高考圆锥曲线部分大题解析

1.【2018浙江21】如图，已知点P是y轴左边（不含y轴）一点，抛物线C:y24x上存在不一样的两点A,B知足PA,PB的中点均在C上。（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（2）若P是半椭圆x2y21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围。4分析：（1）设P(x0,y0),A(1y12,y1),B(1y22,y2)44AP中点知足：(y0y1)2x02y124(24)2BP中点知足：BP:(y0y2)2x02y224(4)22所以y1,y2是方程(y0y)2x02y24(24)即y22y0y8x0y020的两2y1y2y0，故PM垂直于y轴。个根，所以2（2）由（1）可知y1y22y0,y1y28x0y02所以|PM|1(y12y22)x03y023x0,|y1y2|22(y024x0)841|PM32(y023所以，SPAB||y1y2|4x0)224因为x02y021(x00)，所以y024x04x024x04[4,5]4所以，PAB面积的取值范围是[62,1510]4距离型问题2.【2018全国3理20】已知斜率为k的直线l与椭圆C:x2y21交于A,B两点，43线段AB的中点为M(1,m)(m0)（1）证明：k1；2（2）设F为C的右焦点，P为C上一点且FPFAFB0，证明：FP,FA,FB为等差数列，并求出该数列的公差。2分析：（1）由中点弦公式kkOMb2，解得k3a4m又因为点M在椭圆内，故0m3，故k122（2）由题意知FAFB2FM,FP2FM，故P(1,2m)因为点P在椭圆上，代入可得m3,k1，即|FP|342依据第二定义可知，|FA|21x1,|FB|21x222|FA||FB|41(x1x2)2x2y24111联立37x20x1x2714x2,x1x2y428x4即|FA||FB|41x2)3(x12故知足2|FP||FA||FB|，所以FP,FA,FB为等差数列设其公差为d，因为A,B的地点不确立，则有2d||FA||FB||1|x1x2|1(x1x2)24x1x222代入得2d321,d32114283.【2018全国3文20】已知斜率为k的直线l与椭圆C:x2y21交于A,B两点，43线段AB的中点为M(1,m)(m0)（1）证明：

k

1

；2（2）设

F为C的右焦点，

P为C上一点且

FP

FA

FB

0，证明2|FP||FA|

|FB|。x12y12x22y22y2y1分析：（1）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则31,31，因为kx144x2两式相减可得：x1x2y1y2k043又因为x1x21,y1y2m即x1x22,y1y22m代入上式22得k3，又因为点M在椭圆内，故0m3，故k14m222）F(1,0)，设P(x3,y3)，FPFAFB0(x31,y3)(x11,y1)(x21,y2)0即x33(x1x2)1,y3(y1y2)2m因为点P在椭圆上，代入得m3，所以P(1,3),|FP|3422因为|FA|(x11)2y122x1，同理得|FB|2x222故|FA||FB|41(x1x2)32所以2|FP||FA||FB|注意：文理科题目同样，可是给出的解题思路是不一样的。4.【2018天津理19】设椭圆

x2y

21的左焦点为F，上极点为B.已知椭圆的离a2b

2心率为5，点A的坐标为(b,0)，且|FB||AB|623（1）求椭圆的方程；（2）设直线l:ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q，若|AQ|52sinAOQ（O为原点），求k的值。|PQ|4分析：（1）由题意知：e2c2a2b25，解得2a3b，又因为|FB|a,|AB|2ba2a29由|FB||AB|62知ab6，解得a3,b2故椭圆方程为x2y2194（2）设P(x1,y1),P(x2,y2)，则|PQ|y1y2,|AQ|2y2sinAOQ|AQ|52sinAOQy2y255y19y2|PQ|4y14（获得一个等量关系，而后用k分别表示出y1,y2）联立ykx2k,ykx6k2y21x2y21y1分别代入上式得yxk9449k230k18k，解得k1或k1149k21k2285.【2018江苏18】如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C过点(3,1)，焦点2F1(3,0),F2(3,0)，圆O的直径为F1F2。（1）求椭圆

C及圆

O的方程；（2）设直线

l与圆

O相切于第一象限内的点

P（i）设直线

l与椭圆

C有且只有一个公共点，求点

P的坐标；（ii

）直线

l与椭圆

C交于

A,B

两点.若

OAB的面积为26

，求直线

l的方程。7x2y21，此中c3，又因为点(3,1)在椭圆上，故分析：（1）设椭圆方程为2b2a23124，所以椭圆C的方程为x2a24b21ay212b23b214a又因为圆O的直径为F1F2，故圆的方程为x2y23（2）（i）此题有两种解法：法一：椭圆和圆有公切线时求点P的坐标，可先设公切线方程为ykxb而后依据直线分别与圆和椭圆相切求出k,b的值，再求出点的坐标，这个方法很简单想到，可是需要两次计算相切时的条件。法二：题目中让求点P的坐标，不如一开始就设出点P的坐标，利用点P的坐标表示出切线方程，而后直线与椭圆联立，0即可求出点的坐标。这里我们采用第二种方法：设直线与圆的切点P(x0,y0)，则知足x02y023，故直线l的方程为：yy0x0(xx0)即yx0x3y0y0y0yx0x3联立y0y0(4x02y02)x224x0x364y020（1）x2y214因为直线l与椭圆有且只有一个交点，故0，即(24x0)24(4x02y02)(364y02)48y02(x022)0因为点P位于第一象限，即x00,y00，故x02,y01所以点P的坐标为(2,1)ii）剖析：第二问因为OAB的高即为圆的半径，故由面积能够得出弦长AB的值，依据弦长再求出直线方程，最简单想到的就是设出直线方程ykxb，依据直线与圆相切可得b23k23，而后直线与椭圆联立，依据韦达定理写出弦长公式，将k或b转变成一个，求出即可，可是计算过程很麻烦，下边给出同一个方法的两种不一样解法：分析：设直线方程为ykxb，A(x1,y1),B(x2,y2)，依据直线与圆相切得b23k23ykxb2222xy2(14k)x8kbx4b4014x1x28kb,x1x24b2414k214k2|AB|1k2(xx)24xx21k2(8kb)216b2164212114k214k27将b23k23代入得1k264k2(3k23)16(3k23)1642(14k2)214k27注意此处，依据韦达定理得出的两根和与积的形式原来很复杂，假如利用上式还需要进行平方，再将b转变为k的形式计算起来相当复杂，所以我们要想办法避开平方，所以不如直接依据直线与椭圆联立的方程解出两根，再利用弦长公式，就能够避开平方的出现，解法也会简单调些。(14k2)x28kbx4b240x1,28kb4k21b22(14k2)|x1x2|44k21b24k224k214k21|AB|1k2|x1x2|1k24k2242解得k25,b2184k217所以k5,b32，直线方程为y5x325.定值问题6.【2018全国1理】设椭圆C:x2y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于2A,B两点，点M的坐标为(2,0)（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMAOMB剖析：第二问两角度相等怎样证明？分析几何中常出现的量不过是距离长度，斜率，面积，周长，假如你想到了证明两个角余弦值相等，那么恭贺你，你想到了长度，可是长度不简单求得，此题目M点在x轴上且角度均从O点出发，A,B两点一个在x轴上方一个在下方，所以能够考虑两条直线对于x轴对称，而对称又反响了斜率互为相反数的关系，所以此题目虽是证明题的形式出现，但实质上是求定值问题，即k1k20分析：（1）由题意知F(1,0)，当l与x轴垂直时，l:x1，此时A(1,2)，所以直2线AM的方程为y2(x2)2（2）设直线AM,BM的斜率分别为k1,k2当直线l斜率不存在时，此时直线AM,BM的倾斜角互补，则OMAOMB当直线l斜率存在时，设l:yk(x1),A(x1,y1),B(x2,y2)x2y21(2k21)x24k2x2k2联立220yk(x1)x1x24k22k222k2,x1x22112k所以k1k2y1y2k(x11)k(x21)k[2x1x23(x1x2)4]x12x22x12x22(x12)(x22)（注意，此处为何不需要整理分母部分，因为证明分式为零，只要要证明分子为零即可）k[2(2k22)12k214]所以k12k212k20k22)(x22)(x1所以直线AM,BM的倾斜角互补，则OMAOMB7.【2018全国1文20】设抛物线C:y22x，点A(2,0),B(2,0)，过点A的直线l与C交于M,N两点（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：ABMABN分析：（1）当l与x轴垂直时，l:x2，此时B(2,2)，直线BM的方程为y12)(x2（2）详细过程能够参照32题，在上题中是分状况议论直线斜率不存在与存在的状况，其实无需议论斜率能否存在，能够直接将直线方程设为xmy2设l:xmy2，直线BM,BN的斜率分别为k1,k2xmy22my40y1y22m,y1y24联立y2y22x所以k1k2y1y22my1y24(y1y2)0x12x22(my14)(my24)所以直线AM,BM的倾斜角互补，则OMAOMB8.【2018全国3理16】已知点M(1,1)和抛物线C:y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与抛物线交于A,B两点，若ABM90，则k=________.分析：用到结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切所以yNyM1，设N(x0,1)，依据焦点弦斜率公式可得p12kABkONx0kABx0x0kAB29.【2018北京理19】已知抛物线C:y22px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不一样的交点A,B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于.1）求直线l的斜率的取值范围；（2）设O为原点，QMQO,QNQO，求证：11为定值。分析：（1）因为抛物线经过P(1,2)，则p2，抛物线方程为y24x由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为ykx1(k0)y24x2x2(2k4)x10由kx1ky(2k4)24k210解得k0或0k1又PA,PB与y轴订交，故直线l可是点(1,2)，故k3【最简单遗漏的地方】所以直线l斜率的取值范围是(,3)(3,0)(0,1)（2）第二问观察相关向量系数的定值问题，很明显需要将,用A,B两点的坐标表示出来而后在利用直线与抛物线联立刻可，实质运算起来发现,和M,N两点的纵坐标相关系，所以需要成立A,B和M,N坐标的关系，此时就需要依据A,B两点坐标勇敢写出PA,PB的直线方程，求出M,N两点坐标即可，不要想什么便利方法，怎么问怎么想就能够。设A(x1,y1),B(x2,y2)，由y24x1k2x2(2k4)x10ykxx1x242k,x1x21k2k2直线PA的方程为y2y12(x1)，令x0得点M的纵坐标为x11yMy12kx112，同理得N点的纵坐标为x1121x1yNkx212，由QMQO,QNQO得1yM,1yNx21所以1111x11x211yM1yN(k1)x1(k1)x222k412x1x2(x1x2)1k2k2k1x1x2k112k2故11为定值。10.【2018北京文20】已知椭圆x2y20)的离心率为6，焦距为M:2b21(aba322，斜率为k的直线l与椭圆M有两个不一样的交点A,B1）求椭圆M的方程；2）若k1，求|AB|的最大值；3）设P(2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个71交点为D，若C,D和点Q(,)共线，求k分析：（1）由题意知c6a3x2y21a3c232c22（2）设l:yxm,A(x1,y1),B(x2,y2)yxm联立x24x26mx3m230y213x1x23m3m23,x1x242令(6m)244(3m23)0，则m24|AB|1k2(x1x2)24x1x264m22故当m0时，|AB|最大。（3）题目给出共线，则用向量共线即可，可是需要知道C,D两点的坐标，因此勇敢设出PA,PB的方程，求出C,D的坐标（坐标与A,B坐标产生关系之后即可）设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，又P(2,0)，所以可设k1kPAy1，直线PA的方程为：yk1(x2)x12yk1(x2)22222xy2(13k1)x12k1x12k13013则xx12k12即x12k12x，又k1y1，代入得1313k12313k121x12x37x1124x17【注意此处也能够不转变，直接将x3转变为x1,y1的形式，可是不如一开始就转变简单】故y3y1，C(7x112,y1)，同理可得D(7x212,y2)4x174x174x174x274x27故QC(x37171),y3),QD(x4,y44444因为Q,C,D三点共线，所以(x37)(y41)(x47)(y31)04444将C,D坐标代入化简可得y1y21，即k1x1x211.【2018天津文19】椭圆x2y21(ab0)的右极点为A，上极点为B。已知a2b2椭圆的离心率为5，|AB|133（1）求椭圆的方程；（2）设直线l:ykx(kP,M均在第四象限，若

0)与椭圆交于BPM的面积是

P,Q两点，l与直线AB交于点MBPQ面积的2倍，求k的值。

，且点22分析：（1）xy142）设P(x1,y1),M(x2,y2)SBPM2SBPQ|PM|2|PQ||PM|4|OQ|x25x1【需要的等量关系】，接下来用k表示出x1,x2即可ykx6ykx62x2x2y2y3k，x14x32919k234所以630，解得k8或k13k29k2492当k8时，x10,x20不切合题意，当k1时，x10,x20切合题92意，所以k12极坐标与参数方程问题12.【2018全国1选做22】在直角坐标系xoy中，曲线C1的方程为C1:yk|x|2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴成立坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos30（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程。分析：（1）x2y22x30（2）yk|x|2恒过(0,2)点，当k0时不切合题意当k0时，f(x)kx2,x0kx2,x0当x0时，ykx2与C2恒有两个交点，所以只要当x0时，ykx2与C2只有一个交点即可，联立ykx2(1k2)x2(4k2)x10x2y22x30令0解得k43所以C1的方程为y4|x|2313.【2018全国2选修22】在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为x2cos(为参数)x1tcos(t为参数)y4sin，直线l的参数方程为2tsiny（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率。分析：（1）曲线C的直角坐标方程为x2y21416当cos0时，l的直角坐标方程为ytanx2tan当cos0时，l的直角坐标方程为x1（2）观察中点弦问题，所以能够利用中点弦求斜率公式，设中点坐标为M(1,2)，则kkOMa22k4k2b2惯例做法以下：将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得对于t的方程(13cos2)t24(2cossin)t80因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，故上式有两个解，设为t1,t2，则t1t20又因为t1t24(2cossin)，故2cossin013cos2所以直线l的斜率ktan2【此处用到了直线的参数方程的两个用法之一】14.【2018全国3选做22】在平面直角坐标系xoy中，O的参数方程为xcos为参数)，过点(0,2)且倾斜角为的直线l与O交于A,B两点(sin1）求的取值范围；2）求AB中点P的轨迹的参数方程。分析：（1）当斜率不存在时，此时切合要求2当斜率存在时，若要知足直线与圆相切只要要保证圆心到直线的距离小于半径即可。设直线l:ykx2，所以d21k(,1)(1,)k21依据正切函数图像可知(,)(,3)4224综上可知(,3)42）能够用直线的一般方程来做，可是假如那样题目就失掉意义了。既然是中点，就应当想到直线的参数方程应用中对于中点的用法。、xtcos(t是参数