于本节课的内容，会有以下的一些困难：

1.概念的引出，把三角与函数两个概念结合起来，正确理解正弦函数和余弦函数。

2.利用单位圆的正弦线作出正弦函数在［0,2可上的图像。

3.正确掌握五点法的作图步骤与要求。

4.按照正弦函数的作图方法，学生自己解决画余弦函数图像的一些方法。

四、教学特色

1.引例的设计意图

学生在物理学中已学习过圆周运动，创设摩天轮情境更能贴近学生实际，在解决这一问

题的过程中，学生经历了运用数学模型来刻画周期现象的整个过程，既体会到三角函数的本

质又调动了学生学习积极性。另外，从实际问题中抽象出的单位圆进行研究，起到了承上启

下的作用，既复习了三角比的内容，又为正弦函数作图时所用到的正弦线打下伏笔。

2.处理一般方法与特殊方法的关系

（1）在讲到作正弦函数的图像时，突出函数作图的一般方法（列表求值）与三角函数特

殊作图方法（利用单位圆中的三角函数线）相结合，从代数和几何的角度实现描点。

（2）在学生掌握了正弦曲线的形状后，利用连续函数的特点，抓住一个周期内五个关键

点的位置进行五点作图的教学。使学生了解一般中蕴含特殊，用特殊体现一般的辩证关系。

3.以问题驱动方式贯穿整节课

以问题调动学生思维，以问题带动课堂教学。充分体现了教师主导作用，学生自主探究

的教学方法。主要问题例举如下：

其一：正弦函数的概念

引例解决后：得/i=sinf（f，O）,教师提问：“这是否为函数关系式？”

R说明》启发学生从函数定义去思考。

当学生肯定了引例中〃=sin/。20）是函数关系式后，教师再问：“如果把展改为必

把分改为必将定义域范围变为R,那么还是函数吗？”

K说明》这样就从引例很自然的过渡到了正弦函数的定义。

其二：作正弦函数的图像

在开始引入正弦函数作图时，教师提问：“如何作出正弦函数y=sinx的图像？”

E说明》让学生回忆对于函数作图的•般方法。

在肯定了列表描点法是作函数图像的一般方法之后，教师再问：“那么，是否还有其他

作图的方法？能不能不算出正弦值？三角比中的正弦三角比是否有其几何意义呢？”

K说明】体现一般与特殊的关系，代数与几何的两个不同的角度思考问题。

在引出利用单位圆的正弦线作图之后，教师再问：“在作图中，我们是否直接作出整

个定义域上正弦函数的图像？”

K说明』目的是为了简化作图，同时也体现了三角函数是解决周期现象的典型的数学模

型。

在学生已经了解了正弦函数图像的大致形状，也发现这是个连续的函数图像之后，教

师再问：“那么，当作图的精确度要求不太高的时候，我们是否可以通过确定一些关键点的

位置来快速的作出正弦函数的大致图像？请再来观察一下刚才在［0,2可上作的图像，其中

有哪几个关键点？并请说出它们的坐标。”

K说明】解决问题要抓住事物的主要矛盾，这也是为了简化作图。

其三：作余弦函数的图像

在掌握了正弦函数的作图方法后，教师提问：“如何作出3；=(!05羽8€氏图像？”，

学生思考后教师再问：“正余弦之间关系密切，那么能不能利用正弦函数的图像通过图形变

换，来作出余弦函数的图像呢？”

K说明》引出余弦函数的图像可以说是本节课的高潮部分了。在这里，学生们可以畅所

欲言，想出各种解决方法，也是学生综合能力地体现。

4.计算机辅助教学与教师板书示范相结合

本节课的重、难点是作函数的图像。因此，在教学中借助几何画板制作的动态作图演

示，具有非常形象的效果。通过课件的动态表现，使抽象的问题具体化、形象化，有利于学

生的理解和认知。

数学课的教学离不开黑板上的规范板演，通过黑板的例题示范，弥补了课件演示一闪

即过的不足，加深学生对正弦函数的印象，特别是五点确定以后，如何用光滑的曲线描点，

在描点中应该注意图像递增递减的趋势，以求实现多媒体和传统黑板教学两者的相互结合，

互为补充，发挥彼此最大优势。

五、预期效果分析

在本堂课的教学中，以问题驱动为主，师生共同进行分析探究。着重体现了学生的独

立思考，小组讨论和亲手体验作图的整个过程。教师通过提问、课件动态展示、黑板规范板

书、学生练习点评等等多种教学形式，组织学生积极参与课堂活动，将教与学有效地结合起

来。从思维深度上和动手实践上，充分激发了学生的学习和钻研兴趣，调动了学习热情。

附：简案

教学教学过程师生活动

环节

弓1例：如图，质点尸在圆周上教师引导学生

创设作逆时针的匀速圆周运动。设半径（共同分析.

情景r为1个单位长，角速度3=1弧度/\\

分钟，当时刻r=0时，尸在4处，/'、

引入

概念求经过t（r>0）分钟后，尸到平台所在平面的相对高度h

与力的关系式。

1.正弦、余弦函数的定义教师引导学生

正弦函数y=sinx,xeR。共同探究。

余弦函数y=cosx,xeR。

2.正弦、余弦函数的图像

（1）正弦函数的图像

思考:如何作出正弦函数y=sinx的图像？

讲授

探究:借助单位圆中的正弦线作出正弦函数在［0,2可上的

新课

探究图像，再作出正弦函数在R上的图像。

方法（2）五点法

思考：是否可以通过确定一些关键位置的点来作出正弦函

数在［0,2兀］上的大致图像？

（0，。）（，，1）（兀，0），（与，-1），（2兀,0）

（3）余弦函数的图像

探究：如何作出余弦函数y=cosR图像？

例题：作出函数y=sinx—1,xe［0,2可上的大致图像。教师与学生共

例题

同完成例题，

示范练习：作出函数>=2—411》,%€［0,2兀］上的大致图像。

并纠正常见错

练习

误，学生通过

巩固

练习加以巩

固。

课堂小结：知识点、思想方法。学生小结，教

小结师总结。

提炼

精华

课后作业：书本P83练习6.1(1)

作业

正、余弦函数图像的教学设计

本节内容是在初中函数图像及高中数学必修1中初等基本函数

之后的又一函数类型，是三角函数的起始课，在整个知识系统中起着

承上启下的作用。

学情分析：

学生已具有从函数图像着手研究函数的意识和用描点法、关键点

法作函数图像的能力。因此，本节课我们从描点法探究锐角函数图像

着手，用儿何法（利用正弦函数线）完善正弦函数（X为实数）的图

像，最后用关键点法（五点法）及图像的平移变换来提高学生作有关

正弦函数图像的能力。

教学目标：

知识与技能

1.能借助正弦线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式

画出余弦函数的图像；

2.弄清正弦、余弦函数的图像之间的关系；记住正弦、余弦函数

图像的特征；

3.会用五点画正弦、余弦函数的图像；

4.通过组织学生观察、猜想、验证与归纳，培养学生的数学能力。

掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

过程与方法

利用三角函数线，作正弦函数的图像；让学生通过类比，联系正

弦函数的诱导公式，自主探究出余弦函数的图像；能学以致用，尝试

用五点作图法作余弦函数的图像，并能结合图像分析得到余弦函数的

性质。

情感、态度与价值观

L通过作正弦函数和余弦函数图像，培养学生认真负责，一丝不

苟的学习精神；

2.会用联系的观点看问题，培养学生的数形结合思想，渗透由抽

象到具体思想，使学生理解动与静的辩证关系.，激发学生的学习积

极性；

3.培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成

功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问

题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研

精神。

4.通过对函数图像的欣赏，增强学生欣赏数学美的意识。

教学准备：多媒体课件、圆规、波动演示仪、

教学重点：正、余弦函数图像

教学难点：将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图像上的

点，正余弦函数图像间的关系。

教学方法：启发与探究相结合

教学过程：

一、课题引语：（用幻灯片展示）

一个学生在数学本上这样写道：

老帅，馀总说剧学巧施、照玲肠美、数学的有用。可我总觉得

他唯琐、枯燥、甚至可忍。就画晶去囹像来说吧，你总说它姜漏，可

我总觉得它们是一条条光情的呢纵、我就是抓也抓兄弟…

师：看了这段话，我沉思良久，自责自己没能很好的激发同学们

学习数学的兴趣，只顾自己对数学感受，而忽视了你们对数学的感受。

今天，我想和同学们一起走近数学，寻找函数图像之美。我们都希望

看到一条波澜起伏、周而复始、连绵不断的优美曲线。

二、活动：鼓励学生试着画出符合条件的图像（如：心电图，波动路

线等）。

三、活动探究

师：初中所学以及我们刚学的三类（指数函数、对数函数、幕函

数）函数的图像都不符合这种要求。曾记否，初中所学的哪一类函数,

我们还未曾研究过它的图像？（锐角三角函数）

活动一、请同学们作锐角正弦函数的图像

（根据特殊角的三角函数，极其连续性单调性及其作用。）

活动二、请同学们作产sinx,xe[0,2n]的图像

（之后，教师用flash课件演示图像的活动过程）

活动三、请同学们作尸sinx,xG[2n，4冗]的图像

活动四、请同学们作产sinx,xe[-2五，0]的图像

活动五、请同学们作产sinx,xeR的图像

活动六、引导学生欣赏y=sinx,xeR的图像（尸sinx的图像叫

做正弦曲线）

让学生切身体会到其波澜起伏、连绵不断、特别优美（轴对称、

中心对称）的特点。

（教师用物理器材演示正弦曲线的动中有静之美，这种美在蛇舞

中的应用）

思考1:如何作正弦函数图像？（作函数图像的基本方法：关键

点法）。

练习：用五点法作下列函数的简图

1>y=l+sinxx£[0,2n]

2、y=sin（x+x£[0,2冗]

（学生作图后，教师引导用平移变换作图）

思考2：如何作函数y=cosx的图像？

活动7、请同学们观察正、余弦函数图像的异同（鼓励学生用自

己的语言表达）

欣赏：用函数作图器在同一直角坐标系上作正、余弦函数图像让

学生欣赏（像DNA链条）

练习：作函数y=-cosxxG[0,2冗]的图像

师：艾滨浩斯的遗忘曲线揭示了人类的遗忘规律。正、余弦函数

图像揭示的是人类或自然界的何种规律？日后，我们将继续探索。（设

置教学悬念）

四、学习小结

请学生谈谈本节课的收获。

五、作业

分别用五点法和平移变换作下列函数的图像

1>y=l-sinx,x£[-2n,2冗]

2、y=cos（x+n）,x£[-n,3n]

活动内容

请同学们作锐角正弦函数产sinx,xe［0,-］的图像

活

动X071717C71

~6~4

T2

y

请同学6作y=sinx,x6[0,28]的图像

X02不3八44648不9万10乃7114万15乃16乃18万20兀2br22JT

IT12~\2~n~V2~12~[2~n~V2~V2~\2~\2~\2为

活

0也_V3

y&在1正0_J2一走-4一也0

动222222~22222~2

请同学们作y=sinx,x€[2n,4n]的图像

活

动

请同学们作尸sinx,xG［一2b，0］的图像

活

动

四

请同学们作产sinx,xeR的图像

活yf

动

0x

五

用五点法作下列函数的简图：

X07C713/r

1>y=l+sinxxG[0,2n]2T

▲

练yy

习oX

X

TC

2、y=sin(x+—)xE[0,2n]y010-10

A

.y

)

练作函数y=-cosxxE[0,2JT]的图像

•yA•

习---------------------------------------------------------------------------->

0X

分别用五点法和平移变换作下列函数的图像

3、y=l-sinxxE[0,2兀]

YA

0x

作

4、y=cos(x+n)，[-冗

Ti

业y=sinxy=cosx本节课收获

定义域

最大值

最小值

值域

奇偶性

单调区间

对称轴

对称中心

六、课后反思:

2009年4月10日上午，我在高一（1）班上了一节《正弦函数、

余弦函数的图象》公开课。在这之前，我先后在校内公开课初、复赛

中讲解了《几何概型》、《同角三角函数关系（1）》两个课题。在

此过程中，通过数学组的集体评课，我获益匪浅，清楚了自己的优、

劣势以及改进方向。比如，对学情的把握，师生的互动，对细节方面

的处理，过渡性语言的设计，等等。总体而言，这是两节令我满意的

课，在课堂教学有效性方面对我的启迪很大，为我参加区公开课比赛

奠定了基础。

然而，这次区公开课的准备过程并没有我想象的那样顺利。首先,

三角函数这部分内容知识点较为琐碎，对学生的要求较高，而我们的

学情是学生基础差，底子薄，理解、计算能力不强；其次，涉及到作

图问题，我们的学生动手能力和积极性都很差。这两方面都给我教学

环节的设计和教学语言的组织带来了困难。如何提升他们的学习兴

趣，科学有效地引导他们，使他们“听得懂，学得会”，是我面临的

最大问题。

为了上好这节课，我在集体备课时进行说课，请大家批评指正，

并在我的另一个班级先试讲再与老师们充分交流，最后确定了这堂公

开课的主线：充分利用图形讲清正弦、余弦曲线的特性，认真梳理好

讲解的顺序（包括推导步骤和图象、简图的画法安排），通过一定的

训练使学生正确了解有关概念和图象特点。

自我感觉这节课的亮点有以下儿个方面：

1、整堂课的教学设计体现了充分备学生的特点。根据我校平行班

学生数学基础比较薄弱的实际情况，对偏难繁杂的内容大胆地删减，

如：利用正弦线作图的方法，将函数性质留待下节课讲解等等，使得

教学难度适中，真正做到了因材施教。

2、数学总是要在游戏中学习的，本课采用计算机绘图来增加学生

的新鲜感，充分调动起学生的学习兴趣。在这四十分钟里，我先后采

用让学生在电子白版上作图、利用计算机技术绘图、学生上台板演及

用投影仪展示学生的典型错误等丰富多彩的手段，使学生积极而充分

地参与到课堂活动中来，符合新课改的理念。

3、在处理教材上，我先让学生在函数丫=5：1悭h£[0,2冗]的图象

上直接找和读关键点的坐标，从而直观感知正弦曲线，再结合特殊角

的三角函数值、诱导公式及简单的图象变换等旧知，让学生来探索余

弦曲线及其作图方法。这种由特殊到一般，由结论到实例的直线型思

维模式，一反数学的严格推理论证模式，由浅入深，使我们的学生在

思维上易于理解与接受。

4、板书设计工整，善于运用多媒体辅助教学；普通话标准，教态

自然大方，有较好的教学基本功。

尽管公开课上得比较顺利，但并没有达到最好的效果，主要存在

以下儿个方面的不足，需要我认真反思，并在今后不断努力改进：

1、在重点知识的强调上稍快，给学生的思考和发挥的空间不足。

比如开头讲函数y=sinx,x£[0,2n]的图象时，给学生寻找关键点的

时间不够长；应当多让他们去领悟“五点作图法”的思维过程，而且

可以用小组讨论的方法调动他们去想问题，这样才能使他们对知识的

理解更为深刻。

2、时间安排上不够精当。在“师生探索”中给学生作正弦曲线的

时间过长，而“学生活动”中给学生作余弦曲线的时间又相对显得短

了点。应当反过来，这样学生才能有充分的独立思考时间；同时也可

避免“变式练习”讲解时间不够和拖堂两分钟的遗憾。

好在我从之前的试讲中汲取教训，考虑到每个班接受能力不同，

实际情况可能有变，老师讲多讲少必须根据课堂情况随机应变。所以

我补充了一道变式题：“用五点法作y=2cosx的简图”备用。虽然这

节课没用上，但也可作为一道不错的思考题，给学生留下了回味的空

间。

3、教学语言还需要不断锤炼。数学这一门严谨的学科决定了老师

的语言必须精确到位，不能含糊其辞，因为它对学生的逻辑思维起着

潜移默化的影响。比如，我在描述直角坐标系的作法时，说：“作

[0,2兀]区间上的图象时，x轴左边可取短一点，右边可取长一点”。

规范的语言应当是：“x轴负半轴画短一点，x轴正半轴画长一点”。

在校级比赛时也出现过类似问题，我当时曾把“区间长度”说成“横

坐标长度”。这些细节方面都需要严格把关，平时要反复琢磨。因为

说到底，教师是要靠语言艺术去感染学生的。

4、板书需要提高。教师的魅力不仅仅是借助口头语言展示出来，

摆在学生面前的板书也是重要的一环。优秀的教师，粉笔字潇洒大方,

作图时一气呵成，让学生赏心悦目，叹为观止。而我虽然经过半年多

的锻炼，板书设计上工整了许多，但字体不够美观，作图时擦擦改改,

因此这方面还需多下功夫去练习。

教育人生的精彩源于课堂，新课改也对教师提出了越来越高的要

求。面对过去自己经历过的刻板、死气、严肃的灌输式教育法，现在

更提倡多给学生一点爱，让学生积极地参与到课堂活动中来；同时老

师要做有效课堂的引导者，不断优化教学策略，体现良好的示范作用。

作为一名教龄不足一年的年轻教师，我肩负着崇高的使命。必须不断

学习，不断改进和超越自己，才能赢得学生的喜爱和社会的认可。这

段时间的公开课提供给了我非常好的打磨和展示自我的平台，我会以

此为契机，在平日的教学实践中不断思考和创新，争取早日脱胎换骨,

成为一名成熟并且优秀的数学教师！

正弦、余弦函数的性质--周期性

一、教材分析

1、教材的地位和作用

对三角函数又一深入探讨.正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，

是研究三角函数的其它性质的基础，是函数性质的重要补充.通过本课的学习不仅能进一步

培养学生的数形结合能力、推理论证能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这

些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础.所以本课既

是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用.

2、教学重点和难点

重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性.

难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期.

二、目标分析

学情分析：

学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上

已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、

特殊到一般等数学思想.

本课的教学目标：

（一）知识与技能

1.理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性.

2.会求一些简单三角函数的周期.

（二）过程与方法

从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与

尸sinx图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数片sinx

的周期性，通过类比研究余弦函数y=c。sx的周期性.

（三）情感、态度与价值观

让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学

生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力.

三、教法分析

1.教学方法:引导发现法、探索讨论法

为了把发现创造的机会还给学生,把成功的体验让给学生,为了立足于学生思维发展,着

力于知识建构，就必须让学生有观察、动手、表达、交流、表现的机会;为了激发学生学习的

积极性和创造性,分享到探索知识的方法和乐趣，使数学教学成为再发现,再创造的过程.

2.学法指导：问题探究法

根据课程标准“倡导积极主动，勇于探索的学习方式”理念，教材内容的特点以及学生

的知识、能力、情感等因素，本节课宜采用问题探究法.

3.教学手段：借助多媒体辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性.

四、教学过程

教学程序教学内容设计意图

创从实际问题引入，使学生了

设生活中有哪些周而复始现象？解数学来源于生活.

问问题的提出为学生的思

题学生举例维提供强大动力,激发学生的探

情究欲望.

境

引导学生回顾旧知为新课做

复引导学生回顾：准备.

习1.诱导公式(--)通过动画演示让学生直观感

回2.正弦线知周而复始的变化规律.

顾3.利用正弦线画正弦函数图象(动画演示)

由动画演示观察可得：

正弦函数图象具有周而复始的变化规律

问题：图象具有周而复始的变化规律如何用数学表达式来

表达？

正弦函数尸sinx图象

通过对正弦函数尸sinx图

象观察、分析，结合诱导公式,

在区间［0,2句、［2万,4句、［4］,6乃］…内重复.

构由生活中的周期现象到数学中

建由三角函数图象和诱导公式可得：sin(2K+x)=sinx,的周期现象，山具体到抽象，构

周问：对于sin(2灾+x)=sinx,若记f(x)=sinx,则对于任意建出周期函数的定义，这样设计

期xeR,都有f()=f()主要是立足于从学生的最近思

函若记f(x)=sinx,则对于任意xGR,都有f(x+2n)=f(x)维区入手，着力于知识建构，培

数养学生观察、分析和抽象概括能

士周期函数及周期的定义

定力，并进一步渗透数形结合思想

义周期函数定义如下：一般地，对于函数f(x),如方法.

果存在一个非零的常数T,使得定义域内的每一个x值,

都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,

非零常数T叫做这个函数的周期.

设计意图

教学内容

教学程序

函数尸sinx的周期：2乃、4不、6兀、让学生理解最小正周期的

正弦函数的周2km(kwz且kWO).定义，培养学生的数形结合能

VA最小正周期的概念.

期和最小正周力.

期的定义.对于一个函数f(x),如果它所有的周期中存在一个最

小的正数，那么这个最小正数叫的最小正周期.

上面的函数产sinx的最小正周期为2乃.

判断题：

1-因为sin(工+工)=sin工，所以巳是y=sinx的周期.

4242

设计判断题让学生去讨论

2.周期函数的周期唯一.

理主要是为了帮助学生正确理解

3.函数f(x)=5是周期函数.

解周期函数概念,防止学生以偏概

(分四人一组进行讨论,再由学生发表看法)

周全，让学生学会怎样学习概念；

体会：

期培养学生透过现象看本质的能

1.周期的定义是对定义域中的每一个％值来说的，只有

函力，使学生养成细致、全面地考

个别的X值满足：f(x+T)=f(x)＞不能说T是)，=/(x)

数虑问题的思维品质.

的周期.

定让学生在自主探索、自由想

2.周期函数的周期不唯一.

义象和充分交流的过程中，不断完

3.周期函数不一定存在最小正周期.

善自己的认知结构，充分感受成

说明：今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期.

功与失败的情感体验.

问题：

探余弦函数片COSX是周期函数吗？即能否找到非零常数T,通过对定义的理解、余弦函

究使cos(T+x)=cosx成立？若是，请找出它的周期，若不数图象，类比正弦函数，可以得

余是，请说明理由.到余弦函数是周期函数,这样使

弦学生加深对定义的理解,培养学

函生类比思想和数形结合能力.

数

的

周

期

教学程序教学内容设计意图

应例L求下列函数的最小正周期T.

(1)f(x)=3sinx,xsR；

用设计例1使学生加深对定

(2)f(x)=sin2xfxeR；

义的理解,培养学生的数形结合

171

(3)f(x)=2sin(—x+—,xeR；能力.

方法：①函数图象观察得到周期②周期函数定义

1.等式sin(30°+120°)=sin300是否成立？如果这个等

课

式成立，能否说120°是正弦函数y=sinx

堂通过课堂反馈能准确、及时

的一个周期？

反地了解学生对本节课的掌握情

2.求下列函数的周期：

馈况，做到及时反馈、评价,及时查

⑴

y=cos4x,xGR漏补缺,达到堂堂清.

(2)y=cos^-x,xGR

回1.周期函数、周期概念.

顾2.函数y=sinx和函数y=cosx是周期函数，且周期均为2引导学生对所学知识进行

反小结,有利于学生对已有的知识

思3.周期的求法：①图象法②定义法结构进行编码处理,加强记忆.

4.探索问题的思想方法

课外作业：

求下列函数的周期：

JT

(1)}>=3sin—,xe/?；(2)y=sin(x+而)，xeR；

课课外作业的布置是为了进

(3)y=cos(2x+y),x&R(4)y=6sin(；x-：),xe7?

外一步巩固课堂所学知识；

作课外思考题的布置是让学

课外思考：

业生把课堂探索拓展到课外探索，

1.求函数/(x)=Asin(<yx+°)和/(x)=Acos(«yx+<p)

与进一步激发学生探究欲望，进一

(其中4,。#为常数，且4/0,0〉0)的周期.

课步培养学生创造性思维.

外

2.求下列函数的周期：

思

考(1)y=|sinx|,xeR；(2)y=\cos2x\,xsR

附：板书设计

课题：正弦、余弦函数的周期性设计意图

1.周期函数定义3.例1版演及学生演示区

2.正弦函数丫=$1政的周期为2万为了使学生全

面系统地了解本节

余弦函数y=cosx的周期为2〃,

内容的知识结构，

达到突出重点，简

洁明了的目的.

五.评价分析：

1.个别学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际

上是函数值的周而复始变化”的本质学生感到有一定困难.上课时虽然借助了几何画板来

帮助学生从形象思维过渡到抽象思维，但是还是有部分学生理解起来有困难.这方面的训

练以后要加强.

2.部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，课后要及时对他们加强

辅导.

3.学生运用定义求函数周期掌握得不是很好.上黑板板演的学生都出现了不同程度

的错误.在以后的教学中还需进•步加强.

《从位移、速度、力到向量》教学设计说明

本节课的内容是北师大版数学必修4,第二章《平面向量》的引言和第一节《从位移、

速度、力到向量》两部分，所需课时为1课时。

一、教材内容分析

向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之•，它是沟通代数、儿何与三角函数的桥

梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。向量集数与形于一身，有着极其丰富

的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理

背景，有向线段是它的几何背景。向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经

过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理

学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的。

本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用。本节内容，重要的不是向量

的形式化定义及儿个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思

路，进而提高提出问题，解决问题的能力。

二、教学目标分析

根据以上的分析，本节课的教学目标定位：

1）、知识目标

⑴通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；

⑵学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；

⑶理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。

2）、能力目标

⑴培养用联系的观点，类比的方法研究向量；

⑵获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维；

3）、情感目标

⑴运用实例，激发爱国热情；

⑵使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”；

⑶让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐。

重难点:

重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念；

难点：让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程；

三、教学诊断分析

本节是平面向量的第一堂课，属于“概念课”，概念的理解无疑是重点，也是难点。

为了帮助学生建立向量的概念，与数、形的相关概念类比与联系是值得重视的。在学生的已

有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、

单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。具体教学中，要设计一个能让学生开展

概括活动的过程，引导他们经历从具体事例中领悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得

向量概念的定义及表示，类比数的集合认识向量的集合，类比直线的基本关系认识向量的基

本关系。使学生从中体会到认识•个数学概念的基本思路，而不是停留在某个具体的概念学

习上。这也是本堂课的核心目标。

由于数学概念的高度抽象性，学生往往要费很多周折才能理解，教师应从学生的认知水

平出发，针对学生的理解困难来展开教学，保证学生参与概念本质特征的概括活动，确保学

生有自己想明白的机会和时间，这是至关重要的。

本课的教学，我们力求使学生理了解向量概念的背景和形成过程，了解为什么要引入这

个概念，怎样定义这个概念，怎样入手研究一个新的问题。因此，在教学中教师应注意从宏

观上为学生勾勒研究框架和总体思路，使学生能“抬头看路”，知道往哪里走，这是起始课

的重要任务；微观上，引导学生通过类比，有序地给出向量的定义、讨论向量的表示、定义

特殊向量、研究特殊向量的关系。在引导学生展开对向量及其相关概念的学习过程中，应强

调“让学生参与到定义概念的活动中来”，不轻易打断学生的思维和活动，恰如其分地''以

问题引导学习”，在质疑一一反思的过程中深化概念的理解，使概念的理解成为学生自己主

动思维的结果。

本课中出现的特殊向量——零向量，很多教师都会在“零向量与任意向量平行上”花太

多时间，原因是“这是考试中的一个陷阱”。这其实是对零向量的意义和作用理解不到位的

表现：首先，规定零向量与任何向量平行是完善概念系统的需要；其次，就像数零的作用在

于运算一样，零向量的作用在于运算及其表达的几何意义。因此孤立地讨论零向量与任何向

量平行没有多少意义，也不必耗费过多时间。

四、本课教学特点及预期效果分析

在学生建立向量的概念之初，与数、形的相关概念类比与联系是值得重视的。在学生的

已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相

等、单位长度、0和I的特殊性、线段的平行与共线等。因此在具体教学中，我设计了一个

能让学生开展概括活动的过程，引导他们经历从具体事例中领悟向量概念的本质特征，类比

数的概念获得向量概念的定义及表示，类比数的集合认识向量的集合，类比直线的基本关系

认识向量的基本关系。使学生从中体会到认识一个数学概念的基本思路，而不是停留在某个

具体的概念学习上。

在向量的几何表示中，我让学生大胆探索，而不是“全包全揽”，教师引导，学生补

充改进，最终明确向量几何表示的正确方法。整个过程全体同学热情参与，自我教育，互帮

互学，课堂气氛生动活泼。

当同学们能将向量正确的儿何表示时，我又适时地提出问题：大家画出的线段长短不

一，怎么解决？由此自然过渡到单位长度上，使得单位向量的引入也就顺理成章了。

为了帮助学生学习相等向量、平行（共线）向量的概念，本课设计了“传花游戏”，

通过学生之间传递花朵所产生的位移向量，让学生积极参与，仔细观察，自己概括出概念的

本质特征，将课堂气氛推向•个新的高潮。

在结束本课之前，为了让同学对向量加深印象，我让学生先欣赏一首关于向量的诗歌,

再让学生在课外动笔写出自己对向量的感受。

本节课是从现实世界的常见实例出发，以学生自主探究的教学方式为主。在课堂上，

创建了一个以全班学生共同参与的向量游戏平台，让学生在轻松愉悦的课堂环境中，共同参

与，共同讨论，共同分析，让学生自然地、水到渠成的完成本节内容的学习。整节课，我留

给学生充足的时间，让学生参与概念本质特征的概括活动过程，从而达到培养学生创新精神

和实践能力的最终目的！

《向量的加法》教学设计说明

《向量的加法》是人教版高一下第五章第二节第一课时《向量的加法》。下面，我从三个方

面来对本节课的设计进行说明：

1.教材分析

教材的地位和作用

向量是近代数学中重要和基本的数学概念，它是沟通代数、几何、三角的一种工具，其

工具作用主要体现在向量的运算方面.向量的加法运算是向量运算的基础，它在学生已学物

理知识后，以力的合成、位移的合成等物理模型为背景抽象出的一种数学运算.向量的加法

不同于数的加法，运算中包含大小与方向两个方面，向量加法的法则——画图求和法，是一

种全新的数学技术，从这个角度来看，研究向量加法是学生学习过程中的一种突破.是学习

向量的减法、数乘以及平面向量的坐标运算等内容的知识基础，为进步理解其他的数学运

算（如函数、映射、变换、矩阵的运算等等）创造了条件，因此我认为，向量的加法在这里

起着承上启下的作用。

教学目标

根据学生已有的知识结构及本节课教材的作用和地位，依据新课程标准的具体要求，我

从三方面确定本节课的教学目标：

（1）知识与技能方面：使是学生经历从实际问题抽象为数学问题的过程，掌握向量的加法

定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量加法

的运算律，并会用它们进行向量计算，养成敢高于探索勇于创新的良好习惯，以及善于用数

学方法解决实际问题的能力

（2）能力目标

在具体的分析过程中，使学生经历向量加法法则的探究和应用过程，体会数形结合、分类

讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和

创新意识。

（3）情感目标

注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学

习数学的信心。

教学重点和难点

重点：向量加法的两个法则及其应用：

难点：对向量加法定义的理解。

突破难点的关键是抓住实例，借助多媒体动画演示，不断渗透数形结合的思想，使学生从感

性认识升华到理性认识。

2.学情分析

本节内容总体来说比较简单，学生理解接受的难度也不大。学生在高一学习物理中的位移和

力等知识时，已初步了解了矢量的合成，认识了矢量与标量的区别，在生活中对位移与路程

也有了一定的体验，这为学生学习向量知识提供了实际背景。所以对数学中向量与数量的概

念是比较容易理解接受的.并能够从物理的力和位移的合成中去感受向量的加法的含义，总

结出向量加法的三角形法则和平行四边形法则.通过与数的加法的类比，学生也能够较容易

的猜想出向量加法的交换律与结合律.

学生在学习过程中会遇到的困难

山于学生对向量的理解还处于初级阶段，会有部分学生忽略零向量与数零的区别，以及

向量的表示不是很规范.有些学生对向量加法法则的运用还停留机械模仿的水平，表现在平

移向量时，不能够根据情况灵活地选择起点，特别是共线反向向量在求和向量的忖候会遇到

问题。对交换律与结合律的验证，学生也存在一定的误区，在具体操作过程中，他们往往不

能在同一个图形中来研究这个问题，这就给说明两个向量的相等带来了困难.对向量式的化

简过程中，对交换律、结合律运用不够灵活，不善于抓住向量式的特点来解决问题.我会在

在课堂教学过程中给学生以适时的点拨与提醒.

教法特点：

1.内容重组

教学的过程，不能只是对教材上知识点和结论的简单罗列与再现，而应是对教材知识的重

组，是一个再加工，再创造的过程，是把已经浓缩为结论的这•本来富有生命力的知识的

形成过程重新演绎的过程，因此在本节课中，我对教材的知识进行了重组，根据学生在己

有的平行四边形法则求合力的知识基础上，引出不共线的两个向量用平行四边形求和向

量，再让学生自己发现，对于共线向量，平行四边形法则不适用，则要用三角形法则。

2.不断探究

让学生随意画出两个向量，长度和方向由学生自己确定，然后用平行四边形法则求和向

量，此时我发现在这个过程中，有的同学画成不共起点、不平行；共起点、不平行；同向；

反向儿种情况，此时的情况刚好是我想要的。让同学们自己去黑板上展示怎样用平行四边形

法则去求它们的和向量。在此过程中，同学们不仅自己能总结出平行四边形法则的特点，还

发现：对于共线向量，此法则已经不适用了，顺势引出向量加法的定义：三角形法则。

引导学生发现平行四边形法则与三角形法则在作图时的区别，通过动画演示：两者在

求和的本质上是相同的，当向量不共线时，两种法则都适用，同时在动画演示平行四边形变

三角形的过程中，让学生发现向量加法的运算律

3.大胆创新

本节课最大的亮点就是实现让学生大胆创新。在给学生的巩固练习中，学生很顺利地完成

向量加法的运算，我通过引导让学生发现，任何一个向量都可以拆成多个向量的和向量。

以此激发学生的好奇心与求知欲。这是一个逆向思维的训练过程，并且这种思维在立体几

何里面得到加强，为学生学习以后的知识奠定了基础。

总体来说，本课围绕学生的发展进行教学设计，使问题贯穿始终，思想贯穿始终，探究

贯穿始终，联系，发展贯穿始终.学生在老师的启发下发现当前所面临的问题，成为探究活

动的主线，沿着这条主线带领学生找区别、找联系.关注学生的成长发展的全过程，使他们

在过程中形成能力，在过程中掌握方法，在过程中发展基本数学能力，在过程中培养健康向

上的情感、态度和价值观.

通过本节课教学，可使不同层次的学生都能掌握给定任意两个向量求和的基本方法，能

够视具体情况灵活地作出两个或者多个向量的和；能运用向量加法的交换律和结合律解决向

量式的化简和计算问题；并能运用向量的加法法则解决了一些实际问题

平面向量的坐标运算说课提纲

一、教材分析：

向量是现代数学中重要基本概念之一，是研究数学的重要工具，它与三角函数、复数、

平面几何、解析几何等数学内容有着密切的联系，在物理上的应用犹为显著。本节内容《平

面向量的坐标运算》又是典型的数型结合，它是用代数的方法解决几何问题。实现的是由图

形向数的转化。引入向量坐标后，向量加减法、实数与向量的乘法、向量的数量积都可以通

过向量的坐标运算得以解决。它将数与型紧密结合起来，这样很多几何问题可转化为学生熟

知的数量的运算，从而使几何问题的研究插上了代数的翅膀，解决问题更便捷，刻划问题更

深刻，教师要用向量的坐标表示的优越性，调动学生学习积极性。

本节在本章的地位：本章平面向量的第一大部分——向量及运算，按向量的表示来分,

可分为两部分：（一）向量的几何表示（有向线段），（二）向量及运算