2022-2023学年江西省宜春市丰城中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省宜春市丰城中学八年级第一学期期中数学试卷一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．下列计算正确的是（）A．a2+a2＝a4 B．（a2）3＝a5 C．a5•a2＝a7 D．2a2﹣a2＝22．下列式子中，是因式分解的（）A．a+b＝b+a B．4x2y﹣8xy2+1＝4xy（x﹣y）+1 C．a（a﹣b）＝a2﹣ab D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）23．若分式的值是负数，则x的取值范围是（）A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜4．新型冠状病毒颗粒近似呈球状，其直径介于60nm～140nm，平均为100nm，若1nm＝10﹣9m，则100nm可以用科学记数法表示为（）A．10﹣7m B．10﹣8m C．10﹣9m D．10﹣11m5．下列计算中，错误的是（）A．（）3＝ B．（）2＝ C．（）2＝ D．（）2＝6．已知（x﹣2015）2+（x﹣2017）2＝34，则（x﹣2016）2的值是（）A．4 B．8 C．12 D．16二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．计算（﹣）2018×（1.5）2019＝．8．若代数式有意义，则x的取值范围是．9．已知，则A+B＝．10．若am＝6，an＝4，则a2m﹣n＝．11．a+b+c＝3，a2+b2+c2＝4，求+＝．12．已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝．三．（本大题5小题，每小题6分，共30分）13．计算：（1）•（﹣）2÷；（2）﹣x+y．14．计算：（1）﹣（a2b）3+2a2b•（﹣3a2b）2（2）（a+2b﹣c）（a﹣2b+c）15．已知x，y满足x2+y2﹣4x﹣6y+13＝0，求的值．16．因式分解：（1）n2（m﹣2）+（2﹣m）；（2）4a2﹣b2﹣4a+1．17．代数式x2﹣5x+1＝0，求代数式2x2+﹣5x+6的值．四.（本大题3小题，每小题8分，共24分）18．化简：（﹣x﹣1）÷，并从不等式组的解集中选择一个合适的整数解代入求值．19．如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，9）＝，（4，1）＝，（2，）＝；（2）若记（3，4）＝a，（3，7）＝b，（3，28）＝c，求证：a+b＝c．20．已知32x＝2016，63y＝2016，求（x﹣1）（y﹣1）的值．五.（本大题2小题，每小题9分，共18分）21．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．（1）请你说明这个等式的正确性；（2）若a＝2014，b＝2015，c＝2016，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值；（3）已知实数x，y，z，a满足x+a2＝2014，y+a2＝2015，z+a2＝2016，且xyz＝36．求代数式++﹣﹣﹣的值．22．阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（2+1）（2﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）＝．（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）＝．（3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．六、解答题（本小题12分）23．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式．原式＝x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值．原式＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．（1）分解因式：a2﹣2a﹣3＝．（2）若2x2+3y2+8x﹣6y＝﹣11，求（x+y）2020的值．（3）已知a、b、c是△ABC的三条边长．若a、b、c满足a2+b2+5＝4a+b﹣|c﹣2|，试判断△ABC的形状，并说明你的理由．（4）当m，n为何值时，多项式2m2﹣2mn+2n2﹣4m﹣4n+25有最小值，并求出这个最小值．

参考答案一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．下列计算正确的是（）A．a2+a2＝a4 B．（a2）3＝a5 C．a5•a2＝a7 D．2a2﹣a2＝2【分析】根据合并同类项的法则，幂的乘方的性质，同底数幂的乘法的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、应为a2+a2＝2a2，故本选项错误，正确；B、应为（a2）3＝a6，故本选项错误；C、a5•a2＝a7，故本选项正确；D、应为2a2﹣a2＝a2，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，理清指数的变化是解题的关键．2．下列式子中，是因式分解的（）A．a+b＝b+a B．4x2y﹣8xy2+1＝4xy（x﹣y）+1 C．a（a﹣b）＝a2﹣ab D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2【分析】利用因式分解的定义判断即可．解：A、a+b＝b+a，等式右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；B、4x2y﹣8xy2+1＝4xy（x﹣y）+1，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；C、a（a﹣b）＝a2﹣ab，是整式乘法，故本选项不符合题意；D、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，符合因式分解的定义，故本选项符合题意．故选：D．【点评】此题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．3．若分式的值是负数，则x的取值范围是（）A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜【分析】根据题意列出不等式即可求出x的取值范围．解：由题意可知：2﹣3x＜0，且x2+1＞0恒成立，∴x＞，故选：B．【点评】本题考查分式的值，解题的关键是正确列出不等式，本题属于基础题型．4．新型冠状病毒颗粒近似呈球状，其直径介于60nm～140nm，平均为100nm，若1nm＝10﹣9m，则100nm可以用科学记数法表示为（）A．10﹣7m B．10﹣8m C．10﹣9m D．10﹣11m【分析】绝对值小于1的小数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：100nm＝100×10﹣9m＝1×10﹣7m，故选：A．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5．下列计算中，错误的是（）A．（）3＝ B．（）2＝ C．（）2＝ D．（）2＝【分析】利用分式的乘法与除法的法则对各项进行运算即可．解：A、，故A符合题意；B、（）2＝，故B不符合题意；C、（）2＝，故C不符合题意；D、（）2＝，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．6．已知（x﹣2015）2+（x﹣2017）2＝34，则（x﹣2016）2的值是（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】先把（x﹣2015）2+（x﹣2017）2＝34变形为（x﹣2016+1）2+（x﹣2016﹣1）2＝34，把（x﹣2016）看作一个整体，根据完全平方公式展开，得到关于（x﹣2016）2的方程，解方程即可求解．解：∵（x﹣2015）2+（x﹣2017）2＝34，∴（x﹣2016+1）2+（x﹣2016﹣1）2＝34，（x﹣2016）2+2（x﹣2016）+1+（x﹣2016）2﹣2（x﹣2016）+1＝34，2（x﹣2016）2+2＝34，2（x﹣2016）2＝32，（x﹣2016）2＝16．故选：D．【点评】考查了完全平方公式，本题关键是把（x﹣2015）2+（x﹣2017）2＝34变形为（x﹣2016+1）2+（x﹣2016﹣1）2＝34，注意整体思想的应用．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．计算（﹣）2018×（1.5）2019＝1.5．【分析】首先把化（1.5）2019为×（）2018×，再利用积的乘方计算（﹣）2018×（）2018，进而可得答案．解：原式＝（﹣）2018×（）2018×＝（﹣×）2018×＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了积的乘方，关键是掌握（ab）n＝anbn（n是正整数）．8．若代数式有意义，则x的取值范围是x≥1．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．解：由题意得，x﹣1≥0且x≠0，解得x≥1且x≠0，所以，x≥1．故答案为：x≥1．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．9．已知，则A+B＝3．【分析】先将等式右边的式子进行通分化简，再与右边的式子进行比较即可求解．解：由可知：＝+；化简得：；则3x＝Ax+Bx，即3x＝（A+B）x，所以A+B＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查了分式的加减，掌握分式的加减法则是解题的关键．10．若am＝6，an＝4，则a2m﹣n＝9．【分析】根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则计算即可．解：∵am＝6，an＝4，∴a2m﹣n＝（am）2÷an＝62÷4＝36÷4＝9．故答案为：9．【点评】本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．11．a+b+c＝3，a2+b2+c2＝4，求+＝9．【分析】由已知等式变形表示出a2+b2，b2+c2，c2+a2，代入原式计算即可得到结果．解：∵a+b+c＝3，a2+b2+c2＝4，∴a2+b2＝4﹣c2，b2+c2＝4﹣a2，c2+a2＝4﹣b2，则原式＝++＝2+c+2+a+2+b＝6+3＝9．故答案为：9【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝2或4或﹣10或16．【分析】将分子2x2+5x﹣20化为2x（x﹣3）+11（x﹣3）+13，依题意可得．解：＝＝2x+11+，∵分式的值为整数，∴为整数，∴x﹣3＝±1或x﹣3＝±13，解得：x＝2或4或﹣10或16．故答案为：2或4或﹣10或16．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式的化简求值的计算方法．三．（本大题5小题，每小题6分，共30分）13．计算：（1）•（﹣）2÷；（2）﹣x+y．【分析】（1）根据分式的乘除运算法则即可求出答案．（2）根据分式的加减运算法则即可求出答案．解：（1）原式＝••＝6．（2）原式＝﹣＝＝．【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．14．计算：（1）﹣（a2b）3+2a2b•（﹣3a2b）2（2）（a+2b﹣c）（a﹣2b+c）【分析】（1）先计算单项式的乘方，再计算乘法，最后合并同类项即可得；（2）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算，最后去括号即可得．解：（1）原式＝﹣a6b3+2a2b•（9a4b2）＝﹣a6b3+18a6b3＝17a6b3；（2）原式＝[a+（2b﹣c）][a﹣（2b﹣c）]＝a2﹣（2b﹣c）2＝a2﹣（4b2﹣4bc+c2）＝a2﹣4b2+4bc﹣c2．【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．15．已知x，y满足x2+y2﹣4x﹣6y+13＝0，求的值．【分析】将x2+y2﹣4x﹣6y+13＝0转化为两个完全平方式的和，根据非负数的性质求出x、y的值，然后进行分式的混合运算，得到结果后，代入求值即可．解：∵x2+y2﹣4x﹣6y+13＝0，∴（x﹣2）2+（y﹣3）2＝0，∴x＝2，y＝3．原式＝﹣•x4y4•＝﹣，当x＝2，y＝3时，原式＝﹣．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟悉完全平方公式及分式的混合运算是解题的关键．16．因式分解：（1）n2（m﹣2）+（2﹣m）；（2）4a2﹣b2﹣4a+1．【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式；（2）分组后用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式；解：（1）n2（m﹣2）+（2﹣m）＝n2（m﹣2）﹣（m﹣2）＝（m﹣2）（n2﹣1）＝（m﹣2）（n+1）（n﹣1）；（2）4a2﹣b2﹣4a+1＝（4a2﹣4a+1）﹣b2＝（2a﹣1）2﹣b2＝（2a+b﹣1）（2a﹣b﹣1）．【点评】本题主要考查了因式分解﹣分组分解法、提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，分解因式要彻底是解题关键．17．代数式x2﹣5x+1＝0，求代数式2x2+﹣5x+6的值．【分析】将所求式子进行整理，然后将x2﹣5x+1＝0代入原式即可求出答案．解：∵x2﹣5x+1＝0，x≠0，∴x+＝5，∴x2+2+＝25，∴x2+＝23，原式＝x2﹣5x+1+x2++5＝0+23+5＝28．【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是利用完全平方公式求出x2+＝23，本题属于基础题型．四.（本大题3小题，每小题8分，共24分）18．化简：（﹣x﹣1）÷，并从不等式组的解集中选择一个合适的整数解代入求值．【分析】先根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后解出x的值并代入原式即可求出答案．解：原式＝•＝•＝•＝﹣（x+2）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+2，∵，∴﹣1＜x≤2，由分式有意义的条件可知：x不能取1和2，故x＝0，原式＝0+0+2＝2．【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．19．如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，9）＝2，（4，1）＝0，（2，）＝﹣3；（2）若记（3，4）＝a，（3，7）＝b，（3，28）＝c，求证：a+b＝c．【分析】（1）根据有理数的乘方和新定义即可得出答案；（2）由题意得：3a＝4，3b＝7，3c＝28，根据4×7＝28，得到3a×3b＝3c，根据同底数幂的乘法法则得到3a+b＝3c，从而得出结论．解：（1）∵32＝9，40＝1，2﹣3＝，故答案为：2；0；﹣3；（2）证明：由题意得：3a＝4，3b＝7，3c＝28，因为4×7＝28，所以3a×3b＝3c，所以3a+b＝3c，所以a+b＝c．【点评】本题考查了有理数的乘方，新定义，根据4×7＝28，得到3a×3b＝3c是解题的关键．20．已知32x＝2016，63y＝2016，求（x﹣1）（y﹣1）的值．【分析】先将已知两等式变形，使指数化为x﹣1和y﹣1，再两边同时（x﹣1）次方可得结论．解：∵32x＝2016，63y＝2016，∴32x﹣1＝63，63y﹣1＝32，∴（63y﹣1）x﹣1＝32x﹣1，∴63（y﹣1）（x﹣1）＝63，∴（x﹣1）（y﹣1）＝1．【点评】本题主要考查幂的乘方和同底数幂的除法，解答的关键是对幂的乘方的法则的掌握与运用．五.（本大题2小题，每小题9分，共18分）21．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．（1）请你说明这个等式的正确性；（2）若a＝2014，b＝2015，c＝2016，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值；（3）已知实数x，y，z，a满足x+a2＝2014，y+a2＝2015，z+a2＝2016，且xyz＝36．求代数式++﹣﹣﹣的值．【分析】（1）等式右边中括号中利用完全平方公式展开看，合并后去括号得到结果，与左边比较即可得证；（2）根据（1）中的结论，将a，b，c的值代入右边计算即可求出值；（3）由xyz＝36，将代数式++﹣﹣﹣变形得到（x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣xz），再将x，y，z的值代入右边计算即可求出值．解：（1）等式右边＝（a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2）＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝左边，得证；（2）当a＝2014，b＝2015，c＝2016时，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]＝3；（3）∵xyz＝36，∴++﹣﹣﹣＝（x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣xz），∵x+a2＝2014，y+a2＝2015，z+a2＝2016，∴x＝﹣a2+2014，y＝﹣a2+2015，z＝﹣a2+2016，∴原式＝×3＝．【点评】此题考查了因式分解的应用，弄清题意是解本题的关键．22．阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（2+1）（2﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）＝232﹣1．（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）＝．（3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．【分析】（1）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；（2）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；（3）分m＝n与m≠n两种情况，化简得到结果即可．解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）＝232﹣1；故答案为：232﹣1（2）原式＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）＝；故答案为：；（3）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．当m≠n时，原式＝（m﹣n）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）＝；当m＝n时，原式＝2m•2m2•…•2m16＝32m31．【点评】此题考查了平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键．六、解答题（本小题12分）23．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式．原式＝x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值．原式＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．（1）分解因式：a2﹣2a﹣3＝（a+1）（a﹣3）．