2021-2022学年福建省石狮市第八中学高一下学期第一次月考数学试题及答案解析

-2022学年福建省石狮市第八中学高一下学期第一次月考数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知复数z1=3+4i，z2=3−4A.8i B.6 C.6+8i 2.某大学为了了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取学生的人数是(

)A.40 B.50 C.60 D.703.已知向量a=(6,−2)，b=(1,m)，且a⊥b，则A.8 B.45 C.10 D.4.已知向量AB=a+2b，BC=5a+3A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线

C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线5.已知某地区有中学生9000人，其人数情况和近视情况分别如图1和图2所示，则下列说法正确的是(

)

A.该地区高中生近视的人数是1800

B.该地区初中生近视的人数是3600

C.该地区初中生近视的人数低于高中生近视的人数

D.该地区中学生近视的人数占总人数的45%6.若样本x1+1,x2+1,⋯,xn+1的平均数为10A.平均数为20，方差为8 B.平均数为20，方差为10

C.平均数为21，方差为8 D.平均数为21，方差为107.已知单位向量a，b满足a⋅b=0，若向量c=7A.73 B.23 C.798.某学校有男生400人，女生600人．为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间均值为7小时，方差为0.5.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为(

)A.0.45 B.0.62 C.0.7 D.0.76二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.给定组数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的(

)A.中位数为3 B.方差为85

C.众数为2和3 D.第85%分位数为10.已知i为虚数单位，复数z满足z(2−i)= i2020，则下列说法错误的是(

)A.复数z的模为15 B.复数z的共轭复数为−25−15i

C.复数z11.下列选项中错误的是(

)A.对于△ABC，若sin2A+sin2B+cos2C<1，则△ABC为锐角三角形

B.对于△ABC，若sin A>sin B，则A>B

C.P在△ABC所在平面内，若PA+PB+PC12.奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，▵AOC，△AOB的面积分别为SA,SB,SC，则SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0A.O为△ABC的垂心

B.∠AOB=π−C

C.OA:OB:三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a=(1,2)，b=(2,λ)，c=2,1，c//2a14.为了了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60m；从南方抽取了200个男孩，平均身高1.50m;由此可推断我国13岁男孩的平均身高为

．15.已知z=2，则|z+3−4i|的最大值是

16.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a−b⋅sinA=csinC−bsinB，若△ABC的面积为4四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)如图，在四边形ABCD中，∠ABD=45∘，∠ADB=30∘，BC=1，(1)BD的长度；(2)AB的长度．18.(本小题12.0分)某单位为了了解退休职工的生活情况，对50名退休职工做了一次问卷调查(满分100分)，并从中随机抽取了10名退休职工的问卷，得分情况统计如下：分数77798184889293人数1113211试回答以下问题：(1)求抽取的10名退休职工问卷得分的均值x和方差s2(2)10名退休职工问卷得分在x−s与x+s之间有多少人？这些人占(3)若用样本估计总体，则50名退休职工中问卷得分在80,90之间的人数大约为多少？19.(本小题12.0分)

如图，M，N分别是△ABC的边BC，AB上的点，且BM=14BC，AN=12AB，AM交CN于P．

(1)若AM=xAB+yAC，求x−y的值；

(2)若AB=420.(本小题12.0分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且acos(1)求sinA(2)若a=22，且△ABC的面积为2，求b+c21.(本小题12.0分)某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在1000,1500(1)求居民月收入在3000,3500的频率；(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在2500,3000的这段应抽取多少人？22.(本小题12.0分)记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，BD(1)证明：BD=b;(2)若AD=2DC，求cos∠ABC

答案解析1.【答案】A

【解析】【分析】本题考查复数的减法运算，属于基础题．

直接利用复数的减法运算法则进行运算即可．【解答】解：∵复数z1=3+4i∴z故选A．

2.【答案】C

【解析】【分析】本题考查分层随机抽样，属于基础题．

根据分层抽样的概念即得．【解答】解：∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：300×4故选：C．

3.【答案】B

【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，属于基础题．

由a⊥b得a⋅【解答】解：向量a=(6,−2)，b=(1,m)，且所以a⋅b=6−2m=0，解得m=3，所以b所以a−2故选：B．

4.【答案】A

【解析】【分析】本题考查向量三点共线问题，属于基础题．

利用向量共线定理依次判断即可．【解答】解：∵向量BD=BC+∴BD=2AB，即点A，B故选：A．

5.【答案】A

【解析】【分析】本题考查扇形图，考查条形图的识别，属于基础题．

根据扇形图计算初中生和高中生的人数，再根据条形图，计算高中生和初中生的近视人数，再分别判断选项．【解答】解：由图可知该地区高中生近视的人数是9000×40％×50％=1800，

初中生近视的人数是9000×1−40％×40％=2160，

则该地区中学生近视的人数占总人数的比例为1800+21609000=44％，

故A正确，B，故选：A

6.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．

根据平均数和方差的定义和性质进行求解即可．【解答】解：∵样本x1+1,x2+1,⋯,xn+1的平均数为10，其方差为2，

∴样本2x1+2,2

7.【答案】B

【解析】【分析】本题考查利用向量的数量积求向量的夹角，属于一般题．

计算出a⋅c=7，及c，从而利用向量夹角余弦公式计算得到【解答】解：因为a，b是单位向量，所以a=又因为a⋅b=0所以c=a⋅所以cosa因为a,所以sina故选B．

8.【答案】D

【解析】【分析】本题考查分层随机抽样的样本均值及分层随机抽样的方差，属于基础题．

利用分层随机抽样的均值的计算公式以及方差的计算公式，准确运算，即可求解．【解答】解：由题意，总体的均值为4001000根据分层抽样的性质，可得总体的方差为：4001000故选D．

9.【答案】ABC

【解析】【分析】本题考查用样本估计百分位数，平均数，众数，方差与标准差，属于基础题．

根据百分位数，平均数，众数，方差与标准差的概念和公式对选项判断即可．【解答】解：将数据从小到大排序为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，故中位数为3+32，故A正确;

众数为2，3，故C正确;

平均数是1+2×3+3×3+4+5×210=3，

方差是110×[(1−3)2+(2−3)2×3+(3−3)2×3+(4−3)2+(5−3)

10.【答案】ABC

【解析】【分析】本题考查复数的运算，考查复数的模，考查共轭复数，考查复数的几何意义，属于中档题．

直接利用复数的运算，复数的模，复数的共轭，复数的几何意义判断A、B、C、D的结论．【解答】解：复数z满足z(2−i)=i对于A：由于z=25+15对于B：由于z=25+15对于C：复数z的虚部为15，故C对于D：复数z在复平面内对应的点为(25,故选：ABC．

11.【答案】AD

【解析】【分析】本题考查余弦定理、正弦定理，考查向量在平面几何中的应用，属于中档题．

A、B，应用正余弦定理得边角关系即可判断正误；C，设D为AB中点，易得PA+PB=2PD，结合已知可得C,P,D的关系，进而判断P是△ABC的重心；D，由当a，【解答】解：A：由sin2A+sin2B+cos2C<1知：sin2A+sin2由余弦定理易知：cosC<0，即πB：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由sin A>sin B及正弦定理知：a>bC：设D为AB中点，则PA+PB=2PD，又PA+PB+PC=0知：D：当非零向量a，b同向共线时，a⋅b>0，此时a，b故选AD．

12.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查平面向量在三角形中的应用，涉及到垂心的向量表示、向量数量积的定义等知识；解题关键是能够通过数量积的定义和运算律，将所证内容进行转化，得到三角形面积或向量模长与角的正余弦值之间的关系．

利用数量积的运算律可整理得到OB⊥CA，同理OA⊥BC，OC⊥AB，知A正确；推导得到∠AOE=∠C，由此可证得B正确；由数量积的定义和B的结论可求得OA⋅OB=−OA⋅OBcos利用三角形面积公式和B的结论表示出SA=12OAOBsinC，同理得到【解答】解：对于A，∵OA⋅OB=OB同理可证得：OA⊥BC，OC⊥AB，∴O是▵ABC的垂心，A正确；对于B，延长OA,OB交BC,AC于D,E两点，由A可知：AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠C+∠CAD=π2，∴∠AOE=∠C，又∠AOE+∠AOB=π，∴∠AOB=π−∠AOE=π−C，B正确；对于C，由B可得：OA⋅同理可得：OB⋅OC=−|∴−|OA∴|OA|:|OB对于D，由B可得：，同理可得：SA=1∴S由C可得：SA又SA⋅OA+S故选：ABD．

13.【答案】−2

【解析】【分析】首先由a,b的坐标，利用向量的坐标运算可得2a【解答】解：∵a=1,2∵c

//

2a+∴4×1=24+λ，解得λ=−2故答案为：−2．

14.【答案】1.56m

【解析】【分析】本题考查了加权平均数的计算以及总体均值和样本均值，属于基础题．

由题意知，用(北方男孩的平均身高×300+南方男孩的平均身高×200)除以(300+200)求得这500个13岁男孩的平均身高，即可求出我国13岁男孩的平均身高．【解答】解：∵从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60m；

从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50m．

∴这500个13岁男孩的平均身高是1.6×300+1.5×200 300+200=1.56m，

∴由此可推断我国13岁男孩的平均身高为1.56m．

故答案为：

15.【答案】7

【解析】【分析】本题考查复数的模及几何意义，考查与圆有关的最值问题，属于中档题．

根据复数的几何意义即可求解．【解答】解：设z=x+yi,x,y∈R，则有x则z在复平面中的点P(x,y)在以(0,0)为圆心，r=2为半径的圆周上，z+3−4i|z+3−4i|=(x+3)2+如图所示：由图可知，APmax即|z+3−4i|的最大值为故答案为：7

16.【答案】12

【解析】【分析】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形面积公式，属于较难题．

利用正弦定理将题中的边角关系转化为角的关系，结合余弦定理得到角C的余弦值，进而得到角C的正弦值，根据三角形的面积得到ab，从而利用基本不等式和函数的单调性求解三角形周长的最小值．【解答】解：∵a−b∴由正弦定理可得a−ba=c2∴由余弦定理可得cosC=a2∵△ABC的面积为43=1由a2+b由余弦定理及基本不等式可得c2=a2+b2∴△ABC的周长为a+b+c=48+易得函数y=48+c2则a+b+c=48+c2即△ABC的周长的最小值为12．故答案为：12．

17.【答案】解：(1)在▵BCD中，由余弦定理可得：BD则BD=2．(2)在▵ABD中，∠BAD=180=2由正弦定理可得：ABsin即AB=BD⋅

【解析】本题考查余弦定理，考查正弦定理，考查两角和的正弦公式，属于中档题．

(1)由余弦定理即可求得BD；(2)求得∠BAD=105∘，利用正弦定理及(1)的结论，进而求得

18.【答案】解：(1)x=77+79+81+3×84+2×88+92+9310(2)由(1)知，s=5，从而x−s=80,于是10名职工问卷得分在x−s与x+s之间有6人，所占百分比为60%.

(3)由(2)可知，50名退休职工中问卷调查得分在(80,90)之间的大约有50×0.6=30人．

【解析】本题考查了平均数和方差以及频率，是一般题．

(1)直接根据公式算出均值和方差；

(2)结合(1)和图表可以得出答案；

(3)根据(2)和公式得出答案．

19.【答案】解：(1)在△ABC中，因为BM=14BC，

所以BM=14BC=14AC−AB，

所以AM=AB+BM=34AB+14AC，

因为AM=xAB+yAC，所以x=34,y=14，

所以x−y=12.

(2)设AP=λAM，

则由(1)知，AP=λAM【解析】本题考查向量的线性运算以及三点共线问题，属于中档题．

(1)根据向量加法的三角形法则结合BM=14BC，AN=12AB，即可求解；20.【答案】解：(1)∵acos∴sin即sinA∵sinC≠0，∴

cos A=(2)∵△ABC的面积为2，∴S=12bcsin∵a=22，∴

b∴b+c2−8∵b>0,c>0，∴

b+c=4．

【解析】本题考查两角和与差的正弦公式，三角形面积公式，余弦定理，正弦定理，属于中档题．

对问题(1)，根据题目条件结合三角形的正弦定理以及两角和与差的正弦公式，即可求出sinA的值；对问题(2)，根据(1)的结论，再结合三角形的面积公式以及余弦定理，即可求出b+c的值．21.【答案】解：(1)月收入在3000,3500的频率为0.0003×500=0.15．(2)从左数第一组的频率为0.0002×500=0.1；第二组的频率为0.0004×500=0.2；第三组的频率为0.0005×500=0.25；

∴中位数位于第三组，设中位数为2000+x，

则x×0.0005=0.5−0.1=0.2⇒x