北航机械考研971972动力学课后答案概5

拉格朗日方程从虚位移原理能够获得受理想拘束的质点系不含拘束力的均衡方程，而动静法(达朗贝尔原理)则将列写均衡方程的静力学方法应用于成立质点系的动力学方程，将这二者联合起来，即可获得不含拘束力的质点系动力学方程,这就是动力学广泛方程。而拉格朗日方程则是动力学广泛方程在广义坐标下的详细表现形式。拉格朗日方程能够用来成立不含拘束力的动力学方程，也能够用来在给定系统运动规律的状况下求解作用在系统上的主动力。假如要想求拘束力，能够将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。往常，我们将牛顿定律及成立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力学)，将拉格朗日方程及成立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。拉格朗日力学经过位形空间描绘力学系统的运动，它合适于研究受拘束质点系的运动。拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要的作用。本章内容有：动力学广泛方程；拉格朗日方程；拉格朗日方程的初次积分。一、动力学广泛方程将动静法与虚位移原理联合，就获得了动力学广泛方程：受有理想拘束的质点系在运动过程中，其上所受的主动力和惯性力在质点系的任何虚位移上所做的虚功之和为零。动力学广泛方程只管被称之为方程，但在实质应用时，我们更应将它视为一个原理：动力学广泛原理，它指导我们列写动力学方程。假如你能娴熟应用虚位移原理，则动力学广泛方程的应用将是一个很熟悉的过程：在考虑系统的主动力的同时再加入系统的惯性力，而后对该力系应用虚位移原理。在实质应用中，当加入系统的惯性力时，经常要增补运动学方程：系统的速度、加快度之间的关系。运用动力学广泛方程成立的独立的动力学方程的个数等于系统的自由度，这一点也是与虚位移原理同样。一般而言，假如要成立系统在特别地点的动力学关系，能够考虑应用动力学广泛方程。假如要成立系统在随意一般地点的动力学关系，则应试虑应用拉格朗日方程。二、拉格朗日方程拉格朗日方程是动力学广泛方程在广义坐标下的详细表现形式。在教材中,拉格朗日方程有三种形式,分别对应着一般状况、主动力有势以及主动力部分有势的状况。拉格朗日方程的一般形式是：dTT,k)Qj,(j1,dtqjqj（11－1）1此中：T是系统的以广义坐标和广义速度(q1,,qk,q1,,qk)表示的动能，Qj是全部主动力对应于广义坐标qj的广义力。看作用于系统上的全部主动力和内力均为有权力时，拉格朗日方程能够写成以下形式：dLL0,(j1,,k)dtqjqj（11－2）此处：LTV，V是系统的以广义坐标表示的势能。L称为拉格朗日函数，也称动势。看作用于系统上的全部主动力和内力部分为有权力时，拉格朗日方程能够写成以下形式：dLLdtqjQ'j,qj此处：Q'j为全部非有权力对应于广义坐标朗日函数。

(j1,,k)（11－3）qj的广义力，全部的有权力计入系统的拉格从拉格朗日方程的形式看，应用拉格朗日方程时只波及速度剖析，不波及更复杂的加快度剖析。所以假如问题中不要求求解拘束力，则拉格朗日方程是一个很好的选择。三、广义力的计算方法一：为求出非有权力对应于广义坐标qj的广义力Q'j，可取特别的虚位移qj0，而其他的qi0,i1,...,j1,j1,...,k，求出全部非有权力在该虚位移上所做的虚功[W]qj，则应有[W]qjQ'jqj由此可得出Qj'[W]qjqj在下一节的例子中我们将看到它的应用。方法二：假如系统上作用的主动力Fi的作用地点是(xi,yi,zi),(i=1,...,n)，将其表示成广义坐标的函数：xixi(q1,...,qk)yiyi(q1,...,qk)zizi(q1,...,qk)则对应于广义坐标qj的广义力Q'j可由以下公式求出：nxiyizi)Qj'(FixFiyFizi1qjqjqj四、拉格朗日方程的初次积分拉格朗日方程是一组二阶常微分方程。一般状况下，方程是非线性的，求解很困难。但对某些种类的系统，能够利用系统的特征给出某些初次积分，使部分二阶常微2分方程降阶，这对整个微分方程组的定性剖析和数值求解都是很有帮助的。拉格朗日方程是对受理想拘束的动力学系统成立的方程，所研究的系统的范围有所减小，较之牛顿力学的方程，拉格朗日方程包括的信息增添，所以更简单找寻初次积分。对于权力场中的拉格朗日方程，存在两类初次积分：循环积分和初次积分。（1）循环积分一般而言，拉格朗日函数L会显含全部广义速度(q1,,qk)，但可能会不显含某些广义坐标，在这类场合我们可获得循环积分，L中显缺的广义坐标称为循环坐标。设质点系的前r个坐标是循环坐标，则有循环积分L常量，（j1,,r)pjqj（11－4）pj称为对应于广义坐标qj的广义动量(j=1,...,r)。循环积分的力学意义就是：对应于循环坐标的广义动量守恒。（2）能量积分系统的动能是广义坐标和广义速度(q1,,qk,q1,,qk)以实时间t的函数。能够将动能分解成以下形式：TT2T1T0

（11－5）此中T2、T1和T0分别为动能对于广义速度的二次齐次函数、一次齐次函数和零次齐次函数。假如在拉格朗日函数中不显含时间t，则有能量积分T2T0VEo常量（11－6）该积分表示了质点系的部分能量之间的关系，称之为广义能量积分。它同机械能守恒定理是有区其他。该积分常出此刻相对于非惯性系运动的质点系中。对于定常拘束，TT2，能量积分的形式为：T2VTVE常量（11－7）这就是往常意义下的权力场中系统的机械能守恒定律。5-2滑轮组上悬挂有质量为10kg的重物M1和质量为8kg的重物M2，以下图。忽视滑轮的质量，试求重物M2的加快度a2及绳的拉力。解：取整个系统为研究对象，不考虑摩擦，该系统拥有理想拘束。作用在系统上的主动力为重物的重力M1g,M2g。假定重物M2的加快度a2的方向竖直向下，则重物M1的加快度a1竖直向上，两个重物惯性力FI1,FI2为：FI1M1a1FI2M2a2(1)该系统有一个自由度，假定重物M2有一直下的虚位移x2，则重物M1的虚位移x1竖直向上。由动力学广泛方程有：3WM1gx1M2gx2FI1x1FI2x20（2）依据运动学关系可知：x11x2a11a2（3）22FI2将(1)式和(3)式代入(2)式，可得对于随意x20有：a24M22M1g2.8(m/s2)I14M2M1δx1M2g方向竖直向下。取重物M2为研究对象，受力以下图，由牛顿第二定律有：M2gTM2a2M1gδx2T解得绳索的拉力T56.1(N)。此题也能够用动能定理，动静法，拉格朗日方程求解。M2g5-4以下图，质量为m的质点悬在一线上，线的另一端绕在一半径为a2R的固定圆柱体上，构成一摆。设在均衡地点时，线的下垂部分长度为l，且不计线的质量，试求摆的运动微分方程。解：该系统为守旧系统，有一个自由度，取为广义坐标。系统的动能为：T1m[(lR)]22取0为零势位，则系统的势能为：Vmg[Rsin(lR)cos]dLLLTV，代入拉格朗日方程有：()0拉格朗日函数dt整理得摆的运动微分方程为：(lR)R2gsin05-6质量为m的质点在重力作用下沿旋轮线导轨运动，以下图。已知旋轮线的方程为s4bsin，式中s是以O为原点的弧坐标，是旋轮线的切线与水平轴的夹角。试求质点的运动规律。解：该系统为守旧系统有一个自由度，取弧坐标S为广义坐标。系统的动能为：1mS22取S0为零势位，系统的势能为：mgh4h由题可知dhsinS，所以有：dS4bhssdsS204b8b则拉格朗日函数：LTV1mS2mgS228b代入拉格朗日方程：d(L)L0，整理得摆的运动微分方程为：SgS0，dtSS4b解得质点的运动规律为：SAsin(1gt0)，此中A,0为积分常数。2b5-13质量为m的质点沿半径为r的圆环运动，圆环以匀角速度绕铅垂直径AB转动，以下图。试成立质点的运动微分方程，并求保持圆环匀角速度转动所必要的转矩M。解：1.求质点的运动微分方程圆环（质量不计）以匀角速度绕铅垂轴AB转动，该系统有一个自由度，取角度为广义坐标。系统的动能为：T1m(r)21m(rsin)222取0为零势位，系统的势能为：Vmgr(1cos)则拉格朗日函数：LTV1mr2(22sin2)mgr(1cos)2d(L)L0代入拉格朗日方程：dt，整理得质点的运动微分方程为：(g2cos)sin0r2.求保持圆环作匀速转动的力偶M假如求力偶M，一定考虑圆围绕铅垂轴AB的一般转动。所以排除“圆围绕铅垂轴AB匀速转动”这一约束，将力偶M视为主动力。此时系统有两个自由度，取角度和圆围绕轴AB的转角为广义坐标，系统的势能不变，动能表达式中以取代，则拉格朗日函数为：5LTV1mr2(22sin2)mgr(1cos)2力偶M为非有权力，它对应于广义坐标和的广义力计算以下：取0,0，在这组虚位移下力偶M所作的虚功为[W]0，所以力偶M对应于广义坐标的广义力QM0；取0,0，在这组虚位移下力偶M所作的虚功为[W]M，所以力偶M对应于广义坐标的QM[W]M广义力；代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程

d(L)LQM0dt，整理可得：g0sinrd(L)LQMMdt，整理可得：mr2sin2mr2sin2M圆围绕铅垂轴AB匀速转动，即：,0，代入上式可得：Mmr2sin25-14以下图，质量为m的物体可绕水平轴O1O2转动，轴O1O2又绕铅垂轴OC以匀角速度转动。物体的质心G在垂直于O1O2的直线上，O3Gl。设O1O2和O3G是物体过O3点的惯量主轴，转动惯量为J1和J2，物体对另一过O3点的惯量主轴的转动惯量为J3，试求物体的动能表达式并成立物体的运动微分方程。解：垂直于O1O2的平面z’z’O3x’y’θG以该物体为研究对象，有一个自由度，取3G和OC的夹角为广义坐标。若以框架O1O2OC为动系，则θ绕轴O1O2的定轴转动，牵涉运动是以角速度y’物体的相对运动是以角速度绕OC轴的定轴转动，物体的绝对角速度a是θ和ω的矢量之和。为了方便起见，以O1O2为x轴，O3G为y轴，如图成立一个固连在物体上的坐标系，则该刚体的角速度a可表示成：aθicosjsinz6因为坐标系O3xyz的三个坐标轴为过O3点的三个惯量主轴，则系统的动能为：T1[J12J2(cos)2J3(sin)2]2取0为零势位，系统的势能为：Vmgl(1cos)则拉格朗日函数：LTV1[J12J2(cos)2J3(sin)2]mgl(1cos)2代入拉格朗日方程：dLL()0dt，整理后，可得物体的运动微分方程为：J12(J2J3)sincosmglsin5-17重P1的楔块可沿水平面滑动，重P2的楔块沿楔块A的斜边滑动，在楔块B上作用一水平力F，以下图。忽视摩擦，角已知，试求楔块A的加快度及楔块B的相对加快度。解：A水光滑动的位移x，以及楔块B相对于A取楔块A，B构成的系统为研究对象，该系统有二个自由度，取楔块的沿斜面滑动的位移s为广义坐标。若以楔块A为动系，楔块A的速度vA，楔块B的速度vB，以及B相对于A的相对速度知足以下的矢量关系（方向以下图）：vBvAvBr系统的动能为：vBrT1212mAvAmBvB22P1x2P2[(xscos)2(ssin)2]vA2g2g1(P1P2)x21P2cosxs1P2s22gg2g取过x轴的水平为零势面，系统的势能为：VP2ssin则拉格朗日函数：LTV1(P1P2)x21P2cosxs1P2s2P2ssin2gg2g7将水平力F视为非有权力，它对应于广义坐标x和s的广义力计算以下：取x0,s0，在这组虚位移下力F所作的虚功为[W]xFx，所以力F对应于广义坐标x的广义力FF；Qx取x0,s0，在这组虚位移下力F所作的虚功为[W]sFcoss，所以力F对应于广义坐标s的广义力FFcosQs；d(L)LQxFF代入拉格朗日方程dtxx，整理可得：(P1P2)xP2cossFg（1）代入拉格朗日方程d(L)LQsFFcos，整理可得：dtssP2cosxP2s(FcosP2sin)g（2）由方程(1)和方程(2)解得：楔块A的加快度：aAxFsinP2cosgsinP1P2sin2，方向水平向右。楔块B的相对加快度：aBrsFP1cos(P1P2)P2singP2(PP2sin2)，方向沿斜面向上。15-18在圆滑水平面上放一质量为m的三角形楔块ABC，质量为m1，半径为r的均质圆柱沿楔块的AB边转动而不滑动，以下图。试求楔块的加快度及圆柱的角加快度。解：x，以取楔块ABC和圆柱构成的系统为研究对象，该系统为守旧系统，有二个自由度，取楔块水光滑动的位移及圆柱的转角（A点=0）为广义坐标。若以楔块为动系，楔块的速度vA，圆柱轴心O的速度vo，以及轴心O相对于A的相对速度知足以下的矢量关系（方向以下图）：vOvAvOr圆柱在斜面上作纯转动有：vOrr

vA系统的动能为：φvOrT1mv21mv21(1mr2)22A21O2211mx21m1[(xrcos)2(rsin)2]1m1r222241(mm1)x2m1rcosx3m1r2224取过楔块上A点的水平为零势面，系统的势能为：Vm1grsin则拉格朗日函数：LTV1(mm1)x2m1rcosx3m1r22m1grsin24dLL0()x代入拉格朗日方程dtx，整理可得：(mm1)xm1rcos0（1）d(L)L0代入拉格朗日方程dt，整理可得：3r2xcos2gsin（2）由方程(1)和方程(2)解得：楔块的加快度：m1sin2ax3(mm1)2m1cos2g，方向水平向左。圆柱的角加快度：2(mm1)sing[3(mm1)2m1cos2]r，顺时针方向。5-21系统由定滑轮A和动滑轮B以及三个重物构成，以下图。重物M1,M2,M3的质量分别为m1,m2,m3，mm2m,mm，滑轮的质量忽视不计。若初始时系统静止，试求欲使M1降落，质量m1,m2和m之间13233的关系。解：9以三个重物和滑轮构成的系统为研究对象，该系统为守旧系统，有二个自由度（以下图）标为x1，重物M2相对于滑轮B的轮心的地点为x2。系统的动能为：T1mx21m(x1x)21m(xx)211223122221(m1m2m3)x121(m2m3)x22(m3m2)x1x222取x1x20时为系统零势能位，则随意地点系统的势能为：Vm1gx1m2g(x2x1)m3g(x1x2)(m1m2m3)gx1(m2m3)gx2拉格朗日函数：LTV1(m1m2m3)x121(m2m3)x22(m3m2)x1x222(m1m2m3)gx1(m2m3)gx2d(LLdt)0代入拉格朗日方程x1x1，整理可得：(m1m2m3)x1(m2m3)x2(m1m2m3)g0（1）dLL()0代入拉格朗日方程dtx2x2，整理可得：(m2m3)x2(m2m3)x1(m2m3)g0（2）由方程(1)和方程(2)解得重物M1的加快度：a1x1m1(m2m3)4m2m3gm1(m2m3)4m2m3，初始时刻系统静止，若使M1降落则a10，即：m14m2m3m2m3

。设重物M1的坐x1x25-22重P1的平台AB置于水平面上，物体M重P2，弹簧的刚度系数为k，以下图。在平台上施加水平力F，忽视摩擦。假如系统从静止开始运动，此时弹簧物变形，试求平台和物体M的加快度。10解：取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取平台的水平坐标x，以及物体M相对于平台的坐标s（弹簧原长为坐标原点）为广义坐标。系统的动能为：TP1x2P2(xs)22g2g1P2)x2112l0s(P1P2xsP2s2gg2g取弹簧未变形时局能为零，则系统的势能为：1ks22则拉格朗日函数：LTV1(P1P2)x21P2xs1P2s21ks22gg2g2

x将水平力F视为非有权力，它对应于广义坐标x和s的广义力计算以下：取x0,s0，在这组虚位移下力F所作的虚功为[W]QxFF；取x0,s0，在这组虚位移下力F所作的虚功为[W]QsF0；d(L)LQxFF代入拉格朗日方程dtxx，整理可得：(P1P2)xP2sFgd(L)LQsF0代入拉格朗日方程dtss，整理可得：

xFx，所以力F对应于广义坐标x的广义力s0，所以力F对应于广义坐标s的广义力1）P2xP2skgs0（2）由方程(1)可得：xFgP2s（3）(P1P2)(PP2)1代入方程(2)得：P1P2s(P1P2)kgsP2Fg（4）解微分方程（4）得：sP2FcosptP2FP2)，k(P1P2)k(P1此中：11p2(P1P2)kgP1P2。求导得：FgcosptP1代入方程(3)可得：平台的加快度：a1xFg(1P2cospt)P1P2P1，方向水平向右。物体M的加快度：Fg(1cospt)a2xsP1P2，方向水平向右。5-27质量为m1的滑块M1可沿圆滑水平面滑动，质量为m2的小球M2用长为l的杆AB与滑块连结，杆可绕轴A转动，以下图。若忽视杆的重量，试求系统的初次积分。解：取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取滑块的水平坐标x，以及杆AB与铅垂方向的夹角为广义坐标。系统的动能为：T1m1vA21m2vB2vA221m1x21m2[(xlcos)2(lsin)2]221(m1m2)x2m2lcosx1m2l2222vBA设0时局能为零，系统的势能为：Vm2gl(1cos)拉格朗日函数：LTV1(mm)x2mlcosx1ml22mgl(1cos)2122222拉格朗日函数中不显含广义坐标x和时间t，存在循环积分和广义能量积分，即：LT(m1m2)xm2lcos常数xxTV1(m1m2)x2m2lcosx1m2l22m2gl(1cos)常数225-28图示质量为m2的滑块B沿与水平成倾角的圆滑斜面下滑，质量为m1的均质细杆OD借助铰链O和螺旋弹簧与滑块B相连，杆长为l，弹簧的刚度系数为k。试求系统的初次积分。解：12取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取滑块B沿斜面的坐标s，以及杆OD与铅垂方向的夹角为广义坐标。杆OD作平面运动，有：vCvBvCB则系统的动能为：vCBCT1m1vC21(1m1l2)21m2vB2φ221221l]2}11vBm1{[ssin()]2[scos()m1l22m2s2α222421(m1m2)s21m1lscos()1m1l22226设s0,900时局能为零，系统的势能为：Vm1glcos(m1m2)gssin1k222拉格朗日函数LTV中不显含时间t，存在广义能量积分，即：TV1(m1m2)s21m1lscos()1m1l22226m1glcos(m1m2)gssin1k2常数225-29半径为r、质量为m的圆柱，沿半径为R、质量为m0的空心圆柱内表面转动而不滑动，以下图。空心圆mr2柱可绕自己的水平轴O转动。圆柱对各自轴线的转动惯量为2和m0R2。试求系统的初次积分。解：以圆柱和圆筒构成的系统为研究对象，该系统有二个自由度，取,为广义坐标。系统的动能为：T1mR221mv21(1mr2)2202O122此中：vO1(Rr)，圆柱相对于圆筒作纯转动，由圆柱轴心O1以及圆柱上与圆筒相接触的点的速度关系，可得：1[(Rr)R]代入动能有：13T1(2mm)R223m(Rr)221m(Rr)R4042设0为零势位，系统的势能为：Vmg(Rr)(1cos)，拉格朗日函数：LTV1(2m0m)R223m(Rr)221m(Rr)Rmg(Rr)(1cos)442拉格朗日函数中不显含广义坐标和时间t，存在循环积分和广义能量积分，即：LTm0R21mR[(Rr)R]p02TV1mR221m[(Rr)R]21m(Rr)22mg(Rr)(1cos)E20420思虑题与习题（拉格朗日方程）11-1.试用拉格朗日方程导出刚体的定轴转动微分方程和刚体的平面运动动力学方程。11-2.在拉格朗日函数中能够不显含时间，也能够不显含某些广义坐标(循环坐标)，但它会不显含某些广义速度吗？为何？11-3.从拉格朗日方程，我们能够很简单地看出对于主动力有势的系统(守旧系统)，系统的动力学行为完整由一个函数确立，从牛顿动力学方程你能看出这一点吗？11-4.广义速度是广义坐标对于时间的导数，怎样理解广义速度却可视为独立变量？11-