(辅导班专用)新高一(暑期)初升高衔接讲义11高中物理学习的数学基础-三角函数和角的弧度制（教师版含详解）

专题11高中物理学习的数学基础——三角函数和角的弧度制知识精讲知识精讲一、锐角三角函数1.1锐角三角函数的定义(1)直角三角形的三条边：如图所示，在直角三角形ΔABC中，∠C是直角。则AC、BC叫做直角边，AB叫做斜边。∠A、∠B都是锐角。对于∠A来说，AC叫做∠A的邻边，BC叫做∠A的对边。(2)锐角三角函数初中几何课本中给出锐角三角函数的定义，是依据这样一个基本事实：在直角三角形中，当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值是一个固定的值。关于这点，我们看下图，图中的直角三角形AB1C1，AB2C2，AB3C3，…都有一个相等的锐角A，即锐角A取一个固定值。如图所示，许许多多直角三角形中相等的那个锐角叠合在一起，并使一条直角边落在同一条直线上，那么斜边必然都落在另一条直线上。不难看出：B1C1∥B2C2∥B3C3∥…，∵△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽…，因此，在这些直角三角形中，∠A的对边与斜边的比值是一个固定的值。根据同样道理，由“相似形”知识可以知道，在这些直角三角形中，∠A的对边与邻边的比值，∠A的邻边与斜边的比值都分别是某个固定的值。这样，在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作SinA；锐角A邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作CosA；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tgA；锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，于是我们得到锐角A的四个锐角三角函数。三角函数定义如下：设∠A=α，并令AC=x，BC=y，AB=r，则α的四个三角函数值定义为：∠A的正弦、余弦、正切、余切统称为三角函数(高中数学还将会学到其它的三角函数名称)。1.2锐角三角函数的主要性质1.三角函数值只是一个比值，由角的大小唯一确定，与直角三角形的边长无关。2．Sinα、Cosα、tanα、cotα均为正值。3.当0<α<90°时，正弦与正切函数为增函数；余弦与余切函数为减函数4.对于同一个角α，存在如下的关系：①平方和关系：②比值的关系：③倒数关系：5.若α、β互为余角，则有：Sinα=Cosβ,Cosα=Sinβ,tanα=cotβ,cotα=tanβ6．若α、β互为补角，则有：Sinα=Sin(1800-β)=SinβCosα=Cos(1800-β)=-Cosβtanα=tan(1800-β)=-tanβcotα=cot(1800-β)=-cotβ1.30－90°之间的特殊角的各三角函数值：高中物理计算中经常用到0、30°、37°、45°、53°、60°、90°的角的三角函数的值。现把这些值列在下面的表格中，这些值都是要求记忆的。其它角度的三角函数的值可以查数学用表或用计算器来算角度00300370450530600900sincostancot表格中的370和530角同学们在初中很少遇到，但我们在高中物理中经常要用到它们。其实这两个角也是大家很熟悉的，还记得“勾3股4弦必5”吧？在这个直角三角形中，长为5的边所对的是直角，长为3的边所对的锐角就是370，长为4的边对的角就是530。1.4正余弦定理正弦定理余弦定理a2=b2=c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosA1.5直线方程直线y=kx+b图线如图所示1．直线的斜率k2．纵截距y0和横截距x0：直线与x、y轴的交点A、B到原点O的距离就是纵截距y0和横截距x0，分别等于x=0和y=0时y的值、x的值，即y0=bx0=直线的斜率k和纵横截距是图象问题的重要手和方法1.6一元二次函数一元二次函数y=ax2+bx+c(1)顶点坐标公式(2)判别式(1)图象与x轴有两个交点(2)图象与x轴只有一个交点(3)图象与x轴没有交点(3)配方主要用于解决极值问题，尤其判别式法是一种非常有效的方法，如解答追击问题。2.角的弧度制表示2．1弧度制——另一种度量角的单位制角的单位，除了我们熟知的“度、分、秒”以外，还可以用另一个单位——弧度。它的单位是“弧度”，记作rad，读作弧度。在一个圆中，圆心角的弧度值等于圆弧的长度除以圆的半径。所以，当圆弧的长度等于圆的半径长度时，这段圆弧所对的圆心角称为1弧度的角。如图：∠AOB=1rad∠AOC=2rad2.2角度制与弧度制的换算显然，一个平角是，对应的弧长就是一个“半圆”，如果这个圆的半径是R，那么这段弧长就是πR，所以，180°的角用弧度做单位就是180°=Rπ/R=π弧度πrad。这个关系式可以作为角度与弧度的换算关系式。由上述关系式可知：今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略不写。例如：3表示3radsinπ表示πrad角的正弦一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住。你能自己推出30°、45°、60°、90°、120°、150°分别等于多少rad了吧！扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：.课程要求课程要求1.掌握0－90°之间的特殊角的各三角函数值和相关运算2.了解正余弦定理和一元二次函数3.掌握角度制与弧度制的换算典例剖析典例剖析(典例1)三角函数的定义及性质△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长均为1)，ADBC于D．下列选项中，错误的是()A．sin=cos B．tanC=2 C．tan=1 D．sin=cos【答案】D【解析】如图所示：AD=BD，则∠α=45°，故sinα=cosα=，故选项A正确，不合题意；tanC==2，故选项B正确，不合题意；tanα=1，故选项C正确，不合题意；sinβ=，cosβ=,∴sin≠cos，故选项D错误，符合题意；故选D．(典例2)特殊角的三角函数值已知∠A是锐角，且；【答案】0.5【解析】(典例3)解直角三角形，在下列图中填写各直角三角形中字母的值．

【答案】a=10b=5c=10d=10e=f=【解析】根据特殊角的三角函数值运算得到结果。(典例4)实例分析一船向东航行，上午8时到达处，看到有一灯塔在它的南偏东，距离为72海里的处，上午10时到达处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为()A海里/小时B海里/小时C海里/小时D海里/小时【答案】B【解析】如图在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣60°＝30°，AB＝72海里，故AC＝36海里，BC=363海里，艘船航行的速度为363/2＝18(典例5)一些常用的特殊角三角函数值角度θ正弦(sinθ)余弦(cosθ)正切(tanθ)余切(cotθ)000103000.53700.60.8450115300.80.66000.5900100(典例6)时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为()A.eq\f(14,3)πB．－eq\f(14,3)πC.eq\f(7,18)πD．－eq\f(7,18)π【答案】B【解析】分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的eq\f(1,3)，用弧度制表示就是：－4π－eq\f(1,3)×2π＝－eq\f(14,3)π.(典例7)下列说法不正确的是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的eq\f(1,360)，1弧度的角是周角的eq\f(1,2π)C．1rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【答案】D【解析】用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关．(典例8)一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________rad，扇形面积是________.【答案】π－22(π－2)【解析】由题意知r＝2，l＋2r＝πr，∴l＝(π－2)r，∴圆心角α＝eq\f(l,r)＝eq\f(π－2r,r)＝π－2(rad)，扇形面积S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×(π－2)·r·r＝2(π－2)．对点精练对点精练1.在Rt⊿ABC中，∠C＝90°，BC＝10，AC＝4，则；【答案】52929；【解析】∵∠C＝90°，BC＝10，AC＝4，∴AB=BC2∴cosB=BCtanA=BC2.的值等于()A． B． C． D．1【答案】B【解析】sin60°＝，tan45°＝1，所以sin60°+tan45°＝.故选B.3.在△ABC中，∠C＝90°，，则【答案】【解析】∠C＝90°，，则c=，所以4.已知Rt△中,若cos,则【答案】10【解析】如图，∵cosA=5/13=CA/AB，∴设CA＝5x，AB＝13x，∴BC=AB2−A而BC＝24，∴12x＝24，∴x＝2，∴AC＝5×2＝10．故答案为10．5.在△ABC中,若|sinA﹣|+(﹣cosB)2=0,∠A,∠B都是锐角,则∠C度数是()A．75° B．90° C．105° D．120°【答案】C【解析】∵|sinA﹣|=0，(﹣cosB)2=0，∴sinA﹣=0，﹣cosB=0，∴sinA=，=cosB，∴∠A=45°，∠B=30°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=105°．故选C．6.当角度在到之间变化时，函数值随着角度的增大反而减小的三角函是()A．正弦和正切B．余弦和余切C．正弦和余切D．余弦和正切【答案】B【解析】当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大反而减小的三角函数是余弦和余切。7.在△中,sin,则cos等于()A、B、C、D、【答案】B【解析】直角三角形中，如果，则cos=sin，故选B。8.当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是()A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜60° C．60°＜∠A＜90° D．30°＜∠A＜45°【答案】B【解析】∵cos60°=，cos30°=，∴30°＜∠A＜60°．故选B．9.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是()A．2B．sin2C．2sin1D.eq\f(2,sin1)【答案】D【解析】设圆的半径为R，则sin1＝eq\f(1,R)，∴R＝eq\f(1,sin1)，故所求弧长为l＝α·R＝2·eq\f(1,sin1)＝eq\f(2,sin1).10.在平面直角坐标系内P点的坐标(，)，则P点关于轴对称点P／的坐标为()A．B．C．D．【答案】C【解析】，，P点的坐标，P点的关于轴对称点P／与P的横坐标相同，纵坐标变为相反数，P／的坐标为，故选C。11.一个物体点出发，在坡度为的斜坡上直线向上运动到，当m时，物体升高()AmBmCmD不同于以上的答案【答案】B【解析】如图，设BC＝x，AC＝7x，则AB＝52x，∵AB＝30米，∴52x＝30，∴x＝，∴BC＝，故选：B．12.数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．(精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，≈1.73)【答案】51m【解析】∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=55m，∴tan∠CAE=，∴AC==≈82.1(m)，∵AB=21m，∴BC=AC–AB=61.1(m)，在Rt△BCD中，tan60°==，∴CD=BC≈1.73×61.1≈105.7(m)，∴DE=CD–EC=105.7–55≈51(m).答：炎帝塑像DE的高度约为51m．13.如图，河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高。AACDB【答案】7(+1)【解析】在Rt△ABD中，∵∠ADB＝45°，∴BD＝AB．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴BC=AB．设AB＝x(米)，∵CD＝14，∴BC＝x+14．∴x+14=x解得x=7(+1)即铁塔AB的高为7(+1)14.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点(C，O的连线垂直于AB)，求点C到弦AB所在直线的距离．(参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88)【答案】6.64(米)【解析】如图，连接CO并延长，与AB交于点D，∵CD⊥AB，∴AD=BD=AB=3(米)，在Rt△AOD中，∠OAB=41.3°，∴cos41.3°=，即OA===4(米)，tan41.3°=，即OD=AD•tan41.3°=3×0.88=2.64(米)，则CD=CO+OD=4+2.64=6.64(米)．15.如图，A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米处，以每小时10千米的速度向北偏东60º的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域。问A城是否会受到这次台风的影响？为什么？若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长？【答案】受影响沿BF距A200千米内有一段100千米的路10小时【解析】(1)A城市受影响．如图，过点A作AC⊥BF，则距离点C最近的距离为AC，∵AB＝300，∠ABC＝30°，∴ACAB＝150＜200，所以A城会受到这次台风的影响；(2)如图，∵距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域，则AD＝AE＝200，即DE为A城遭受这次台风的距离，CD50，∴DE＝100，则t=10小时．故A城遭受这次台风影响的时间10小时．16.某挖掘机的底座高AB=0.8米，动臂BC=1.2米，CD=1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD=140°．初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE=70°(示意图2)．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点(示意图4)．(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．(2)问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米？(精确到0.1米)(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，1.73)【答案】(1)150°(2)0.8米【解析】(1)过点C作CG⊥AM于点G，如图1，∵AB⊥AM，DE⊥AM，∴AB∥CG∥DE，∴∠DCG=180°–∠CDE=110°，∴BCG=∠BCD–∠GCD=30°，∴∠ABC=180°–∠BCG=150°；(2)过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N，如图2，在Rt△CPD中，DP=CD×cos70°≈0.51(米)，在Rt△BCN中，CN=BC×cos30°≈1.04(米)，所以，DE=DP+PQ+QE=DP+CN+AB=2.35(米)，如图3，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，在Rt△CKD中，DK=CD×sin50°≈1.16(米)，所以，DH=DK+KH=3.16(米)，所以，DH–DE≈0.8(米)，所以，斗杆顶点D的最高点比初始位置约高了0.8米．17.如图，某货船以24海里/时的速度将一批货物从处运往正东方向的处，在点处测得某岛在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，(1)求的度数；(2)已知在岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．(