2019年高中数学学业水平考试模拟试卷(三)

2019高中学业水平考试《数学》模拟试卷(三)一、选择题(本大题共25小题，第1～15题每小题2分，第16～25题每小题3分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1.已知α＝130°，则角α的终边在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A＝{eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))(x＋2)(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是()A.－2∈AB.1∉AC.2∈AD.－1∈A3.函数y＝lg(x＋1)的定义域是()A.(0，＋∞)B.(－∞，＋∞)C.[－1，＋∞)D.(－1，＋∞)4.如果直线x－2y－1＝0和y＝kx互相平行，则实数k的值为()A.2B.eq\f(1,2)C.－2D.05.已知a＝(2，4)，b＝(x，2)，且a⊥b，则x的值是()A.4B.1C.－1D.－46.在空间中，下列命题正确的是()A.平行于同一平面的两条直线平行B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一直线的两条直线平行D.垂直于同一平面的两条直线平行7.焦点在x轴上，且a＝3，b＝2的双曲线的标准方程是()A.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1B.eq\f(y2,3)－eq\f(x2,2)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1D.eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝18.“x＝0”是“xy＝0A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件9.在数列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，则数列{an}的前五项的和等于()A.－25B.25C.－31D.3110.若a>b，则下列各式正确的是()A.a＋2>b＋2B.2－a>2－bC.－2a>－2bD.a2>b11.不等式(x＋1)(x＋2)<0的解集是()A.{eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))－2<x<－1}B.{eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x<－2或x>－1}C.{eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))1<x<2}D.{eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x<1或x>2}12.在△ABC中，a＝2，b＝eq\r(2)，∠A＝eq\f(π,4)，则∠B＝()A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°13.在不等式2x＋y－6<0表示的平面区域内的点是()A.(0，1)B.(5，0)C.(0，7)D.(2，3)14.函数y＝cos2x－sin2x是()A.周期为2π的奇函数B.周期为2π的偶函数C.周期为π的奇函数D.周期为π的偶函数

15.计算8·sin15°·cos15°·cos30°·cos60°的结果为()A.－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C.－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)16.圆x2＋y2－ax＋2＝0经过点A(3，1)，则圆的半径为()A.8B.4C.2D.eq\r(2)17.已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1经过(－5，0)和(0，4)，则它的离心率为()A.eq\f(5,4)B.eq\f(5,3)C.eq\f(4,5)D.eq\f(3,5)18.设等差数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＝n2＋n＋c，则c的值为()A.－1B.1C.0D.2(第19题)19.如图为函数y＝m＋lognx的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的()A.m<0，n>1B.m>0，n>1C.m>0，0<n<1D.m<0，0<n<120.平面上满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥2，,x＋y≤0，,x－y－6≤0))的点(x，y)形成的区域为D，且区域D和E关于直线y＝2x－1对称，则区域D和区域E中距离最近的两点的距离为()A.3B.eq\r(5)C.2eq\r(,5)D.421.函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是()A.(2,1)B.(1，0)C.(0，1)D.(1，2)22.已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－1)，n＝(2，1)，且n·eq\o(AC,\s\up6(→))＝7，则n·eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A.－2B.0C.2D.－2或223.若函数f(x)＝eq\f(k－2x,1＋k·2x)(k为常数)在定义域上为奇函数，则k的值为()A.1B.－1C.0D.－1或124.某同学研究了①y＝x－1；②y＝x－2；③y＝x3；④y＝xeq\s\up6(\f(1,3))其中的一个函数，并给出两个性质：(1)定义域是{x|x∈R且x≠0}；(2)值域是{y|y∈R且y≠0}，如果他给出的两个性质中，有一个正确，一个错误，则他研究的函数是()A.①B.②C.③D.④(第25题)25.如图，F1，F2分别是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)(a，b＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则双曲线C的离心率是()A.eq\f(2\r(3),3)B.eq\f(\r(6),2)C.eq\r(2)D.eq\r(3)二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)26.抛物线y2＝2x的通径为________．27.在△ABC中，∠A＝eq\f(π,3)，a＝eq\r(3)，b＝1，则c＝________．28.y＝logax(a>1)在[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为________29.若点P(x，y)在直线x＋2y－4＝0上运动，则它的横、纵坐标之积的最大值是________．30.若O是△ABC所在平面内一点，且满足|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，则△ABC的形状为________．三、解答题(本大题共4小题，第31，32题每题7分，第33，34题每题8分，共30分)31.(本题7分)已知0<α<eq\f(π,2)，sinα＝eq\f(4,5).(1)求tanα的值；(2)求cos2α＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))的值．32.(本题7分，有A、B两题，任选其中一题完成，两题都做，以A题计分)(A)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，点E、F分别是PD、BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)求证：AD⊥PB.,[第32题(A)]),[第32题(B)])(B)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值．33.(本题8分)在等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(1,nan)，求数列{bn}的前n项和Sn.34.(本题8分)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．(1)如果直线l过抛物线的焦点，求eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的值；(2)如果eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－4，求证：直线l必过一定点，并求出该定点．2019高中学业水平考试《数学》模拟试卷(三)1.B2.A3.D4.B5.D6.D7.C8.B9.D10.A11.A12.A13.A14.D15.D16.D17.D18.C19.D20.C21.C22.C23.D24.B25.B[提示：|OB|＝b，|OF1|＝c.∴kPQ＝eq\f(b,c)，kMN＝－eq\f(b,c).直线PQ为：y＝eq\f(b,c)(x＋c)，两条渐近线为：y＝eq\f(b,a)x.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,c)（x＋c），,y＝\f(b,a)x，))得Q(eq\f(ac,c－a)，eq\f(bc,c－a))．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,c)（x＋c），,y＝－\f(b,a)x，))得P(eq\f(－ac,c＋a)，eq\f(bc,c＋a))．∴直线MN为y－eq\f(bc,c＋a)＝－eq\f(b,c)(x－eq\f(－ac,c＋a))，令y＝0得xM＝eq\f(c3,c2－a2).又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝xM＝eq\f(c3,c2－a2)，解得e2＝eq\f(c2,aa)＝eq\f(3,2)，即e＝eq\f(\r(6),2).]26.227.228.eq\r(3,2)29.230.直角三角形[解析：|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))|，根据平行四边形法则，对角线相等，所以∠A为直角．]31.解：(1)∵cosα＝eq\f(3,5)，∴tanα＝eq\f(4,3).(2)cos2α＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝1－2sin2α＋cosα＝eq\f(8,25).32.(A)证明：(1)取PA的中点G，连接BG，EG，则EG綊BF，∴四边形BFEG为平行四边形，∴EF∥BG，∴EF∥平面PAB.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，又AB⊥AD，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB.(B)(1)连接AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，∴M为AB′的中点．又∵N为B′C′的中点，∴MN∥AC′，又∵MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，∴MN∥平面A′ACC′.(第32题)(2)以A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA′为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系Oxyz，如图所示，设AA′＝1，则AB＝AC＝λ，于是A(0，0，0)，B(λ，0，0)，C(0，λ，0)，A′(0，0，1)，B′(λ，0，1)，C′(0，λ，1)，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)，0，\f(1,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)，\f(λ,2)，1)).设m＝(x1，y1，z1)是平面A′MN的法向量，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)x1－\f(1,2)z1＝0，,\f(λ,2)y1＋\f(1,2)z1＝0，))可取m＝(1，－1，λ)．设n＝(x2，y2，z2)是平面MNC的法向量，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(λ,2)x2＋\f(λ,2)y2－z2＝0，,\f(λ,2)y2＋\f(1,2)z2＝0，))可取n＝(－3，－1，λ)，∵二面角A′－MN－C为直二面角，∴m·n＝0，即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝eq\r(2).33.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a7＝4，,a19＝2a9，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋6d＝4，,a1＋18d＝2（a1＋8d），))解得a1＝1，d＝eq\f(1,2).∴{an}的通项公式为an＝eq\f(n＋1,2).(2)bn＝eq\f(1,nan)＝eq\f(2,n（n＋1）)＝eq\f(2,n)－eq\f(2,n＋1)，∴Sn＝