第四章 几种特殊类型函数的积分

第四章几种特殊类型函数的积分第一页，共三十六页，2022年，8月28日假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例难点将有理函数化为部分分式之和.第二页，共三十六页，2022年，8月28日（1）分母中若有因式，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为第三页，共三十六页，2022年，8月28日注关于部分分式分解如对进行分解时一项也不能少，因为通分后分子上是多项式，可得到k个方程，定出k个系数，否则将会得到矛盾的结果。例如第四页，共三十六页，2022年，8月28日但若矛盾第五页，共三十六页，2022年，8月28日（2）分母中若有因式，其中则分解后为特殊地：分解后为第六页，共三十六页，2022年，8月28日真分式化为部分分式之和的待定系数法例1第七页，共三十六页，2022年，8月28日代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例2第八页，共三十六页，2022年，8月28日例3整理得第九页，共三十六页，2022年，8月28日例4求积分解第十页，共三十六页，2022年，8月28日例5求积分解第十一页，共三十六页，2022年，8月28日例6求积分解令第十二页，共三十六页，2022年，8月28日第十三页，共三十六页，2022年，8月28日说明将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：多项式；讨论积分令第十四页，共三十六页，2022年，8月28日则记第十五页，共三十六页，2022年，8月28日这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.结论有理函数的原函数都是初等函数.第十六页，共三十六页，2022年，8月28日注意以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法，但对一个具体问题而言，未必是最简捷的方法，应首先考虑用其它的简便方法。如使用凑微分法比较简单基本思路尽量使分母简单——降幂、拆项、同乘等化部分分式，写成分项积分可考虑引入变量代换第十七页，共三十六页，2022年，8月28日三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为二、三角函数有理式的积分第十八页，共三十六页，2022年，8月28日令（万能置换公式）第十九页，共三十六页，2022年，8月28日例7求积分解由万能置换公式第二十页，共三十六页，2022年，8月28日第二十一页，共三十六页，2022年，8月28日例8求积分解（一）第二十二页，共三十六页，2022年，8月28日解（二）修改万能置换公式,令第二十三页，共三十六页，2022年，8月28日解（三）可以不用万能置换公式.结论比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.如第二十四页，共三十六页，2022年，8月28日若用万能代换，则化部分分式比较困难但若是凑微分，则比较简单基本思路第二十五页，共三十六页，2022年，8月28日尽量使分母简单——分子分母同乘，或使分母变成一项等尽量使的幂次降低万能代换例9求积分解第二十六页，共三十六页，2022年，8月28日第二十七页，共三十六页，2022年，8月28日讨论类型解决方法作代换去掉根号.例10求积分解

三、简单无理函数的积分第二十八页，共三十六页，2022年，8月28日第二十九页，共三十六页，2022年，8月28日例11求积分解令说明无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.第三十页，共三十六页，2022年，8月28日例12求积分解先对分母进行有理化原式第三十一页，共三十六页，2022年，8月28日例13解一令第三十二页，共三十六页，2022年，8月28日解二第三十三页，共三十六页，2022年，8月28日令第三十四页，共三十六页，2022年，8月28日简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能