历年高考数学真题汇编专题16-以基本不等式为背景的应用题(解析版)

历年高考数学真题汇编专题16以基本不等式为背景的应用题1、【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是___________．【答案】30【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．2、【2010年高考江苏卷】某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α，β的值，tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α－β最大？规范解答(1)由AB＝eq\f(H,tanα)，BD＝eq\f(h,tanβ)，AD＝eq\f(H,tanβ)及AB＋BD＝AD，得eq\f(H,tanα)＋eq\f(h,tanβ)＝eq\f(H,tanβ)，解得H＝eq\f(htanα,tanα－tanβ)＝eq\f(4×1.24,1.24－1.20)＝124.因此算出的电视塔的高度H是124m.(2)(1)由题知d＝AB，则tanα＝eq\f(H,d).由AB＝AD－BD＝eq\f(H,tanβ)－eq\f(h,tanβ)，得tanβ＝eq\f(H－h,d)，所以tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝≤，当且仅当d＝＝＝55eq\r(5)时取等号．又0<α－β<eq\f(π,2)，所以当d＝55eq\r(5)时，tan(α－β)的值最大．因为0<β<α<eq\f(π,2)，所以当d＝55eq\r(5)时，α－β的值最大．3、【2013年高考江苏卷】如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1km.某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－eq\f(1,20)(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．本小题主要考查函数、方程和基本不等式等基础知识，考查数学阅读能力和解决实际问题的能力．满分14分．规范解答(1)令y＝0，得kx－eq\f(1,20)(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，故x＝eq\f(20k,1＋k2)＝eq\f(20,k＋\f(1,k))≤eq\f(20,2)＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10km.(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标等价于存在k>0，使3.2＝ka－eq\f(1,20)(1＋k2)a2成立，即关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根，所以判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0，解得a≤6，所以0<a≤6.所以当a不超过6km时，炮弹可击中目标．一、解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下：二、在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合.运用基本不等式解决应用题一定要注意满足三个条件：一、正；二、定；三、相等。题型一、与几何体有关的应用题以几何为载体的应用题常见与圆、扇形等特色的图形，此类问题的关键是把各个线段表示出来，进二列出函数的解析式，与几何体有关的导数问题，常常涉及到表面积与体积的问题，解题关键就是通过引入参数表示表面积或者体积，然后运用导数进行求解。例1、(2016常州期末）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(m2)．(1)求S关于x的函数关系式；(2)求S的最大值．规范解答(1)由题设得S＝(x－8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(900,x)－2))＝－2x－eq\f(7200,x)＋916，x∈(8,450)．(6分)(2)因为8<x<450，所以2x＋eq\f(7200,x)≥2eq\r(2x·\f(7200,x))＝240，(8分)当且仅当x＝60时等号成立．(10分)从而S≤676.(12分)答：当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m2.(14分)例2、(2017南京、盐城二模）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b.(1)当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；(2)试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．思路分析(1)纸盒侧面积S(x)是关于x的函数，即求S(x)max.(2)先猜想并证明a＝b时，底面积取最大，这样问题变为求体积关于x的函数的最大值．规范解答(1)当a＝90时，b＝40，纸盒的底面矩形的长为90－2x，宽为40－2x，周长为260－8x.所以纸盒的侧面积S(x)＝(260－8x)x＝－8x2＋260x，其中x∈(0,20)，(3分)故S(x)max＝Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65,4)))＝eq\f(4225,2).答：当a＝90时，纸盒侧面积的最大值为eq\f(4225,2)平方厘米．(6分)(2)纸盒的体积V＝(a－2x)(b－2x)x，其中x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,2)))，a≥b＞0，且ab＝3600.(8分)因为(a－2x)(b－2x)＝ab－2(a＋b)x＋4x2≤ab－4eq\r(ab)x＋4x2＝4(x2－60x＋900)，当且仅当a＝b＝60时取等号，所以V≤4(x3－60x2＋900x)，x∈(0,30)．(10分)记f(x)＝4(x3－60x2＋900x)，x∈(0,30)，则f′(x)＝12(x－10)(x－30)，令f′(x)＝0，得x＝10，列表如下：x(0,10)10(10,30)f′(x)＋0－f(x)极大值由上表可知，f(x)的极大值是f(10)＝16000，也是最大值．(12分)答：当a＝b＝60，且x＝10时，纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．(14分)例3、(2016盐城三模）一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC，CD上分别取点E，F(不与正方形的顶点重合)，连结AE，EF，FA，使得∠EAF＝45°.现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF部分规划为蜂巢区，△CEF部分规划为蜂蜜交易区.若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？规范解答设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T.则T＝2×105·S＋105·(1－S)＝105·(S＋1)，从而只要求S的最小值即可．(2分)设∠EAB＝α(0°<α<45°)，在△ABE中，因为AB＝1，∠B＝90°，所以BE＝tanα，则S△ABE＝eq\f(1,2)AB·BE＝eq\f(1,2)tanα，(4分)又∠DAF＝45°－α，同理得S△ADF＝eq\f(1,2)tan(45°－α)，(6分)所以S＝eq\f(1,2)[tanα＋tan(45°－α)]＝eq\f(1,2)tanα＋eq\f(1－tanα,1＋tanα)，(8分)令x＝tanα∈(0,1)，S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1－x,1＋x)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(x－1,x＋1)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x＋1)－1))(10分)＝≥eq\f(1,2)(2eq\r(2)－2)＝eq\r(2)－1，当且仅当x＋1＝eq\f(2,x＋1)，即x＝eq\r(2)－1时取等号．(12分)从而三个区域的总投入T的最小值约为eq\r(2)×105元．(14分)题型二、与利润等有关的应用题与利润有关的问题关键是要认真审题，只有在审题的基础上才可以正确列出函数的解析式，要特别注意函数的定义域和单位的统一。例4、(2019南京学情调研）销售甲种商品所得利润是P万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式P＝eq\f(at,t＋1)；销售乙种商品所得利润是Q万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式Q＝bt，其中a，b为常数．现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售；若全部投入甲种商品，所得利润为eq\f(9,4)万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元．若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为f(x)万元．(1)求函数f(x)的解析式；(2)怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使得利润总和最大，并求最大值．规范解答(1)由题意P＝eq\f(at,t＋1)，Q＝bt，故当t＝3时，P＝eq\f(3a,3＋1)＝eq\f(9,4)，Q＝3b＝1.(3分)解得a＝3，b＝eq\f(1,3).(5分)所以P＝eq\f(3t,t＋1)，Q＝eq\f(1,3)t.从而f(x)＝eq\f(3x,x＋1)＋eq\f(3－x,3)，x∈.(7分)(2)由(1)可得f(x)＝eq\f(3x,x＋1)＋eq\f(3－x,3)＝eq\f(13,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x＋1)＋\f(x＋1,3))).(9分)故eq\f(3,x＋1)＋eq\f(x＋1,3)≥2，当且仅当eq\f(3,x＋1)＝eq\f(x＋1,3)，即x＝2时取等号．从而f(x)≤eq\f(13,3)－2＝eq\f(7,3).(11分)所以f(x)的最大值为eq\f(7,3).答：分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是eq\f(7,3)万元．(14分)例5（2017·苏锡常镇二模）某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）．（1）求利润函数的函数关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解析（1）（）．（2）法一：．当且仅当时，即时取等号．故．答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．法二：，由得，．故当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；故．答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．例6、（2016镇江期末）过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只．(1)据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润＝月销售总收入－月总成本)，该口罩每只售价最多为多少元？(2)为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x(x≥9)元，并投入eq\f(26,5)(x－9)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少eq\f(0.2,x－82)万只，则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．规范解答(1)设每只售价为x元，则月销售量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(x－8,0.5)×0.2))万只．由已知得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(x－8,0.5)×0.2))(x－6)≥(8－6)×5，(3分)所以eq\f(2,5)x2－eq\f(53,5)x＋eq\f(296,5)≤0，即2x2－53x＋296≤0.(4分)解得8≤x≤eq\f(37,2).(5分)即每只售价最多为18.5元．(6分)(2)下月的月总利润y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5－\f(x－8,0.5)×\f(0.2,x－82)))·(x－6)－eq\f(26,5)(x－9)(9分)＝eq\f(2.4－0.4x,x－8)－eq\f(1,5)x＋eq\f(234－150,5)＝eq\f(－0.4x－8－0.8,x－8)－eq\f(1,5)x＋eq\f(84,5)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5x－8)＋\f(x－8,5)))＋eq\f(74,5).(10分)因为x≥9，所以eq\f(4,5x－8)＋eq\f(x－8,5)≥2eq\r(\f(4,25))＝eq\f(4,5)，(12分)当且仅当eq\f(4,5x－8)＝eq\f(x－8,5)，即x＝10，等号成立，所以ymin＝14.(13分)答：当x＝10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元．(14分)1、.某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，则这种生产设备最多使用______年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少).答案10解析设使用x年的年平均费用为y万元.由已知，得y＝eq\f(10＋0.9x＋\f(0.2x2＋0.2x,2),x)，即y＝1＋eq\f(10,x)＋eq\f(x,10)(x∈N*).由基本不等式知y≥1＋2eq\r(\f(10,x)·\f(x,10))＝3，当且仅当eq\f(10,x)＝eq\f(x,10)，即x＝10时取等号.因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元.2、为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地建成生态休闲园，园区内有一景观湖（图中阴影部分）.以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系（如图所示）.景观湖的边界曲线符合函数模型，园区服务中心在轴正半轴上，百米.（1）若在点和景观湖边界曲线上一点之间修建一条休闲长廊，求的最短长度；（2）若在线段上设置一园区出口，试确定的位置，使通道最短.解：（1）设直线（其中一定存在），代入，得，化简为.设，则，所以令，则，当且仅当时等号成立，即时成立.综上，的最短长度为百米（2）当直线与边界曲线相切时，最短.若直线斜率不存在，则直线方程为，不符合题意；若直线斜率存在，设PQ方程为，代入，化简得.当时，方程有唯一解（舍去），当时，因为直线与曲线相切，所以，解得或（舍去），此时直线方程为，令，得，即点在线段上且距离轴百米.答：当点在线段上且距离轴百米，通道最短.3、(2016无锡期末）某公司生产的某批产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足P＝eq\f(x＋2,4)(其中0≤x≤a，a为正常数)．已知生产该批产品还需投入成本6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(P＋\f(1,P)))万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(20,P)))元/件．(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？规范解答(1)由题意知，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(20,P)))P－x－6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(P＋\f(1,P))).(3分)将P＝eq\f(x＋2,4)代入化简得y＝19－eq\f(24,x＋2)－eq\f(3,2)x(0≤x≤a)．(5分)(2)y＝22－eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,x＋2)＋x＋2))≤22－3eq\r(,\f(16,x＋2)×x＋2)＝10，当且仅当eq\f(16,x＋2)＝x＋2，即x＝2时，上式取等号．(8分)所以当a≥2时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大；(9分)由y＝19－eq\f(24,x＋2)－eq\f(3,2)x，得y′＝eq\f(24,x＋22)－eq\f(3,2)，当x<2时，y′>0，此时函数y在[0,2]上单调递增，所以当a<2时，函数y在[0，a]上单调递增，(11分)所以当x＝a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．(12分)综上，当a≥2时，促销费用投入2万元，厂家的利润最大；当a<2时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．(14分)4、(2017南通一调）如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P)，再沿直线PE裁剪．(1)当∠EFP＝eq\f(π,4)时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；(2)若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．规范解答(1)当∠EFP＝eq\f(π,4)时，由条件得∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝eq\f(π,4).所以∠FPE＝eq\f(π,2).所以FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．(3分)所以四边形MNPE的面积S＝PN·MN＝2(m2).(5分)(2)解法1设∠EFD＝θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ＜\f(π,2)))，由条件，知∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝θ.所以PF＝＝eq\f(2,sin2θ)，NP＝NF－PF＝3－eq\f(2,sin2θ)，ME＝3－eq\f(2,tanθ).(8分)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,sin2θ)＞0，,3－\f(2,tanθ)＞0，,0＜θ＜\f(π,2)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2θ＞\f(2,3)，,tanθ＞\f(2,3)，,0＜θ＜\f(π,2).))(*)所以四边形MNPE面积为S＝eq\f(1,2)(NP＋ME)MN＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,sin2θ)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,tanθ)))))×2＝6－eq\f(2,tanθ)－eq\f(2,sin2θ)＝6－eq\f(2,tanθ)－eq\f(2sin2θ＋cos2θ,2sinθcosθ)＝6－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanθ＋\f(3,tanθ)))(12分)≤6－2eq\r(tanθ·\f(3,tanθ))＝6－2eq\r(3).当且仅当tanθ＝eq\f(3,tanθ)，即tanθ＝eq\r(3)，θ＝eq\f(π,3)时取“＝”．(14分)此时，(*)成立．答：当∠EFD＝eq\f(π,3)时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为(6－2eq\r(3))m2.(16分)5、(2016镇江期末）如图，某工业园区是半径为10km的圆形区域，离园区中心O点5km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域．(1)设中心O对公路AB的视角为α，求α的最小值，并求较小区域面积的最小值；(2)为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值．规范解答(1)如图1，作OH⊥AB，设垂足为H，记OH＝d，α＝2∠AOH，因为cos∠AOH＝eq\f(d,10)，(1分)要使α有最小值，只需要d有最大值，结合图像可得，d≤OP＝5km，(3分)当且仅当AB⊥OP时，dmax＝5km.此时αmin＝2∠AOH＝2×eq\f(π,3)＝eq\f(2π,3).(4分)设AB把园区分成两个区域，其中较小区域面积记为S，由题意得S＝f(α)＝S扇形－S△AOB＝50(α－sinα)，(6分)f′(α)＝50(1－cosα)≥0恒成立，所以f(α)为增函数，(7分)所以Smin＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝50eq\f(2π,3)－eq\f(\r(3),2)km2.(8分)答：视角的最小值为eq\f(2π,3)，较小区域面积的最小值是50eq\f(2π,3)－eq\f(\r(3),2)km2.(9分)图1(2)如图2，过O分别作OH⊥AB，OH1⊥CD，垂足分别是H，H1，记OH＝d1，OH1＝d2，由(1)可知d1∈[0,5]，所以deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)＝OP2＝25，且deq\o\al(2,2)＝25－deq\o\al(2,1)，(10分)因为AB＝2eq\r(100－d\o\al(2,1))，CD＝2eq\r(100－d\o\al(2,2))，所以AB＋CD＝2(eq\r(100－d\o\al(2,1))＋eq\r(100－d\o\al(2,2)))＝2(eq\r(100－d\o\al(2,1))＋eq\r(75＋d\o\al(2,1)))，(11分)记L(d1)＝AB＋CD＝2(eq\r(100－d\o\al(2,1))＋eq\r(75＋d\o\al(2,1)))，可得L2(d1)＝4[175＋2]，(12分)由deq\o\al(2,1)∈[0,25]，可知deq\o\al(2,1)＝0或deq\o\al(2,1)＝25时，L2(d1)的最小值是100(7＋4eq\r(3))，从而AB＋CD的最小值是(20＋10eq\r(3))km.(13分)答：两条公路长度和的最小值是(20＋10eq\r(3))km.(14分)图26、(2018扬州期末）如图，射线OA和OB均为笔直的公路，扇形OPQ区域(含边界)是一蔬菜种植园，其中P，Q分别在射线OA和OB上．经测量得，扇形OPQ的圆心角(即∠POQ)为eq\f(2π,3)、半径为1千米，为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN，分别与射线OA，OB交于M，N两点，并要求MN与扇形弧eq\o(PQ,\s\up8(︵))相切于点S.设∠POS＝α(单位：弧度)，假设所有公路的宽度均忽略不计．(1)试将公路MN的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围；(2)试确定α的值，使得公路MN的长度最小，并求出其最小值．规范解答(1)因为MN与扇形弧eq\o(PQ,\s\up8(︵))相切于点S，所以OS⊥MN.在Rt△OSM中，因为OS＝1，∠MOS＝α，所以SM＝tanα.在Rt△OSN中，∠NOS＝eq\f(2π,3)－α，所以SN＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))，所以MN＝tanα＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))＝eq\f(\r(3)（tan2α＋1）,\r(3)tanα－1)，(4分)其中eq\f(π,6)<α<eq\f(π,2).(6分)(2)解法1(基本不等式)因为eq\f(π,6)<α<eq\f(π,2)，所以eq\r(3)tanα－1>0.令t＝eq\r(3)tanα－1>0，则tanα＝eq\f(\r(3),3)(t＋1)，所以MN＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(4,t)＋2)).(8分)由基本不等式得MN≥eq\f(\r(3),3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(t×\f(4,t))＋2))＝2eq\r(3)，(10分)当且仅当t＝eq\f(4,t)，