2022-2023学年湖南省长沙二十一中八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙二十一中八年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（每题3分，共24分）.1．下列运算正确的是（）A． B．（x2）5＝x10 C．x5•x6＝x30 D．2．下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2 B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2 D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c23．已知直线m∥n，如图，下列哪条线段的长可以表示直线m与n之间的距离（）A．只有AB B．只有AE C．AB和CD均可 D．AE和CF均可4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD，AD＝BC C．AD∥BC，∠ABC＝∠ADC D．AB＝CD，AD∥BC5．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝10cm，BD＝8cm，则AD的取值范围是（）A．AD＞1 B．AD＜9 C．1＜AD＜9 D．AD＞96．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠BAC＝90°，AC＝6，BD＝8，则CD的长为（）A． B．5 C． D．107．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为（）A．2 B． C． D．8．如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（）A．①② B．②④ C．③④ D．①③二、填空题（每题3分，共24分）9．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，AC＝9，则BC＝．11．如图，四边形ABCD是平行四边形，若S▱ABCD＝12，则S阴影＝．12．如图，在▱ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF与GH相交于点P，则图中共有个平行四边形．13．如图，在▱ABCD中，∠A＝70°，DC＝DB，则∠CDB＝．14．若▱ABCD的周长为100cm，两条对角线相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，那么AB＝cm，BC＝cm．15．实数a、b在数轴上的位置如图，则化简＝．16．如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（4，8），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为．三、解答题（共8小题，满分72分）17．计算：（1）；（2）．18．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上两个点，且BE＝DF，证明：AE＝CF．19．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO．求证：四边形ABCD是平行四边形．20．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，在折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB＝2，BC＝1，求AG．21．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）若AF平分∠BAD，∠D＝60°，AD＝8，求平行四边形ABCD的面积．22．如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在AB上，且BF＝DE．（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．23．我们将（）、（）称为一对“对偶式”，因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将（+）和（﹣）中的“”去掉于是二次根式除法可以这样解：如，．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）比较大小（用“＞”、“＜”或“＝”填空）；（2）已知x＝，y＝，求x2+y2的值；（3）计算：24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．（1）当运动时间t为多少秒时，PQ∥CD．（2）当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．

参考答案一、选择题（每题3分，共24分）1．下列运算正确的是（）A． B．（x2）5＝x10 C．x5•x6＝x30 D．【分析】根据二次根式的加减与乘法运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算即可求出答案．解：A、与不是同类二次根式，故不能合并，故A不符合题意．B、原式＝x10，故B符合题意．C、原式＝x11，故C不符合题意．D、原式＝6a，故D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查二次根式的加减与乘法运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算，本题属于基础题型．2．下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2 B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2 D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c2【分析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角，根据此就可以直接判断A、B、C、D选项．解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角．A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；C、∠C＝90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；D、∠B＝90°，所以斜边为b，所以a2+c2＝b2，故本命题错误，即D选项错误；故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的正确运用，只有斜边的平方才等于其他两边的平方和．3．已知直线m∥n，如图，下列哪条线段的长可以表示直线m与n之间的距离（）A．只有AB B．只有AE C．AB和CD均可 D．AE和CF均可【分析】由平行线之间的距离的定义判定即可得解．解：∵从一条平行线上的任意一点到另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，∴线段AB和CD都可以示直线m与n之间的距离，故选：C．【点评】本题考查了平行线之间的距离，熟记平行线之间的距离的概念是解题的关键．4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD，AD＝BC C．AD∥BC，∠ABC＝∠ADC D．AB＝CD，AD∥BC【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；B、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；C、∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；D、由AB＝CD，AD∥BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．5．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝10cm，BD＝8cm，则AD的取值范围是（）A．AD＞1 B．AD＜9 C．1＜AD＜9 D．AD＞9【分析】根据平行四边形的性质求出OA和OD，在△AOD中，根据三角形三边关系定理得出5﹣4＜AD＜5+4，求出即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10，BD＝8，∴OA＝OC＝5，OB＝OD＝4，在△AOD中，由三角形三边关系定理得：5﹣4＜AD＜5+4，即1＜AD＜9，故选：C．【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和平行四边形的性质，注意：平行四边形的对角线互相平分．6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠BAC＝90°，AC＝6，BD＝8，则CD的长为（）A． B．5 C． D．10【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求AB的长，进而可求出CD的长．解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴BO＝DO，AO＝CO，AB＝CD，∵∠BAC＝90°，AC＝6，BD＝8，∴BO＝4，OA＝3，∴＝＝，∴．故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．7．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为（）A．2 B． C． D．【分析】在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CDB中求出BD，继而可得出AB．解：在Rt△ACD中，∠A＝45°，CD＝1，则AD＝CD＝1，在Rt△CDB中，∠B＝30°，CD＝1，则BD＝，故AB＝AD+BD＝+1．故选：D．【点评】本题考查了等腰直角三角形及含30°角的直角三角形的性质，要求我们熟练掌握这两种特殊直角三角形的性质．8．如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（）A．①② B．②④ C．③④ D．①③【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．解：只有①③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带①③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．故选：D．【点评】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．二、填空题（每题3分，共24分）9．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为x≥5．【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣5≥0，求出即可．解：要使二次根式在实数范围内有意义，必须x﹣5≥0，解得：x≥5，故答案为：x≥5．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，能得出关于x的不等式是解此题的关键．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，AC＝9，则BC＝12．【分析】直接利用勾股定理计算即可．解：由勾股定理得：BC＝＝＝12．故答案为：12．【点评】本题考查了勾股定理的运用．本题比较简单，解题的关键是熟记勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．11．如图，四边形ABCD是平行四边形，若S▱ABCD＝12，则S阴影＝3．【分析】通过证明△AEO≌△CFO（AAS），知道S阴影＝S△EOB+S△CFO＝S△ABO＝S▱ABCD，求解即可．解：AC于BD的交点记作点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝OD，AB∥CD，∴∠AEO＝∠CFO，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴S阴影＝S△EOB+S△CFO＝S△ABO＝S▱ABCD，∵S▱ABCD＝12，∴S阴影＝×12＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了平行四边形的性质的应用，注意：平行四边形的对角线互相平分．12．如图，在▱ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF与GH相交于点P，则图中共有9个平行四边形．【分析】首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数．解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，GH∥AB，∴AD∥BC∥EF，AB∥GH∥CD；所以图中是平行四边形的有：▱AEPH、▱ABGH、▱EBGP、▱HPFD；▱HGCD、▱PGCF、▱AEPD、▱EBCF；▱ABCD；共9个．故答案为：9．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．13．如图，在▱ABCD中，∠A＝70°，DC＝DB，则∠CDB＝40°．【分析】根据等腰三角形的性质，平行四边形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C＝70°，∵DC＝DB，∴∠C＝∠DBC＝70°，∴∠CDB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故答案为40°．【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．若▱ABCD的周长为100cm，两条对角线相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，那么AB＝30cm，BC＝20cm．【分析】根据平行四边形的性质知，平行四边形的对边相等，则已知周长，可以求出一组邻边的长，△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB比BC的值多10，则进一步可求出AB和BC的长．解：∵▱ABCD的周长为100cm，AB+BC＝50，∵△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，∴AB﹣BC＝10，∴AB＝30，BC＝20．故答案为：30，20．【点评】本题考查的是平行四变形的性质：平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的对角线互相平分．15．实数a、b在数轴上的位置如图，则化简＝﹣2a．【分析】利用数轴得出a+b＜0，b﹣a＞0，进而化简各式得出即可．解：如图所示：a+b＜0，b﹣a＞0，故＝﹣a﹣b+（b﹣a）＝﹣2a．故答案为：﹣2a．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简各式是解题关键．16．如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（4，8），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为（﹣，）．【分析】过D作DF⊥x轴于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE＝DE，OA＝CD＝4，设OE＝x，那么CE＝8﹣x，DE＝x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝8，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．解：如图，过D作DF⊥x轴于F，∵点B的坐标为（4，8），∴AO＝4，AB＝8，根据折叠可知：CD＝OA，而∠D＝∠AOE＝90°，∠DEC＝∠AEO，∴△CDE≌△AOE，∴OE＝DE，OA＝CD＝4，设OE＝x，那么CE＝8﹣x，DE＝x，∴在Rt△DCE中，CE2＝DE2+CD2，∴（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝3，又DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝8，∴AE＝CE＝8﹣3＝5，∴＝＝，即，∴DF＝，AF＝，∴OF＝﹣4＝，∴D的坐标为（﹣，）．方法二：过点D作DG⊥OC于点G．则DG＝＝，∴EG＝＝＝，∴OG＝OE+EG＝3+＝，∴D（﹣，）．故答案是：（﹣，）．【点评】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．三、解答题（共8小题，满分72分）17．计算：（1）；（2）．【分析】（1）先化简括号内的式子，然后合并同类二次根式，再根据二次根式的乘法计算即可；（2）运用二次根式的除法法则，平方差公式的计算即可．解：（1）＝×（2﹣）＝×＝1；（2）＝﹣（3﹣2）＝3﹣﹣1＝2﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是本题的关键．18．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上两个点，且BE＝DF，证明：AE＝CF．【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，由“SAS”可证△ABE≌△CDF，可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．19．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO．求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】先根据AB∥CD可知∠ABO＝∠CDO，再由BO＝DO，∠AOB＝∠DOC即可得出△ABO≌△CDO，故可得出AB＝CD，进而可得出结论．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，在△ABO与△CDO中，∵，∴△ABO≌△CDO（ASA），∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】本题考查的是平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质，熟知平行四边形的判定定理是解答此题的关键．20．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，在折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB＝2，BC＝1，求AG．【分析】首先根据AD沿DG折叠后点A的对称点是点E，判断出AD＝ED＝1，AG＝EG，∠DEG＝90°；然后设AG＝x，则EG＝x，BG＝2﹣x，在Rt△BEG中，由勾股定理，求出x的值是多少即可．解：∵AD沿DG折叠后点A的对称点是点E，∴AD＝ED＝1，AG＝EG，∠DEG＝90°，设AG＝x，则EG＝x，BG＝2﹣x，∵AB＝2，AD＝BC＝1，∠BAD＝90°，∴BD＝＝＝，∴BE＝﹣1，在Rt△BEG中，由勾股定理，可得BE2+EG2＝BG2，∴+x2＝（2﹣x）2，解得x＝，即AG的长是．【点评】此题主要考查了翻折变换（折叠问题），要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．21．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）若AF平分∠BAD，∠D＝60°，AD＝8，求平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据平行四边形ABCD得到AB∥CD，即可得到∠ABC＝∠BCF，从而得到△AEB≌△FCE，即可得到AB＝CF，即可得到证明；（2）根据AB∥CD得到∠D+∠BAD＝180°，结合∠D＝60°即可得到∠FAD＝60°，从而得到△ADF为等边三角形，即可得到答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CD＝AB，∴∠ABC＝∠BCF，在△AEB与△FCE中，，∴△AEB≌△FCE（ASA），∴AB＝CF，∴四边形ABFC是平行四边形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠D+∠BAD＝180°，∵∠D＝60°，∴∠BAD＝120°，∵AF平分∠BAD，∴∠FAD＝60°，∴△ADF为等边三角形，∵四边形ABFC是平行四边形，∴AB＝CF，∵CD＝AB，∴CF＝CD，∴∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，∵AD＝8，∴CD＝4，∴，∴平行四边形ABCD的面积是：．故答案为：．【点评】本题考查平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质得到△ADF是等边三角形．22．如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在AB上，且BF＝DE．（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．【分析】（1）证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE＝EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再加上条件DE＝BF可证出结论；（2）先证明BF＝DE＝BG，再证明AG＝AC，可得到BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）．【解答】（1）证明：延长CE交AB于点G，∵AE⊥CE，∴∠AEG＝∠AEC＝90°，在△AEG和△AEC中，，∴△AGE≌△ACE（ASA）．∴GE＝EC．∵BD＝CD，∴DE为△CGB的中位线，∴DE∥AB．∵DE＝BF，∴四边形BDEF是平行四边形．（2）解：BF＝（AB﹣AC）．理由如下：∵四边形BDEF是平行四边形，BF＝DE．∵D、E分别是BC、GC的中点，∴BF＝DE＝BG．∵△AGE≌△ACE，∴AG＝AC，∴BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明GE＝EC，再利用三角形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键．23．我们将（）、（）称为一对“对偶式”，因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将（+）和（﹣）中的“”去掉于是二次根式除法可以这样解：如，．像这样，通过分