人教版九年级（上）《圆》数学试卷二（中难度）【解析】

人教版九年级（上）《圆》数学试卷二（中难度）【解析】

参考答案与试题解析

解答题（共50小题）

1.如图，ZVIBC内接于O。，NB=60°,CD是。。的直径，点P是CD延长线上的一点

S.AP=AC.

（1）求证：力是。。的切线；

（2）若8c=4,求。。的半径.

【解答】(1)证明：连接。4,

；NB=60°,

.•.NAOC=2NB=120°,

又；O4=OC,

：.ZOAC=ZOCA=30°,

又：AP=AC,

：.ZP=ZACP-=3O°,

：.ZOAP=ZAOC-ZP=90°,

J.OAA-PA,

以是。。的切线；

(2)解：过点C作CE1_4B于点E.

在RtZ\BCE中，ZB=60°,BC=4,

：.BE^^BC=2,CE=2«,

VAB=2+A/15，

：.AE=AB-BE=77^，

在Rt/\ACE中，AC=yjg2=3,\/3,

；.AP=4C=3«.

在Rt^ai。中，oa=2AP=m巨,

22

，。。的半径为三返.

2

2.如图，△ABC是。0的内接三角形，8c是。。的直径，过点。作。尸，BC,交4c于点

E,连接AF,且AF是。。的切线.

(1)求证：AF=EF.

(2)若。0的半径为5,AB=Ji5，求AF的长.

【解答】解：(1)如图，连接04

尸为的切线,

：.ZOAF=90Q,

.•.NOAC+/M7=90°,

•：4FEA=N0EC,OFIBC,

:.NOEC+NOCE=90°,

,：ZOCE=ZOAC,

：.ZFAC=ZFEAf

：.AF=EF；

(2)・・・。0的半径为5,

ABC=10,

在RtZi45C中，AB=再,根据勾股定理，得

AC=JBC2_AB2=36,

'：ZECO=ZBCA,ZEOC=ZCAB=90Q,

AAEOC^ABAC,

・OE=OCgpOE__5

,*ABAC'VlQ3V13，

解得OE=$,

3

由(1)可知：AF=EF,设4F=EF=x,

OF=EF+OE^x+^~,

3

在Rt/^4。尸中，根据勾股定理，得

A产+042=0产，

即/+52=(JC+—)2,

3

解得x=2^.

3

答：A尸的长为空.

3

3.如图，A3为。O的直径，C,。为00上的两点，ZBAC^ADAC,过点C做直线EF

LAD,交AO的延长线于点E,连接8c.

(1)求证：EF是。。的切线；

(2)若/8AC=ND4C=30°,BC=2,求劣弧前的长/.

【解答】(1)证明：连接0C,

・.,OA=OC,

：.ZOAC=ZDAC,

：.ZDAC=ZOCA,

：.AD//OC,

VZAEC=90°,

：.ZOCF=ZAEC=W°,

・・・EF是。。的切线；

(2)解：TAB为OO的直径，

AZACB=90°,

9：ZBAC=ZDAC=30°,BC=2,

：.ZBOC=60°,A8=28C=4,

・・.O3=』A3=2,

2

...前的长=6°•兀X2=2。

1803

4.如图所示，A8是。。的直径，AO和BC分别切。。于4,8两点，CZ)与。。有公共点

E,且AD=OE.

(1)求证：CQ是。。的切线；

(2)若48=12,2c=4,求AO的长.

【解答】(1)证明：连接O£),OE,

；A£＞切OO于A点，A8是。。的直径,

：.ZDAB=90°,

"：AD=DE,OA=OE,OD=OD,

：.^ADO^/XEDOCSSS),

.•./OED=/OAO=90°,

.♦•CD是。。的切线；

(2)解：过C作于”，

是。。的直径，A。和BC分别切。0于A,B两点,

AZDAB=^ZABC^ZCHA=90°,

四边形ABC”是矩形，

：.CH=AB=\2,AH=BC=4,

•••CD是。。的切线，

：.AD=DE,CE=BC,

：.DH=AD-BC=AD-4,CD=AD+4,

'：CH2+DH2=CD2,

：.122+(AD-4)2=(AD+4)2,

：.AD=9.

5.如图，直线/与00相离，。4，/于点A,与。0相交于点P,04=10.C是直线/上一

点，连结CP并延长交00于另一点B,且AB=AC.

(1)求证：AB是。。的切线；

(2)若。。的半径为6,求线段BP的长.

【解答】(1)证明：如图，连结。8,则0P=0B,

/.Z0BP=ZOPB=/CB4,

AB=AC,

：.ZACB=ZABC,

而。4_U,即NOAC=90°,

AZACB+ZCPA=90a,

即NA8P+NOBP=90°,

.•.NA8O=90°,

OBLAB,

故AB是。。的切线；

(2)解：由(1)矢口：NABO=90°,

而OA=10,0B=0P—6,

由勾股定理，得：AB=8,

过。作ODSB于D,则PD=DB,

'：ZOPD=ZCPA,ZODP=ZCAP=90°,

:.△ODPs/\c\p,

•..PDOP,

PACP

又；4C=AB=8,AP=OA-OP=4,

•"C=、AC2+AP2=4泥,

6.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点。，交8c于F.

(1)若/ABC=40°,ZC=80°,求NCBQ的度数；

(2)求证：DB=DE；

(3)若4B=6,AC=4,BC=5,求力E的长.

A

D

【解答】解：⑴VZABC=40°,ZC=80°,

ZBAC=180°-40°-80°=60,

,・•点E是△ABC的内心,

：.ZCAD=ZBAD=^-/BAC=30°

2

：.ZCBD=ZCAD=30°.

答：NCB。的度数为30°；

(2)证明：如图，连接5，

AZ1=Z2,Z3=Z4,

;Z2=Z6,

AZ1=Z6,

VZ5=Z1+Z3,

ZDBE=Z6+Z4=Z1+Z3,

・•・N5=NDBE,

：.DB=DE；

(3)VZ1=Z2,45=6,AC=4fBC=5,

.ABBF2

"AC=CF=T

：.BF=3,CF=2,

VZ6=Z2,ZD=ZC,

:•△BDFs^ACF,

.BD=AC=J4=2BF=DF

**DFCF~2'AFCF"

j.DF^^BD,

2

DF・AF=BF*CF=6,

VZ1=Z2=Z6,NBDF=NADB,

.BD=DF

"DA而，

:.BD2=DF'DA=DF（AF+DF）=DF・AF+DF2=6+（Ago2,

2

解得BD=2近,

：.DE=BD=2\f2.

答：DE的长为2&.

7.如图①，A8为。。的直径，点C在OO上，AO平分/C4B,AD与BC交于点F,过点

D作DELAB于点E.

(2)如图②，连接。凡若N4FO=45°,半径为2时，求AC的长.

【解答】(1)证明：如图①中，延长。E交。。于G,连接AG.

BD=BG，DE=EG,

TAD平分NC48,

：.ZCAD=ZDABf

，而=俞,

ABC=DG，

：.BC=DG=2DE.

(2)解：如图②中，作尸RJ_48于R,OSJ_AO于S.

•・,AZ)平分NC4B,FC±AC,FR上AB,

：.ZCAD=ZBAD=x,FC=FR,

：.ZFBO=90°-2x,

VZAFO=45°,

・・・NFOB=450+x,

AZOFB=180°-(90°-2x)-(45°+x)=45°+x,

：.ZFOB=ZOFB

:.BF=BO=OA,

•；NFRB=NACB=90°,/FBR=NABC,

:.△BFRs^BAC,

.FB=FR=_1

**ABAC2，

：.AC=2FR=2FCf

AtanZE4/?=tanZE4C=—,

2

设SO=tfAS=2f,SF=SO=t,

则?+4?=4,

•»o,

.2遥

5_

.,.AF=3f=-^豆，设CF=〃i,则AC=2〃?，

5

则有5/M2=—,

5

'：m>0,

5

.•.AC=2,〃=丝.

5

8.如图，在aABC中，ZC=90°,NBAC的平分线交BC于点O,点。在AB上，以点。

为圆心，0A为半径的圆恰好经过点£>,分别交AC、AB于点E.F.

(1)试判断直线8c与。0的位置关系，并说明理由；

(2)若BD=2疾,BF=2,求。0的半径.

【解答】解：(1)线3c与。。的位置关系是相切,

理由是：连接0D,

"：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

；AZ)平分NC4B,

：.ZOAD=ZCAD,

：.ZODA=ZCAD,

：.OD//AC,

；NC=90°,

：.ZODB=90a,即。。_LBC,

为半径，

...线BC与。。的位置关系是相切;

(2)设。。的半径为R,

则0D=0F=R,

在RtZ\B£>0中，由勾股定理得：OB2=BE>2+OD2

即(R+2)2=(2旄)2+/?2,

解得：R=4,

即O。的半径是4.

9.如图，在四边形ABC。中，A£>〃BC,ADLCD,AC=AB,。。为△ABC的外接圆.

(1)如图1,求证：AD是。0的切线；

(2)如图2,CD交。。于点E,过点A作AGLBE,垂足为F,交BC于点G.若A。

=2,C£>=3,求G/的长.

图1图2

【解答】(1)证明：如图1,连接。4,OB,0C.

图1

在△OAC和△OAB中,

，AC=AB

<0A=0A,

OC=OB

.♦.△OAg/XOAB(555),

：.ZOAC=ZOAB,

，AO平分/BAC,

J.AOLBC.

又；A£)〃8C,

：.ADLAO,

.••AQ是。。的切线.

(2)如图2,连接AE.

图2

VZBCE=90°,

AZBAE=90°.

又・；AFLBE,

：.ZAFB=90°.

NBAG+NEAF=ZAEB+ZEAF=90°,

：./BAG=NAEB.

"：ZABC=ZACB=NAEB,

：.ZBAG^ZABC,

：.AG=BG.

在△4£>(:和△AFB中，

'NADC=AFB=90°

<ZACD=ZABF>

AC=AB

A(AAS),

：.AF=AD=2,BF=CD=3.

设FG=x,在RtZXBFG中，FG=x,BF=3,BG=AG=x+2,

：.FG2+BF2=BG2,即7+32=(x+2)2,

;.x=5,

4

4

10.如图，己知点A、C、。在00上，OO的半径为2,CD为。。的直径，直线AB〃CD

且N4DC=60°,将线段AD绕点A逆时针旋转得到线段AF,点。的对应点为点尸，且

点F在射线AB上，连接下C；

(1)求线段AF的长；

(2)若点E是冠上的一点，连接EF,DE,过点尸作于H,延长FH交。。

'：OA=OD,400=60°,

/\AOD是等边三角形，

AZA0D=6Qa,AO=OA,

,JAB//CD,

...NOAT=/AOO=60°,

'：OA=OT,

...△Aor是等边三角形，

：.AT=OA=AD,

'：AD=AF,

...点F与T重合,

：.AT=AD=OA=2.

(2)连接OE,EG,过点。作。KJ_E尸于K.

YOKtEF,

：.EK=KF=yf2>

0/C=VOE2-EK2=V22-(V2)2=^

：.KO=KE=KF,

:.NEOF=90°,

/.Z£GF=AZEOF=45°,

2

•；DELFG,

，NEGH=90°,

：.HE=HG,

VZDOF=ZAOD+ZAOF=60°+60°=120°,

/.ZDEF=AZDOF=60°,

2

在RtZXEF”中，EH=EF・cos60°"/=E尸・sin60°=近,

,:HG=HE=®,

：.FG=FH+HG=心叵

11.如图，。为o。上一点，点C在直径BA的延长线上，NCDA=NCBD.

(1)求证：C£>是。。的切线；

(2)若/CBZ)=30。，BC=3,求。。半径.

【解答】解：(1)证明：如图，连接0£>,

c-"I

'：OD=OB=OA,

：.ZOBD=ZODB,ZODA=ZOAD,

■:乙CDA=4CBD,

：.ZCDA=ZODB.

为。。的直径，

；.NADB=NODB+/ODA=90°,

.•.NCD4+NOD4=/O£)C=90°.

：.ODLCD,

二CO是。。的切线；

(2)VZCBD=30°,NOBD=NODB,

：.ZAOD^ZOBD+ZODB^60Q,

AZC=30°.

VZ(9DC=90°.

OO=OB=」OC,

2

3

；BC=3,

.•.08=1,

,。。半径为1.

12.如图，在△ABC中，AB=CB,AB是。。的直径，。为。0上一点，且弧4。=弧8。,

直线/经过点C、D,连接A£),交BC于点E,若NCAC=NCBA.

(1)求证：直线/是。。的切线；

(2)求型的值.

EB

cD

E

【解答】解：（1）如图1,连接B。，连接。£>,过点C作CFLAB于点F,

图1

；AD=BD，

：.ZDAB=ZABD,

为。。的直径，

:.NADB=90°,

：.ZDAB=ZDBA=45°,

设NA8C=a,

\"BA=BC,

：.ZBAC=ZBCA=~,

2

"：ZCAD=ZCBA=a,

：.ZBAC=ZBAD+ZCAD=450+a,

,.a=30°,

*-CF=1BC-|AE»

•'OD-|AB>

,.OD=CF,

.,AD=BD>

：.AD=BD,

'：OA=OB,

J.0D1AB,

'CDPLAB,

J.CF//OD

，四边形OZJCF是矩形，

.•.NOZ)C=90°,

...直线/是。。的切线；

(2)如图2,过点E作EGLAB于点G,

由(1)知，ZCAD=ZABE=30a,CD//AB,

.•./AZ)C=NE4B=45°,

则△AC0S/\BE4,

.CDAD加

••——f

EABA2

：.AE=yf2CD,

；NOA8=45°、NABC=30°,

:.BE=2EG=2X*AE=y[^E=&X亚CD=2C£),

.CD1

••二—.

BE2

13.如图，AB为。。的直径，C、。为圆上的两点，OCHBD,弦AO与BC,OC分别交于

E、F.

(1)求证：AC=CD；

(2)若CE=1,EB=3,求。。的半径.

D

c

【解答】(1)证明：・・,A3是圆的直径，

・・・NADB=90°,

'/OC//BD,

・・・/”。=乙4。8=90°,

:.OC±AD

AC=CD.

(2)解：连接4C,如图，

VAC=CD.

：.ZCAD=ZABC,

•・・NECA=NAC8,

・・・AACE^ABCA,

•・•AC——_―CE_,

BCAC

：.AC2^CE-CB,即AC2=1X(1+3),

：.AC=2,

是圆的直径，

AZACB=90°,

•*-AB=VAC2+BC2=V22+42=2^T

...o。的半径为遥.

D

14.如图，已知OO是等边三角形ABC的外接圆，点。在圆上，在CO的延长线上有一点

F,使。F=D4,AE//BC交CF于E.

(1)求证：E4是。。的切线；

(2)判断80与CF的数量关系？说明理由.

【解答】解：(1)证明：如图，连接A。,

C------DEF

VOO是等边三角形ABC的外接圆,

；.A0平分NBAC,

•■•ZOAC=yZBAC=30°，

,JAE//BC,

：.ZCAE^ZBCA=60°,

.,.NO4E=/OAC+NCAE=90°,

：.OALAE,

.•.EA为。。的切线；

(2)BD=CF,理由如下：

:△ABC为正三角形，

：.AB=AC,ZBAC=ZABC=60°；

：A、B、C、。四边共圆，

.•.N4£)F=NABC=60°,

"：DF=DA,

.•.△AQF为正三角形，

：.ZDAF=60°=ABAC,

：.ZBAC+ZCAD^ZDAF+ZCAD,

即NB4O=NCAF,

在ABAD与△CA尸中，

'BA=CA

<ZBAD=ZCAF-

AD=AF

：./\BAD^/^CAF(SAS),

：.BD=CF.

所以BD与CF的数量关系为相等.

15.如图，C。为。0的直径，弦A8_LCD,垂足为H,P是C£>延长线上一点，DEA.AP,

垂足为E,ZEAD=ZHAD.

(1)求证：AE为。0的切线；

(2)已知m=2,PD=1,求。0的半径和DE的长.

【解答】解：(1)证明：连接A。并延长交于点M,连接MD,如图,

tJABLCD,

,俞=俞,

：.ZM=ZBADf

a：ZEAD=ZHAD.

/.ZM=ZEAD,

YAM为直径，

AZADM=90°,

.\ZM+ZMAD=90°,

・・.NE4Q+NMAO=90°,即/M4E=90°,

：.AM±AEf

・・・AE为。。的切线；

(2)

•：4EAD=4HAD,DH1AH,DELAE,AD=ADf

:.XAHDmXAED(AAS)

:.DE=DH,AH=AEf

设QE=JGAH=yf则AE=y,

■:4EPD=4HPA,ZPED=ZPHA=90°,

.・・RtAPED^RtAPHA,

•DE=PE=PD

**AHPHPA，

即三=2-y=工,

y1+x2

，解得x=3,y=2，

55

即。E的长为3,A”=旦，

55

设圆的半径为r,则OH=r-3,

5

在RtZXOAH中，(r-3)2+(2)2=凡解得厂=&_,

552

即。。的半径为3.

2

答：。0的半轻和OE的长分别为：-|,

16.如图，在△ABC中，AB=AC,AE是BC边上的高，8M平分NABC交AE于点M,经

过B,M两点的。0交BC于点G,交AB于点凡FB为。。的直径.

(1)求证：AM是。。的切线；

(2)当BC=10,AE=12时，求AM的长度.

【解答】(1)证明：连接。

,：OB=OM,

又BM平分44BC交AE于点M,

：.Z1=Z2,

；.N2=/3,

：.OM//BE.

'：AB=AC,AE是角平分线，

J.AELBC,

OMLAE,

与。。相切；

(2)-：AB=AC,AE是BC边上的高，

：.BE^—BC=5,

2

,当BC=10,AE=\2,

/Mfi=VBE2+AE2=V122+52=13,

•：OM〃BE,

.皎=幽=型

"ABAE茁

•13-QB_AM_OB

♦-13-12~5

解得：AM=空.

延长线于点Q,E为CO上一点，KBE=DE.

(1)证明：BE为的切线；

【解答】(1)证明：；CD_LAC,

/.ZACD=90°,

AZA+ZD=90°,

"：AC=BC,BE=DE,

：.ZA^ZABC,ND=NDBE,

：.ZABC+ZDBE^9O0,

AZCB£=180°-90°=90°,

J.CBLBE,

.♦.BE为。。的切线：

(2)解：连接BM,

为。。的直径，

：.BM±AC,

*•*AM=S9AB=Syf^f

\*AC=BC,

:.CM=BC-AM=BC-S9

VBC2=BM2+CM2,

ABC2=I62+(BC-8)2,

ABC=20,

：.AC=BC=20f

VBM1AC,AC±CD,

J.BM//CD,

：.ZMBC=ZBCEf

VZBMC=ZCBM=90°,

:•丛BMCs丛CBE,

•・•—CM二.B.M,

BEBC

・12=16

"BE20"

：.BE=\5.

18.如图，AABC中，AB=AC,以A8为直径的。0交3c于点。，作QELAC于点£

(1)求证：DE与。0相切；

(2)若BD=2烟,AE=1,求。。的半径.

【解答】(1)证明：连接0£>,如图,

*：AB=ACf

：.ZB=ZC,

;OB=OD,

:,/B=/ODB,

："ODB=/C,

JOD//AC,

9：DELAC,

：.0D1.DE,

・・・OE为。。的切线；

(2)・・・AB是OO的直径,

：.ADLBCf

*：AB=AC,

:.CD=BD=2娓,

DELAC,

：.NADC=NDEC,

又,.・NC=NC,

：./\CDE^/\CAD,

.CD=CE

ACCD，

・2V5.AC-1

•F-南'

：.AC=5,

19.如图，以△ABC的边AC为直径的O。恰好为△ABC的外接圆，NA8C的平分线交。。

于点。，过点。作。后〃AC交BC的延长线于点E.

(1)求证：OE是。。的切线；

(2)若AB=4,BC=2,求。E的长.

【解答】(1)证明：连接O。,

：AC是OO的直径，

/.ZABC=90°,

•.•BZ)平分NABC,

；.乙48。=45°,

：.ZAOD=90Q,

"：DE//AC,

...NOOE=NAOO=90°,

是。。的切线；

(2)解：在RtZkABC中，A8=4,BC=2,

，AC=N/+/=2娓'

：.0口=娓,

过点C作CG_LDE,垂足为G,

则四边形。QGC为正方形，

**•DG=CG=OD—

♦：DE〃AC,

：・NCEG=/ACB,

tanZCEG=tanNACB,

・CG_ABgp=4

**GE-BC，'福一T

解得：GE=返，

2

DE=DG+GE=^&.

20.如图，AB是。。的直径，点E是定的中点，C4与。。相切于点A交8E延长于点C,

过点A作ADLOC于点凡交。。于点。，交8c于点。，连接BD.

(1)求证：BD=AF；

：.ZADB=90°,

•・•点七是弧AB的中点，

AZABE=45°,

TCA与。0相切于点A,

：.ZBAC=90°,

：.AB=AC,

•・・A£>_LOC于点F,

AZAFC=ZADB=90°,

'：ZFAC+ZBAD=90°,ZFAC+ZACF=90°,

:./BAD=/ACF.

在△A8O和产中

zZADB=ZCFA

,ZBAD=ZACF

AB=CA

:•△AB哈△C4/7(A4S),

：.BD=AF.

(2)解：'：BD=2,

：.AF=BD^2,

：AD_LOC于点F,

：.AD=^2AF=4=CF,

在中，^=^22+42=275-

在RtZ^ABC中，BC=V^48=2VT5，

VZAFC^ZADB^90Q,NFQC=NDQB,

：.XBDQsXCFQ,

.FCCQ42

••'一"~二,

BDBQ21

：.CQ=2BQ,

2

3^----

21.如图，四边形ABC力内接于圆，NABC=60°,对角线B。平分N4OC.

(1)求证：△ABC是等边三角形；

(2)过点3作2E〃CZ)交OA的延长线于点E,若A£>=2,DC=3,求△8OE的面积.

E

【解答】(1)证明：•••四边形ABCO内接于圆.

AZABC+ZADC=ISO°,

;NA8c=60°,

/.ZADC=nO°,

平分NAOC,

AZADB=ZCDB=60Q,

.•./ACB=/A£>8=60°,/BAC=NCDB=6Q°,

/A8C=ZBCA^ZBAC,

/\ABC是等边三角形.

(2)过点A作AMJ_C£>,垂足为点“，过点B作8NLAC,垂足为点M

AZAMD=9Q°,

VZADC=12O°,

AZADM=60°,

二/D4M=30°,

'.DM=-^AD=1,AM={AD?-DM2=422-12=V§,

'：CD=3,

：.CM=CD+DM=1+3=4,

：.S^ACD=—CD'AM=—X3XM=3愿,

222

RtZ\AMC中，ZAMD=90°,

•*-AC=7AM2-HCM2=V3+16=V79'

•.'△ABC是等边三角形，

：.AB=BC=AC=-^,

:.BN=®BC=^~,

22_

...S△板=/x|x年=乎,

・・・四边形ABCD的面积=里3+当巨=工且3,

424

*：BE//CD,

AZE+ZADC=180°,

VZADC=120°,

AZ£=60o,

:"E=/BDC,

•・,四边形ABC。内接于。0,

NEAB=/BCD,

在△EAB和△QCB中，

rZE=ZBDC

-ZEAB=ZDCB>

AB=BC

:./\EAB/ADCB(AAS),

・・・4BDE的面积=四边形ABCD的面积=

22.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,点。是8C上一点，以BO为直径的。。过点A,

连接AD,ZCAD=ZC.

(1)求证：AC是OO的切线；

(2)若AC=4,求00的半径.

【解答】(1)证明：如图：连接OA,

♦：OA=OB,

：.ZOBA=ZOAB,

9：AB=AC,

・・・NO8A=NC,

：.ZOAB=ZCf

•：/CAD=/C,

：.ZOAB=ZCAD,

•IB。是直径，

：.ZBAD=90°,

9：ZOAC=ZBAD-ZOAB+ZCAD=90°,

是。。的切线;

(2)解：由(1)可知AC是。。的切线，

：.ZOAC=90°,NA0D=2/B,

'：AB=AC,

.,.ZB=ZC,

：.ZAOC+ZC=2ZB+ZC=3ZC=90°,

，/B=/C=30°,

在RtZVlBD中，BD=-@-=------=-^-

_cosBcos303

3_

，。。的半径为士西.

3

23.如图，在△4BC中，NB=90°,点。为4c上一点，以CD为直径的。。交AB于点

E,连接CE,且CE平分/ACB.

(1)求证：AE是。。的切线；

(2)连接。E,若NA=30°,求些.

DE

【解答】(1)证明：连接0E,如图1所示:

；CE平分乙4c8,

ZACE=ZBCE,

又；OE=OC,

：.NACE=NOEC,

，NBCE=NOEC,

C.OE//BC,

NAEO=ZB,

又,.,NB=90°,

AZAEO=90°,

即OEA.AE,

；0E为。。的半径，

是。。的切线；

(2)解：连接OE,如图2所示：

是。。的直径，

：.ZDEC^90°,

二NDEC=NB,

又；NDCE=NECB,

:./XDCES&ECB,

.BE=CE

"DECD"

：NA=30°,NB=90°,

：.ZACB=60a,

ZDCE^AZACB=—X600=30。

22

—=cosZDCE=cos30°=返，

CD2

•些=返

"DE~2~'

c

------------F~B

图1

24.如图，在aABC中，以AB为直径的(DO交AC于点M,弦MN〃8c交A8于点E,且

ME=3,AE=4,AM=5.

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)求。。的直径AB的长度.

【解答】(1)证明：I•在△AME中，ME=3,A£=4,AM=5,

:.AM2=ME1+AE2,

...△AME是直角三角形，

...NAEM=90°,

又,：MN//BC,

：.ZABC^ZAEM=90a,

J.AB1BC,

,：AB为直径，

；.BC是(DO的切线；

(2)解：连接。M,如图，设。。的半径是r,

在RtZXOEM中，OE=AE-OA=4-r,ME=3,OM=r,

；OM2=ME^+O彦,

'.^—32+(4-r)2,

解得：r=空，

8

，AB=2r=空.

4

25.如图，48是的直径，点。在直径A8上(。与A,B不重合)，CDLAB,且CD=

AB,连接CB,与。。交于点F,在CQ上取一点E,使EF=EC.

(1)求证：EF是。0的切线；

(2)若。是。4的中点，AB=4,求CF的长.

【解答】(1)证明：连接。尸，如图1所示:

:CDLAB,

：.ZDBC+ZC=90Q,

'：OB=OF,

：.ZDBC=ZOFB,

"：EF=EC,

:"C=NEFC,

：.ZOFB+ZEFC=90a,

；.N0尸E=180°-90°=90°,

：.OFVEF,

为OO的半径，

.••EF是。。的切线；

(2)解：连接AF,如图2所示：

是。。的直径，

AZAFB=90Q,

是。4的中点,

OD=DA=—OA=-AB=—X4=1,

244

：.BD=3OD=3f

CDLAB,CD=AB=4,

：.ZCDB=90°,

由勾股定理得：BC=JBD2+CD2=)‘2+42=5,

•.,NAFB=NC£>B=90°,NFBA=NDBC,

:.XFBAsXDBC,

.BF=AB

*'BDBC，

._AB'BD_4X3-12

••oDJr7------------,

BC55

:.CF=BC-BF=5--=12.

26.如图，0M是。。的半径，过M点作。。的切线A8,且OA,OB分别交。。

于C,D.求证：AC=BD.

【解答】证明：是。。的半径，过〃点作。0的切线48,

・•・0M_LA8,

,△ABO是等腰三角形，

・・・OA=OB,

°：OC=OD,

：.0A-OC=OB-0Df即：AC=BD.

27.如图，在囿43CD中，NQ=60°,对角线AC_L3C,。0经过点4,B,与AC交于点

M,连接A。并延长与。。交于点F,与C8的延长线交于点E,AB=EB.

(1)求证：EC是。。的切线；

(2)若AD=?M，求“的长(结果保留五).

【解答】(1)证明：连接08,

・・•四边形A8C。是平行四边形,

・・・N43C=N£>=60°,

VAC1BC,

・・・NACB=90°,

：.ZBAC=30°,

•:BE=AB,

:・/E=/BAE,

VZABC=ZE+ZBAE=60°,

・・・NE=NR4E=30°,

♦：OA=OB,

：.ZABO=ZOAB=3>0°,

：.ZOBC=30°+60°=90°,

・・・OBLCE,

・・・EC是OO的切线；

(2)解：•.•四边形ABC。是平行四边形，

:.BC=AD=2M，

过。作OH_LAM于H,

则四边形OBCH是矩形，

：.OH=BC=2M，

：.OA=—=4,/AOM=2NAOH=60。，

sin60

28.中心为。的正六边形A8C0E/的半径为6CTM,点P,。同时分别从A,。两点出发，

以1C772/S的速度沿AF,0c向终点凡C运动，连接尸8,PE,QB,QE,设运动时间为

t(.s').

(1)求证：四边形PBQE为平行四边形；

(2)求矩形P8QE的面积与正六边形ABCOE尸的面积之比.

【解答】(1)证明：：六边形A8CDEF是正六边形，

:.AB=BC=CD=DE=EF=",NA=ZABC=/C=ND=NDEF=NF,

•••点P,。同时分别从4。两点出发，以Icvw/s速度沿4ROC向终点尸，C运动,

：.AP=DQ=t,PF=QC=6-t,

'AB=DE

在△ABP和△OE0中，,NA=ND，

AP=DQ

:.AABP之/\DEQ(SAS),

：.BP=EQ,

同理可证PE=Q8,

/.四边形PEQB为平行四边形.

(2)解：连接BE、0A,则/4。8=细一=60°,

6

\'OA=OB,

」.△A08是等边三角形，

：.AB=OA=6,BE=2OB=12,

当f=0时，点尸与4重合，。与O重合，四边形P8QE即为四边形ABQE,如图1所示：

则NEAF=NAEF=30°,

.•./BAE=120°-30°=90°,

，此时四边形是矩形，即四边形P8QE是矩形.

当r=6时，点尸与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE,如图2所示：

同法可知/8FE=90°,此时四边形PBQE是矩形.

综上所述，r=Os或6s时，四边形PBQE是矩形，

•'•AE—yj122-Q—6,73>

矩形PBQE的面积=矩形ABDE的面积=43*钻=6*6\^=36«；

,正六边形ABCOEF的面积=64A03的面积=6X工矩形ABDE的面积=6X』X36M

44

=54«，

二矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比=2.

3

29.如图，△48C的外角NBAM的平分线与它的外接圆相交于点E,连接8E,CE,过点E

作EF〃BC,交CM于点、D.

求证：(1)BE=CE；

(2)"为。0的切线.

【解答】证明：(1):四边形ACBE是圆内接四边形，

平分NBAM,

NBAE=NEAM,

,/NBAE=ZBCE,

:.NBCE=NEAM,

:.NBCE=NEBC,

：.BE=CE；

(2)如图，连接EO并延长交BC于H,连接08,OC,

VOB=OC,EB=EC,

直线EO垂直平分BC,

:.EHLBC,

C.EHVEF,

是。。的半径,

为OO的切线.

M

30.如图，AB为。。的直径，射线4。交。0于点尸，点C为劣弧崩的中点，过点C作

CEVAD,垂足为E,连接AC.

(1)求证：CE是的切线；

(2)若NB4C=30°,AB=4,求阴影部分的面积.

【解答】解：(1)连接BF,OC,

是O。的直径，

/.ZAFB=90°,BPBFLAD,

".'CE1.AD,

：.BF//CE,

连接OC,

；点C为劣弧崩的中点，

OC±BF,

'：BF//CE,

J.OCVCE,

；OC是0。的半径，

；.CE是。。的切线；

(2)连接OF,CF,

'：OA=OC,NBAC=30°,

AZBOC=60°,

丁点C为劣弧崩的中点，

.*.FC=BC>

：.ZFOC=ZBOC=60Q,

OF=OC,

：・NOCF=NCOB,

：.CF//ABf

:.S&ACF=S〉COF,

工阴影部分的面积=S扇形con

•・・AB=4,

:.FO=OC=OB=2,

60•兀X222

:・S扇形FOC=一=铲,

360

即阴影部分的面积为：2兀.

3

31.如图，已知A8是。。的直径，直线8c与。0相切于点8,过点A作4。〃。。交。O

于点。，连接CD.

(1)求证：CO是。。的切线.

(2)若4。=4,直径AB=12,求线段8c的长.

【解答】(1)证明：连接0£>,如图所示:

'：OA=OD,

：.ZODA=ZOAD.

,JAD//CO,

J.ZCOD^ZODA,ZCOB^ZOAD.

：.ZCOD^ZCOB.

•：OD=OB,OC=OC,

:.△ODgXOBC(SAS).

：.ZODC^ZOBC.

,:CB是圆O的切线且OB为半径，

...NCBO=90°.

：.ZCDO^90°.

J.OD1CD.

又,：CD经过半径OD的外端点D,

：.C£>为圆O的切线.

(2)解：连接3D,

是直径，

；.NADB=90°.

在直角中，

aAOBBD=^AB2_AD2=^122_42=8V2,

VZADB=ZOBC=W°,且NCO8=NBAQ,

：./\ADB^/\OBC.

.AD=DB即g=色反

*'OBBC"RBC

・・・BC=12y.

32.如图，。。是△ABC的外接圆，AB是。。的直径，ZDCA=ZB.

(1)求证：C。是。。的切线；

(2)若垂足为£OE交AC于点F,求证：△QCF是等腰三角形.

【解答】证明：(1)连接0C

•・・OC=OAf

：.ZOCA=ZA,

•・N8是。。的直径，

：.ZBCA=90°,

・・・NA+N3=90°,

•：/DCA=NB,

：.ZOCA+ZDCA=ZOCD=90°,

:.OC±CD9

・・・C。是。。的切线；

(2)VZOG4+ZDCA=90°,ZOCA=ZA,

：.ZA+ZDCA=90Q,

VDE1AB,

AZA+ZEM=90°,

：.ZDCA=ZEFA,

'：ZEFA=ZDFC,

：.ZDCA=ZDFC,

；.△£><??是等腰三角形.

33.如图，在RtZXASC中，ZACB=90°,以AB为直径作。0,过点C作直线CD交AB

的延长线于点。，使NBCD=/A.

(1)求证：CO为。。的切线；

(2)若力E平分NADC,且分别交AC,BC于点E,F,当CE=2时^,求EF的长.

【解答】(1)证明：如图，连接。C,

为。。的直径，

/.ZACB=90°,BPZA+ZABC=90°,

XVOC=OB,

，NABC=NOCB,

,JZBCD^ZA,

：.ZBCD+ZOCB=90a,即NOC£>=90°,

;oc是圆。的半径，

...CO是。。的切线；

(2)解：'.'DE^ZADC,

:.NCDE=NADE,

又；NBCO=N4,

ZA+ZADE=ZBCD+ZCDF,即ZCEF=ZCFE,

VZACB=90Q,CE=2,

:・CE=CF=2,

EF=也E24d2A/2-

34.如图，△ABC内接于。0,AB是。。的直径.直线/与00相切于点A,在/上取一点

。使得D4=OC,线段OC，48的延长线交于点E.

(1)求证：直线。C是。。的切线；

(2)若BC=2,/。8=30°,求图中阴影部分的面积(结果保留7T).

【解答】(1)证明：连接0C,

是。。的直径.直线/与。0相切于点力,

：.ZDAB=90°,

\'DA=DC,0A=0C,

：.ZDAC^ZDCA,ZOAC^ZOCA,

：.ZDCA+ZAC0=ZDAC+ZCAO,

即/。CO=/D4O=90°,

J.OCYCD,

...直线OC是。。的切线；

(2)解：VZCAB=30°,

NBOC=2NCAB=60°,

;OC=OB,

.♦.△COB是等边三角形，

OC=OB=BC=2,

：.CE=yj3OC=2y/3,

2

图中阴影部分的面积=S4OCE-S扇形COB=LX2X2«--^.X--=2A/3--.

23603

35.如图，在△ABC中，AB=AC,以48为直径的00交BC于点。，过点。作。E_L4C,

垂足为点E.

(1)求证：△ABOgaACD；

(2)判断直线。E与。。的位置关系，并说明理由.

【解答】(1)证明：为。。的直径,

：.AD±BC,

在RtAADB和RtAADC中(&=AD,

lAB=AC

ARtAABD^RtAACD(HL)；

(2)直线QE与。0相切，理由如下：

又：。4=。8,

二。。为△A8C的中位线,

J.OD//AC,

"：DELAC,

C.ODA.DE,

为00的半径，

与。。相切.

36.如图，A8是。。的直径，E,C是。。上两点，且庇=黄，连接AE,AC