天津市经济技术开发区第一中学高二数学上学期12月月考试题含解析

PAGE天津市经济技术开发区第一中学2020-2021学年高二数学上学期12月月考试题（含解析）一､选择题：(每小题4分，共48分)1.已知，则动点P的轨迹是（）A.双曲线 B.双曲线左边一支 C.一条射线 D.双曲线右边一支————D分析：根据双曲线的定义直接得到结果.解答：且动点的轨迹为双曲线的右边一支故选：点拨：本题考查双曲线定义的理解，易错点是忽略轨迹为双曲线的一支的问题，造成求解错误.2.抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.————D分析：将抛物线化简成标准形式再分析即可.解答：即,故抛物线焦点在轴上,,焦点纵坐标为.故焦点坐标为故选：D点拨：本题主要考查了抛物线的焦点坐标,需要将抛物线化成标准形式再判断,属于基础题.3.已知等差数列的前项和为，若，则的值为（）A.28 B.42 ————A分析：根据等差数列下标和性质可得，再利用等差数列前项和公式计算可得；解答：解：因为等差数列的前项和为，且所以，即所以故选：A4.记为等差数列的前项和，若，，则的公差为（）A.1 B.2 C.4 D.8————C分析：根据等差数列的通项公式与求和公式，列出关于首项与公差的方程组，解方程组即可得到公差．解答：设等差数列的公差为，则，，联立，解得.故选：C.点拨：本题考查了等差数列通项公式与求和公式的简单应用，注意计算，属于基础题．5.已知数列的前项和为，，且，，则当取得最大值时，()A.5 B.6 C.7 D.8————C分析：由题意，可得数列为等差数列，求得数列的通项公式为，进而得到当时，，当时，，即可得到答案.解答：由题意，数列满足，即，所以数列为等差数列，设等差数列的公差为，则，所以数列的通项公式为，令，即，解得，所以当时，，当时，，所以数列中前项的和最大，故选C.点拨：本题主要考查了等差数列的中项公式的应用，以及前n项和的最值问题，其中解答中根据等差数列的中项公式，得出数列为等差数列，得出等差数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6.等差数列的首项为，公差不为．若、、成等比数列，则的前项的和为（）A. B. C. D.————A分析：根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差，由此求得的前项的和.解答：设等差数列的公差为，由、、成等比数列可得，即，整理可得，又公差不为0，则，故前项的和为.故选：A7.已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（）A. B.C. D.————B分析：根据已知可得，双曲线焦距，结合的关系，即可求出结论.解答：因为双曲线的一条渐近线方程为，则.①又因为椭圆与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距，即c＝3，则a2＋b2＝c2＝9.②由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为.故选：B.点拨：本题考查椭圆、双曲线的标准方程以及双曲线的简单几何性质，属于基础题.8.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.————D分析：解答：由于BF⊥x轴，故，设，由得，选D.考点：椭圆的简单性质9.椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，连接原点与线段MN中点所得直线的斜率为，则的值是（）A. B.C. D.————A分析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由直线方程与椭圆方程联立，消去y，得x的一元二次方程，由韦达定理得，从而可表示出MN的中点的坐标，由已知斜率可求得．解答：由得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，所以y1＋y2＝，所以线段MN的中点为P，.由题意知，kOP＝，所以．故选：A.点拨：本题考查椭圆弦中点的性质．掌握此性质本题易解：椭圆的弦的中点为，则．10.已知等比数列中的各项均为正数，，则的值为()A.30 B.15 C.5 D.3————B分析：由等比数列的性质可得，再根据对数的运算，即可求解.解答：由题意，等比数列中的各项均为正数，满足，由等比数列的性质可得所以，故选B.点拨：本题主要考查了等比数列的性质，以及对数的运算求值，其中解答中熟练应用等比数列的性质，以及熟练应用对数的运算性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.11.已知抛物线，过原点作两条互相垂直的直线分别交于两点（均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点到直线距离的最大值为（）A. B. C. D.————C分析：设A（，），B（，），由OA⊥OB，利用斜率计算公式可得kOA•kOB＝﹣1，得出t1t2＝﹣1．又kAB，即可得出直线AB恒过定点，由此可得结论．解答：设A（，），B（，）．由OA⊥OB，得1，得出t1t2＝﹣1．又kAB，得直线AB的方程：y﹣2t1（x﹣2t12）．即x﹣（）y﹣2＝0．令y＝0，解得x＝2．∴直线AB恒过定点D（2，0）．∴抛物线的焦点F到直线AB距离的最大值为FD=2，故选C．点拨：本题考查了抛物线中直线过定点问题的求解与应用，涉及斜率计算公式与直线方程的形式，属于中档题．12.已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.————D试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.二､填空题：(每小题3分，共24分)13.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.————分析：焦点在轴上的椭圆的标准方程为，其中，由此可得，解之即得实数的取值范围.解答：∵方程表示焦点在轴上的椭圆，∴该椭圆的标准方程为，满足，解之得故答案为：点拨：本题已知椭圆是焦点在轴的椭圆，求参数的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程和简单性质，属于基础题.14.数列的前项的和，则此数列的通项公式______.————分析：根据计算可得；解答：解：因为数列的前项的和，当时，，当时，所以故答案为：15.设等比数列满足，，则___________．————-8分析：由条件结合等比数列的通项公式可得，从而得出答案.解答：因为为等比数列，设公比为．，即，显然，，得，即，代入式可得，所以．点拨：本题考查利用等差数列的通项公式求基本量和求数列中的项，属于基础题.16.已知双曲线：(，)离心率为，则点到双曲线渐近线的距离为______.————分析：由双曲线的离心率求出，即可求出渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算可得；解答：解：因为双曲线：(，)的离心率为，即，所以，即，所以，所以双曲线的渐近线为则点到渐近线的距离故答案为：17.已知数列的通项公式为，则其前项和______.————分析】利用分组求和法求和即可；解答：解：因为所以故答案为：点拨：数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．18.数列中，若，，则______.————分析：依题意可得数列为常数数列，即可得解；解答：解：因为，，所以，即数列为常数数列，，所以故答案为：19.抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为________．————分析：求周长的最小值，即求的最小值，设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义，问题转化为求的最小值，根据平面几何知识,当三点共线时最小，由此即可求出的最小值，从而可得结果.解答：抛物线的焦点为，点，求周长的最小值，即求的最小值，设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义，可知，因此，最小值，即的最小值，根据平面几何知识,可得当三点共线时最小，因此最小值为，，周长的最小值为，故答案为12.点拨：本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.20.已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为，则该双曲线的离心率为__________．————圆的标准方程为，圆心为，半径为，一条渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，因为弦长为2，所以，所以．三､解答题：21.已知抛物线C：y2=4x，其焦点为F，直线过点P（﹣2，0）（1）若直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，求l的方程；（2）若直线l与抛物线交于不同的两点A、B，求|FA|+|FB|的取值范围．————（1）y=0或xy+2=0（2）(6,+∞)分析：（1）当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=0；当直线l的斜率不为0时，设直线方程为y=k（x+2），联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0求得k值，则直线方程可求.（2）联立联立，得k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，利用判别式大于0求得k的范围，再由抛物线的焦半径公式及根与系数的关系可得．则|FA|+|FB|的取值范围可求．解答：（1）如图，当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=0；当直线l的斜率不为0时，设直线方程为y=k（x+2），联立，得k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0．由△=（4k2﹣4）2﹣16k4=﹣32k2+16=0，解得k=．∴直线方程为y=．综上，若直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，直线l的方程为：y=0或y=；（2）联立联立，得k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．当k≠0时，由△=﹣32k2+16＞0，得﹣＜k＜．∴﹣＜k＜0或0＜k＜．．|FA|=，|FB|=，则|FA|+|FB|=，∵0，∴，则﹣2+＞6．∴|FA|+|FB|取值范围是（6，+∞）．点拨：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．22.设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．————(1)；(2).分析：（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.解答：（1）数列满足时,∴∴当时,,上式也成立∴（2）∴数列的前n项和点拨：本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.23.已知正项等比数列满足，且，，依次成等差数列.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.————（Ⅰ）（Ⅱ）分析：（Ⅰ）由题意，设的公比为，根据题意，求得公比，进而利用等比数列的通项公式，即可求解.（Ⅱ）由（1）得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前n项和.解答：（Ⅰ）设的公比为.因为，，依次成等差数列，,所以所以.解得（负值舍去）.所以.（Ⅱ）依题意，.故，.故.故，即，整理得.点拨：本题主要考查等差、等比数列的通项公式、数列的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.24.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.————(1)(2)分析：（1）由可以求出，将点代入椭圆方程可以解出与的值，即可得出答案；（2）当直线与轴垂直时，可以求出两点的坐标，即可求出的面积，经计算不符合题意；当直线与轴不垂直时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到关于的一元二