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常系数非齐次线性微分方程机动目录上页下页返回结束第七节

第七章二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法机动目录上页下页返回结束一、

为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为m

次多项式.Q(x)为

m次待定系数多项式机动目录上页下页返回结束(2)若是特征方程的单根

,为m

次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,是m

次多项式,故特解形式为小结对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当是特征方程的k重根时,可设特解机动目录上页下页返回结束例1.的一个特解.解:

本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为机动目录上页下页返回结束例2.

的通解.

解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为机动目录上页下页返回结束例3.

求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得机动目录上页下页返回结束于是所求解为解得机动目录上页下页返回结束例4.

的一个特解

.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解机动目录上页下页返回结束例5.

的通解.

解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为机动目录上页下页返回结束例6.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,

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