问题72立体几何中折叠问题突破170分2016届高三数学复习提升秘籍

打破170分之江苏高三数学复习提高秘笈问题二：立体几何中折叠问题立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面睁开。把一个平面图形依照某种要求折起，转变为空间图形，进而研究图形在地点关系和数目关系上的变化，这就是折叠问题。把一个几何体的表面伸展为一个平面图形进而研究几何体表面上的距离问题，这就是几何体的表面睁开问题。折叠与睁开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转变的集中表现，睁开与折叠问题就是一个由抽象到直观，由直观到抽象的过程。此类问题也是历年高考命题的一大热门，主要包含两个方面：一是平面图形的折叠问题，多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题，主要波及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等.一、平面图形的折叠解答折叠问题的要点在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，抓住两个要点点：不变的线线关系、不变的数目关系.不变的线线关系，特别是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依照；不变的数目关系是求解几何体的数字特征，如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等的重要依照.折叠后的形状判断【例1】以以下图，在以下六个图形中，每个小四边形皆为全等的正方形，那么沿其正方形相邻边折叠，可以围成正方体的是_____________(要求：把你以为正确图形的序号都填上)①②③④⑤⑥【剖析】依据平面图形的特点，想象平面图形折叠后的图形进行判断.也可利用手中的纸片画出相应的图形进行折叠.【答案】①③⑥【分析】【牛刀小试】以下图代表未折叠正方体的睁开图，将其折叠起来，变为正方体后的图形是（）A.B.C.D.【答案】B【分析】将平面睁开图复原成正方体后，三个面内的线段是平行的，应选B.2.折叠后的线面关系【例2】将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起获得空间四边形ABCD(如图2)，则在空间四边形ABCD中，AD与BC的地点关系是()图1图2A．订交且垂直B．订交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直【答案】

C【分析】在图

1中的等腰直角三角形

ABC

中，斜边上的中线

AD

就是斜边上的高，则AD⊥BC，折叠后如图

2，AD

与

BC

变为异面直线，而原线段

BC

变为两条线段

BD、CD，这两条线段与

AD

垂直，即

AD⊥BD，AD⊥CD，故

AD⊥平面

BCD，因此AD⊥

BC.【牛刀小试】将下边的平面图形（每个点都是正三角形的极点或边的中点）

沿虚线折成一个正四周体后，直线

MN

与PQ是异面直线的是

_____________.MNPNQNQQNQMP①P②M③MP④【答案】①④【分析】3.折叠后几何体的数字特点折叠后几何体的数字特点包含线段长度、几何体的表面积与体积、空间角与距离等，设计问题综合、全面，也是高考命题的要点.解决此类问题的要点是正确确立折叠后几何体的构造特点以及平面图形折叠前后的数目关系之间的对应.【例

3】（体积问题）以下图，等腰

△ABC

的底边

AB

66，高

CD

3，点

E是线段BD

上异于点

B，D的动点，点

F在BC

边上，且

EF

⊥

AB

，现沿

EF

将△BEF

折起到△PEF的地点，使PE⊥AE，记BEx，V(x)表示四棱锥PACFE的体积．PDEABFC1）求V(x)的表达式；2）当x为什么值时，V(x)获得最大值？【分析】【牛刀小试】【2016届河南省信阳高中高三上第八次大考】平行四边形ABCD中，AB·BD=0，沿BD将四边形折起成直二面角22A一BD－C，且2ABBD4，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为____.【答案】4【分析】【例4】（空间角问题）如左图,矩形ABCD中,AB12,AD6,E、F分别为CD、AB边上的点,且DE3,BF4,将BCE沿BE折起至PBE地点(如右图所示),连结AP、EF、PF此中PF25.,(Ⅰ)求证:PF平面ABED；(Ⅱ)求直线AP与平面PEF所成角的正弦值..DECPDEC.AFBABF图图【分析】(Ⅰ)由翻折不变性可知,PBBC6,PECE9,在PBF中,PF2BF2201636PB2,因此PFBF在图1中,易得EF62123261,4在PEF中,EF2PF2612081PE2,因此PFEF又BFEFF,BF平面ABED,EF平面ABED,因此PF平面ABED.zPPDECyDCEABAHBFFx解法一图解法二图(Ⅱ)方法一:以D为原点,成立空间直角坐标系Dxyz以下图,则A6,0,0,P6,8,25,E0,3,0,F6,8,0,因此AP0,8,25,FP0,0,25,EF6,5,0,设平面PEF的法向量为nnFP025z0x5yx,y,z,则0,即5y0,解得6nEF6xz0【牛刀小试】如图，边长为2的正方形ABCD，E,F分别是AB,BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE,DF折起，使A,C两点重合于A。A/ABEEDDFFCB图31)求证：AD⊥EF;2）求二面角AEFD的平面角的余弦值.【分析】方法2：在△BEF中，BE=BF=1，BE⊥BF，∴EF=2,∵A/E=A/F=1，∴A/E2+A/F2=EF2∴A/E⊥A/F,因此以A/为坐标系的原点，A/E,A/D,A/F分别为x,y,z轴成立空间直角坐标系，则A/（0,0,0），D(0，2，0),E(1，0，0),F(0，0，1)ED（-1,2,0），EF（-1,0,1），设平面DEF的法向量是n(x,y,z)，则n●ED0，n●EF0，x2y0∴，取n=（2,1,2），xz0又A/D(0，2，0)是平面A/EF的法向量，n与A/D夹角的余弦值是cosA/Dn1。A/Dn3因此二面角AEFD的平面角的余弦值是1。3【总结】折叠问题剖析求解两原则：折叠问题的研究须充分利用不变量和不变关系；折叠前后一直位于折线的同侧的几何量和地点关系保持不变。二、几何体的睁开几何体表面睁开问题是折叠问题的逆向思想、逆过程，一般地，波及到多面体表面距离的问题，解题时不如将它睁开成平面图形试一试.1.睁开后形状的判断【例5】把正方体的表面沿某些棱剪睁开成一个平面图形（如右以下图）的图案判断这个正方体是（）

，请依据各面上【分析】【牛刀小试】水平搁置的正方体的六个面分别用“前面、后边、上边、下边、左面、右边表示.如右图,是一个正方体的平面睁开图,若图中的“似”表示正方体的前面,“锦”表示右边

”,“程”表示下边.则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的______________________.祝你前程似锦【分析】【总结】正方体睁开头记忆口诀:正方体盒巧睁开，六个面儿七刀裁;十四条边布四周，十一类图记分明;四方成线两相卫，六种图形巧组合；跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯。对面相隔不相连,识图巧排“7、”“凹”、“田”。②在正方体的睁开图中,一条直线上的小正方形不会超出四个。③正方体的睁开图不会有"田"字形,"凹"字形的形状。2.睁开后的数字特点——表面上的最短距离问题【例6】如图，已知圆柱体底面圆的半径为2，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，求小虫爬行的最短路线的长度．分析：如图，将圆柱的侧面睁开，DCD1ABA1此中AB为底面周长的一半，即ABprp22，AD2.p则小虫爬行的最短路线为线段AC.在矩形ABCD中，ACAB2BC2222222.因此小虫爬行的最短路线长度为22.【牛刀小试】如图，在长方体中，AB3,BC4,CC15，求沿着长方体表面从A到C1的最短路线长.D1C1A1B1DCAB【分析】（3）将面ADD1A1绕着DD1折起，获得的平面图形如图3所示：A1D1C1ADC(3)则AC437，AA15，在直角ACC1中，AC1AC2CC12725274.明显7445310，故沿着长方体表面从A到C1的最短路线长为74.【方法总结】几何体表面上的最短距离需要将几何体的表面睁开，将其转变为平面内的最短距离，利用平面内两点之间的距离最短求解.但要注意棱柱的侧面睁开图可能有多种睁开图，如长方体的表面睁开图等，要把不一样睁开图中的最短距离进行比较，找出此中的最小值.【迁徙运用】1.【2016学年湖南师大附中第三次检测】如图是棱长为1的正方体的平面睁开图，则在这个正方体中，以下结论错误的选项是（）A．点M到AB的距离为

22B．AB与EF所成角是90C．三棱锥CDNE的体积是D．EF与MC是异面直线【答案】D【分析】

162.【2016学年四川省成都七中】把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为极点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为___________度【答案】45【分析】折叠后所得的三棱锥中易知当平面ACD垂直平面ABC时三棱锥的体积最大．设AC的中点为O，则DBO即为所求，而DOB是等腰直角三角形，因此DBO45．3.已知正方形ABCD的对角线AC与BD订交于E点，将ACD沿对角线AC折起，使得平面ABC⊥平面ADC（如图），则以下命题中正确的为()直线AB⊥直线CD,且直线AC⊥直线BD直线AB⊥平面BCD，且直线AC⊥平面BDE平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE平面ABD⊥平面BCD，且平面ACD⊥平面BDE【答案】C【2015-2016学年广西武鸣县高中】以下图，在四边形ABCD中，ABADCD1,BD2,BDCD,将四边形ABCD沿对角线BD折成四周体ABCD，使平面A/BD平面BCD，则以下结论正确的选项是．（1）ACBD；（2）BAC90；（3）CA与平面ABD所成的角为30；（4）四周体ABCD的体积为1．6【答案】（2）（4）【分析】5．【2016届云南师大附中高考适应性月考】已知正三棱柱的侧面睁开图是相邻边长分别为3和6的矩形，则该正三棱柱的体积是．【答案】33或332【分析】由于正三棱柱侧面睁开图是边长为3和6的矩形，因此正三棱柱的高为6时，底面边长为1，V1113633；正三棱柱的高为3时，底面边长为2，222V123333．2226．【2016届浙江省嘉兴一中等高三第一次五校联考】如图，矩形ABCD中，AB2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE，若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折过程中，下边四个选项中正确的选项是(填写全部的正确选项)1）|BM|是定值2）点M在某个球面上运动（3）存在某个地点，使DEAC1（4）存在某个地点，使MB//平面A1DE【答案】（1）（2）（4）．【分析】取CD中点F，连结MF，BF，则MF//DA1，BF//DE，∴平面MBF//平面A1DE，∴MB//平面A1DE，故（4）正确；由A1DEMFB，MF1A1D为定值，FBDE2为定值，由余弦定理可得222MBMBMFFB2MFFBcosMFB，∴是定值，故（）正1确；∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故（2）正确；∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个地点，使DEAC错误，故（3）错误．17.如图，三棱锥S-ABC

中，SA=AB=AC=2，

ASB

BSC

CSA

30

，M、N

分别为SB、SC上的点，

则△AMN周长最小值为

.【答案】22【分析】8.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边三角形ADB以AB为轴转动．(1)当平面ADB⊥平面ACB时，求CD；(2)当△ADB转动时，能否总有AB⊥CD？证明你的结论．解(1)取AB的中点E，连结DE，CE.9.如图

1所示，正

ABC的边长为

2a，

CD

是

AB

边上的高，

E，F

分别是

AC，BC

的中点。现将

ABC沿

CD

翻折，使翻折后平面

ACD

平面

BCD（如图

2）求三棱锥

C-DEF

的体积.AAEEDCDCFMBFB图（1）图（2）【分析】过点E作EMDC于点M，∵面ACD面BCD，面ACD面BCD＝CD，而EM面ACD∴EM平面BCD即EM是三棱锥E-CDF的高CDBD,ADCD.又∵F为BC的中点，∴SCDF1SBCD11CDBD1(2a)2a2a3a222244∵E为AC的中点，EMCD,∴EM＝1AD1a22∴三棱锥C-DEF的体积为：VCDEFVECDF1SCDFEM13a21a3a3.学334224科网10.如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，ABAD，且ABAD1CD1．2现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，而后沿边AD将正方形ADEF折叠，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．1）求证：AM∥平面BEC;2）求证：BC平面BDE;（3）求点D到平面BEC的距离.EEDCMFDCFAB图1AB图2【分析】（1）证明：取EC中点N，连结MN,BN．在△EDC中，M,N分别为EC,ED的中点，因此MN∥CD，且MN1CD．2由已知AB∥CD，AB1CD，2EFMNDGCA

B因此

MN

∥AB

，且

MN

AB