2022-2023学年辽宁省鞍山二中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2022-2023学年辽宁省鞍山二中九年级第一学期月考数学试卷（10月份）一、单选题（每题3分）1．若（m﹣1）xm2+1﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．±12．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围（）A．k≥﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠04．如图，在△ABC中，∠A＝80°，AC＝BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′BC′，点A′恰好落在AC上，连接CC′，则∠ACC′的度数为（）A．110° B．100° C．90° D．70°5．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．﹣1或36．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，AB＝5，AC＝10，则CE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（）A． B． C． D．8．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③二、填空题（每题3分）9．已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应角平分线，若AD：A'D'＝4：3，△ABC的周长为16，则△A'B′C′的周长是．10．二次函数的图象开口向下，则m值为．11．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝12，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝时，△BPQ与△BAC相似．12．电影《我和我的祖国》一上映，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若增长率记作x，方程可以列为：．13．如图△ABC中，点D在AB边上，AD＝9，BD＝16，点E在BC边上，连接CD、AE交于点F，若F为AE边的中点，∠AEC＝∠BAC，则线段AF＝．14．已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系是（用“＜”连接）．15．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE＝x，FC＝y，则当E从点B运动到点C时（点E不与点B、C重合），有如下结论：①△ABE∽△ECF；②y＝﹣x2+x（0＜x＜4）；③当BE＝1时，＝；④当△ABE∽△AEF时，AF＝5；其中正确的结论为．16．如图所示，直线y＝x+与y轴相交于点D，点A1在直线y＝x+上，点B1在x轴上，且△OA1B1是正三角形，记作第一个正三角形；然后过B1作B1A2∥OA1与直线y＝x+相交于点A2，点B2在x轴上，再以B1A2为边作正三角形A2B2B1，记作第二个正三角形；同样过B2作B2A3∥B1A2与直线y＝x+相交于点A3，点B3在x轴上，再以B2A3为边作正三角形A3B3B2，记作第三个正三角形；…依此类推，则第n个正三角形的顶点An的横坐标为．三、解答题17．（1）用配方法解方程：2x2+5x﹣12＝0；（2）利用公式法解下列方程：（x+2）（2x﹣3）＝3x+2．18．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．（1）画出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；并写出B1的坐标．（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．（3）直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长．19．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k﹣2＝0有两个实数根（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且方程的根都是正整数，求此时k的值．20．（1）如图1，四边形ABCD和BEFG都是正方形，将正方形BEFG绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为α，则图中AG与CE的数量关系是，AG与CE的位置关系是；（2）如图2，四边形ABCD和BEFG都是矩形，且BC＝2AB，BE＝2BG，将矩形BEFG绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为α，图中AG与CE的数量和位置关系分别是什么？请仅就图2的情况给出证明．21．已知y＝（k+2）是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．（1）则k的值为；对称轴为．（2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为．（3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为．22．如图，在△ABC中，边AB绕点B顺时针旋转60度与BC重合，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若BD＝2，CE＝，求△ABC的边长．23．已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，且AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC．[初步感知]（1）特殊情形：如图①，当点D、E分别落在边AB、AC上时，那么DBEC．（填＜、＞或＝）[发现证明]（2）如图②，将图①中的△ADE绕点A旋转，当点D在△ABC外部，点E在△ABC内部时，求证：DB＝EC；[深入研究]（3）如图③，如果△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C、D、E在同一直线上，AM为△ADE中DE边上的高，则∠CDB的度数为，线段AM，BD，CD之间的数量关系为．24．今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，该电脑城决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？25．如图，△ABC中，CD是AB边中线，∠BDC＝120°．操作：把线段AC绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE，连接DE．（1）补全图形；（2）找出图中与DE相等的线段，并证明：（3）若∠CAD＝60°+∠BCD，其他条件不变，求的值．26．如图，已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A（﹣1，﹣1），B两点．（1）求a，k的值及点B的坐标；（2）在抛物线上求点P，使△PAB的面积是△AOB面积的一半；（写出详细解题过程）（3）点M在抛物线上，点N在坐标平面内，是否存在以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在直接写出M的坐标，若不存在说明理由．

参考答案一、单选题（每题3分）1．若（m﹣1）xm2+1﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．±1【分析】根据一元二次方程的定义得出m﹣1≠0且m2+1＝2，再求出m即可．解：∵（m﹣1）xm2+1﹣1＝0是关于x的一元二次方程，∴m﹣1≠0且m2+1＝2，解得：m＝﹣1，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出m﹣1≠0和m2+1＝2是关于x的一元二次方程是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；B．既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，正确掌握相关概念是解题关键．3．关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围（）A．k≥﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0【分析】根据判别式的意义得到b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4k×（﹣1）≥0且k≠0，然后解不等式即可．解：根据题意得b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4k×（﹣1）≥0且k≠0，解得k≥﹣1且k≠0．故选：D．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；也考查了因式分解法解一元二次方程．4．如图，在△ABC中，∠A＝80°，AC＝BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′BC′，点A′恰好落在AC上，连接CC′，则∠ACC′的度数为（）A．110° B．100° C．90° D．70°【分析】在△ABC中，可求得∠ABC和∠ACB，在△ABA′中由旋转的性质可求得α的大小，从而可求得∠CBC′，在△BCC′中可求得∠BCC′，从而可求得∠ACC′．解：∵AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝80°，∴∠ACB＝180°﹣80°﹣80°＝20°，∵以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′BC′，∴AB＝A′B，BC＝BC′，且∠CBC′＝α，∴∠BA′A＝∠A＝80°，∴α＝20°，∴∠CBC′＝20°，∴∠BCC′＝（180°﹣20°）＝80°，∴∠ACC′＝∠ACB+∠BCC′＝20°+80°＝100°．故选：B．【点评】本题主要考查旋转的性质和等腰三角形的性质，利用旋转的性质和等腰三角形的两底角相等求得α和∠ACB是解题的关键．5．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．﹣1或3【分析】根据方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，得出x1+x2与x1x2的值，再根据（x1+1）（x2+1）＝3，即可求出m的值．解：∵方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，∴x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2，∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝3，∴m2+2m﹣1+1＝3，解得：m1＝1，m2＝﹣3，∵方程有两实数根，∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，即m≤，∴m2＝1（不合题意，舍去），∴m＝﹣3；故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，AB＝5，AC＝10，则CE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出答案即可．解：∵DE∥BC，∴，∵AD＝2，AB＝5，AC＝10，∴，∴AE＝4，∴CE＝AC﹣AE＝10﹣4＝6，故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．7．已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（）A． B． C． D．【分析】本题可先由一次函数y＝ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2的图象相比较看是否一致．（也可以先固定二次函数y＝ax2图象中a的正负，再与一次函数比较．）解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误；C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误．故选：C．【点评】函数中数形结合思想就是：由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状．8．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．解：当∠ACP＝∠B，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当∠APC＝∠ACB，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AB•CP＝AP•CB，即＝，而∠PAC＝∠CAB，所以不能判断△APC和△ACB相似．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．二、填空题（每题3分）9．已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应角平分线，若AD：A'D'＝4：3，△ABC的周长为16，则△A'B′C′的周长是12．【分析】根据相似三角形的性质：对应角平分线的比等于相似比，周长的比等于相似比求解即可．解：∵△ABC∽△A'B'C′，AD和A'D是它们的对应角平分线，AD：A'D′＝4：3，∴△ABC与△A'B'C′的相似比为4：3，∴，∵△ABC的周长为16，∴，解得：L△A'B'C'＝12．故答案为：12．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比是解答此题的关键．10．二次函数的图象开口向下，则m值为﹣2．【分析】根据题意可得m2﹣2m﹣6＝2且m+1＜0，从而可求得此题结果．解：由题意得，m2﹣2m﹣6＝2且m+1＜0，解得m＝﹣2或m＝4，且m＜﹣1，∴m＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】此题考查了二次函数图象与性质的应用能力，关键是能准确理解以上知识并进行正确的计算．11．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝12，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝或6时，△BPQ与△BAC相似．【分析】直接利用△BPQ∽△BAC或△BPQ∽△BCA，分别得出答案．解：∵AB＝6，BC＝12，点P是AB边的中点，∴BP＝3．当△BPQ∽△BAC时，则，∴，解得：BQ＝6；当△BPQ∽△BCA时，则，∴，解得：BQ＝，综上所述：当BQ＝或6时，△BPQ与△BAC相似．故答案为：或6．【点评】本题考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键．12．电影《我和我的祖国》一上映，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若增长率记作x，方程可以列为：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．【分析】第一天为3亿元，根据增长率为x得出第二天为3（1+x）亿元，第三天为3（1+x）2亿元，根据三天累计为10亿元，即可得出关于x的一元二次方程．解：设平均每天票房的增长率为x，根据题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．故答案为：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．如图△ABC中，点D在AB边上，AD＝9，BD＝16，点E在BC边上，连接CD、AE交于点F，若F为AE边的中点，∠AEC＝∠BAC，则线段AF＝．【分析】由“AAS”可证△ADF≌△EHF，可得AD＝EH＝9，通过证明△EHC∽△BDC，△ABC∽△EAC，可求解．解：过点E作EH∥AB，交CD于点H，如图所示：∴∠ADF＝∠EHF，∵∠AFD＝∠EFH，AF＝EF，在△ADF和△EHF中，，∴△ADF≌△EHF（AAS），∴AD＝EH＝9，∵EH∥AB，∴△EHC∽△BDC，∴＝，∵∠AEC＝∠BAC，∠ACB＝∠ECA，∴△ABC∽△EAC，∴，即AC2＝EC•BC，设EC＝9x，BC＝16x，∴AC＝12x，∴＝，∴AE＝AB＝×（9+16）＝，∴AF＝AE＝；故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键．14．已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系是y2＜y1＜y3（用“＜”连接）．【分析】把点的坐标分别代入抛物线解析式可用a分别表示出y2、y1、y3的值，比较大小即可．解：∵y＝ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）三点，∴y1＝4a，y2＝a，y3＝9a，∵a＞0，∴a＜4a＜9a，∴y2＜y1＜y3，故答案为：y2＜y1＜y3．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．15．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE＝x，FC＝y，则当E从点B运动到点C时（点E不与点B、C重合），有如下结论：①△ABE∽△ECF；②y＝﹣x2+x（0＜x＜4）；③当BE＝1时，＝；④当△ABE∽△AEF时，AF＝5；其中正确的结论为①②④．【分析】①根据垂直的定义得到∠ABC＝∠AEF＝∠DCB＝90°，再根据等角的余角相等得到∠A＝∠CEF，根据三角形相似的判定得到Rt△ABE∽Rt△ECF；②利用相似比即可得到y与x之间的函数关系式．③利用相似三角形的性质即可判断；④首先证明BE＝CE＝2，再利用勾股定理求出AE、EF、AF即可判断；解：BE的长为x，则CE＝BC﹣BE＝4﹣x，CF的长为y，∵AB⊥BC，EF⊥AE，DC⊥BC，∴∠ABC＝∠AEF＝∠DCB＝90°，∴∠A+∠AEB＝90°，∠AEB＝∠CEF＝90°，∴∠A＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF，故①正确，∴＝，即＝，∴y＝﹣x2+x（0＜x＜4）．故②正确，当BE＝1时，CF＝，∴＝（）2＝，故③错误，如图1中，过点E作EH⊥AF于点H，∵△ABE∽△AEF，∴∠BAE＝∠EAH，∴AE平分∠BAH，∵EB⊥AB，EH⊥AF，∴BE＝EH，∵∠HEF+∠AEH＝90°，∠EAH+∠AEH＝90°，∴∠HEF＝∠EAH，∴∠HEF＝∠EAH＝∠BAE＝∠FEC，∴EF平分∠HEC，∵EH⊥AF，EC⊥CD，∴EH＝CE，∴BE＝EH＝CE；∴BE＝2，CF＝1，∴AE＝2，EF＝，∴AF＝＝5，故④正确，故答案为①②④．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．16．如图所示，直线y＝x+与y轴相交于点D，点A1在直线y＝x+上，点B1在x轴上，且△OA1B1是正三角形，记作第一个正三角形；然后过B1作B1A2∥OA1与直线y＝x+相交于点A2，点B2在x轴上，再以B1A2为边作正三角形A2B2B1，记作第二个正三角形；同样过B2作B2A3∥B1A2与直线y＝x+相交于点A3，点B3在x轴上，再以B2A3为边作正三角形A3B3B2，记作第三个正三角形；…依此类推，则第n个正三角形的顶点An的横坐标为3×2n﹣2﹣1．【分析】可设直线与x轴相交于C点．通过求交点C、D的坐标可求∠DCO＝30°．根据题意得△COA1、△CB1A2、△CB2A3…都是等腰三角形，且腰长变化有规律，在正三角形中求高即可求出第n个正三角形的顶点An的纵坐标，再求横坐标即可．解：如图，设直线与x轴相交于C点，分别作A1E，A1F，A1G垂直于x轴，垂足分别为E，F，G，令x＝0，则y＝；令y＝0，则x＝﹣1，∴OC＝1，OD＝，∵tan∠DCO＝＝，∴∠DCO＝30°，∵△OA1B1是正三角形，∴∠A1OB1＝60°，∴∠CA1O＝∠A1CO＝30°，∴OA1＝OC＝OB1＝1，∴第一个正三角形的高＝1×sin60°＝；同理可得：第二个正三角形的边长＝1+1＝2，高＝2×sin60°＝，第三个正三角形的边长＝1+1+2＝4，高＝4×sin60°＝2，第四个正三角形的边长＝1+1+2+4＝8，高＝8×sin60°＝4，…第n个正三角形的边长＝2n﹣1，高＝2n﹣2×，∴第n个正三角形顶点An的纵坐标是2n﹣2×，∴当y＝2n﹣2×时，2n﹣2×＝x+，∴x＝3×2n﹣2﹣1，∴第n个正三角形的顶点An的横坐标为3×2n﹣2﹣1．故答案为：3×2n﹣2﹣1．【点评】此题考查一次函数的应用及正三角形的有关计算，综合性强，难度大．三、解答题17．（1）用配方法解方程：2x2+5x﹣12＝0；（2）利用公式法解下列方程：（x+2）（2x﹣3）＝3x+2．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；（2）先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答．解：（1）2x2+5x﹣12＝0，x2+x﹣6＝0，x2+x＝6，x2+x+（）2＝6+（）2，（x+）2＝，x+＝±，x+＝或x+＝﹣，x1＝，x2＝﹣4；（2）（x+2）（2x﹣3）＝3x+2，整理得：x2﹣x﹣4＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝1+16＝17＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．18．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．（1）画出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；并写出B1的坐标（3，﹣3）．（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，并写出点C2的坐标（﹣3，1）．（3）直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长．【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．（3）利用勾股定理求出OB的长，再利用弧长公式计算即可．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．点B1的坐标为（3，﹣3）．故答案为：（3，﹣3）．（2）如图，△A2B2C2即为所求．点C2的坐标为（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．（3）由勾股定理得，OB＝＝，∴点B旋转到点B2所经过的路径长为＝＝．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、旋转变换、弧长公式，熟练掌握旋转和轴对称的性质以及弧长公式是解答本题的关键．19．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k﹣2＝0有两个实数根（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且方程的根都是正整数，求此时k的值．【分析】（1）根据判别式的意义得到）Δ＝（2k）2﹣4（k2+k﹣2）≥0，然后解不等式即可；（2）由于k为正整数，则k＝1或k＝2，然后分别求出k＝1和k＝2对应的方程的解，从而可判断满足条件的k的值．解：（1）Δ＝（2k）2﹣4（k2+k﹣2）≥0，解得k≤2；（2）当k＝1时，方程变形为x2﹣2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，当k＝2时，方程变形为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，所以满足条件的k的值为2．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．20．（1）如图1，四边形ABCD和BEFG都是正方形，将正方形BEFG绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为α，则图中AG与CE的数量关系是AG＝CE，AG与CE的位置关系是AG⊥CE；（2）如图2，四边形ABCD和BEFG都是矩形，且BC＝2AB，BE＝2BG，将矩形BEFG绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为α，图中AG与CE的数量和位置关系分别是什么？请仅就图2的情况给出证明．【分析】（1）延长AG交BC于N，交CE于H，由“SAS”可证△ABG≌△CBE，可得AG＝CE，∠GAB＝∠BCE，由三角形内角和定理可证AG⊥CE；（2）延长AG交BC于N，交CE于H，通过证明△ABG∽△CBE，可得＝2，∠BAG＝∠BCE，由三角形内角和定理可证AG⊥CE．解：（1）AG＝CE，AG⊥CE，理由如下：如图1，延长AG交BC于N，交CE于H，∵四边形ABCD和BEFG都是正方形，∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝∠GBE＝90°，∴∠ABG＝∠CBE，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG＝CE，∠GAB＝∠BCE，∵∠ANB+∠BAG＝90°，∴∠CNH+∠BCE＝90°，∴∠CHN＝90°，∴AG⊥CE，故答案为：AG＝CE，AG⊥CE；（2）CE＝2AG，AG⊥CE，理由如下：如图2，延长AG交BC于N，交CE于H，∵∠ABC＝∠GBE＝90°，∴∠ABG＝∠CBE，∵BC＝2AB，BE＝2BG，∴，且∠ABG＝∠CBE，∴△ABG∽△CBE，∴＝2，∠BAG＝∠BCE，∴CE＝2AG，∵∠ANB+∠BAG＝90°，∴∠CNH+∠BCE＝90°，∴∠CHN＝90°，∴AG⊥CE，【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．21．已知y＝（k+2）是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．（1）则k的值为﹣3；对称轴为y轴．（2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为（﹣1，﹣1）．（3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为﹣16＜y≤0．【分析】（1）根据二次函数定义以及当x＜0时，y随x的增大而增大．可得出结论；（2）根据函数的对称性求点A对称点的坐标即可；（3）当x＝﹣2时，y＝4，当x＝4时，y＝﹣16并结合函数图象求出y的取值范围．解：（1）由y＝（k+2）是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大，得，解得：k＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2，∴对称轴为y轴，故答案为：﹣3，y轴；（2）∵点A（1，m），∴当x＝1时，y＝﹣1，∴点A（1，﹣1）∴点A的对称点的坐标为（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）；（3）如图所示：当x＝﹣2时，y＝﹣22＝﹣4，当x＝4时，y＝﹣42＝﹣16，∴当﹣2≤x＜4时，﹣16＜y≤0，故答案为：﹣16＜y≤0．【点评】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，关键是求函数解析式．22．如图，在△ABC中，边AB绕点B顺时针旋转60度与BC重合，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若BD＝2，CE＝，求△ABC的边长．【分析】（1）首先根据旋转证明△ABC为等边三角形，然后利用等边三角形的性质与已知条件即可证明结论；（2）利用相似三角形的性质即可解决问题．【解答】（1）证明：∵在△ABC中，边AB绕点B顺时针旋转60度与BC重合，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC，∴∠BAD+∠BDA＝120°，∵∠ADE＝60°，∴∠BDA+∠CDE＝120°，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE；（2）解：∵△ABD∽△DCE，∴AB：CD＝BD：CE，∵BD＝2，CE＝，∴AB：（BC﹣BD）＝BD：CE，∴AB：（AB﹣2）＝2：，∴AB＝6，∴△ABC的边长为6．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，同时也利用了旋转的性质和方程思想，有一定的综合性．23．已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，且AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC．[初步感知]（1）特殊情形：如图①，当点D、E分别落在边AB、AC上时，那么DB＝EC．（填＜、＞或＝）[发现证明]（2）如图②，将图①中的△ADE绕点A旋转，当点D在△ABC外部，点E在△ABC内部时，求证：DB＝EC；[深入研究]（3）如图③，如果△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C、D、E在同一直线上，AM为△ADE中DE边上的高，则∠CDB的度数为90°，线段AM，BD，CD之间的数量关系为2AM+BD＝CD．【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得到DB＝EC；（2）由SAS证明△DAB≌△EAC，即可得到DB＝CE；（3）由SAS证明△DAB≌△EAC，再由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）解：如图①中，∵AD＝AE，AB＝AC，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝EC；故答案为：＝，（2）证明：如图②中，由旋转性质可知∠DAB＝∠EAC，在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB＝EC；（3）解：如图③中，∵△DAE是等腰直角三角形，∴∠AED＝45°，∴∠AEC＝135°，在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴∠ADB＝∠AEC＝135°，BD＝CE，∵∠ADE＝45°，∴∠CDB＝∠ADB﹣∠ADE＝135°﹣45°＝90°，∵△ADE是等腰直角三角形，AM为△ADE中DE边上的高，∴AM＝DE＝EM＝DM，∵DE+CE＝CD，∴2AM+BD＝CD，故答案为：90°，2AM+BD＝CD．【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转变换的性质和等腰直角三角形的性质，证明△DAB≌△EAC是解题的关键，属于中考常考题型．24．今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，该电脑城决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？【分析】（1）设平均下降率为x，利用2021年该类电脑显卡的出厂价＝2019年该类电脑显卡的出厂价×（1﹣下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（38﹣m）元，每天可售出（20+2m）个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润＝每个的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值即可得出结论．解：（1）设平均下降率为x，依题意得：200（1﹣x）2＝162，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：平均下降率为10%．（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）个，依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，整理得：m2﹣28m+195＝0，解得：m1＝15，m2＝13．∵为了减少库存，∴m＝15，答：单价应降低15元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25．如图，△ABC中，CD是AB边中线，∠BDC＝120°．操作：把线段AC绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE，连接DE．（1）补全图形；（2）找出图中与DE相等的线段，并证明：（3）若∠CAD＝60°+∠BCD，其他条件不变，求的值．【分析】（1）根据旋转的性质即可补全图形；（2）在DC上取点F，使DF＝AD，连接AF，AE，EF，证明△ADF是等边三角形，△AEC是等边三角形，然后证明△EAF≌△CAD和△EDF≌△CBD，进而可得结论；（3）首先证明△CDB∽△AFC，设DB＝x，则DF＝AF＝x，所以CD＝DF+FC＝x+FC，由＝，可得＝，解得FC＝，进而可得结论．解：（1）如图，即为补全的图形；（2）DE＝BC，证明：如图，在DC上取点F，使DF＝AD，连接AF，AE，EF，∵∠BDC＝120°，∴∠ADF＝60°，∴△ADF是等边三角形，∴AF＝AD，∠DAF＝60°，由旋转的性质可知：AC＝EC，∠ACE＝60°，∴△AEC是等边三角形，∴AE＝AC，∠EAC＝60°，∴∠EAF+∠CAF＝∠DAF+∠CAF，∴∠EAF＝∠CAD，在△EAF和△CAD中，，∴△EAF≌△CAD（SAS），∴EF＝CD，∠AFE＝∠ADC＝60°，∴∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝120°，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∴DF＝BD，在△EDF和△CBD中，，∴△EDF≌△CBD（SAS），∴DE＝BC；（3）∵∠CAD＝60°+∠BCD，∠CAD＝∠DAF+∠CAF＝60°+∠CAF，∴∠BCD＝∠CAF，∵∠AFD＝60°，∴∠AFC＝120°，∴∠C