北师大版 高中数学必修一 概率 第六课时：古典概型的应用（二）教学设计

北师大版高中数学必修第一册第七章《概率》单元教学设计章节名称7.2.2古典概型的应用（二）学科数学授课年级高一授课时数1课时设计者王长江所属地市蚌埠市教学内容分析古典概型的应用（二）是北师大版普通高中教科书数学必修第一册第七章《概率》第2.2小节第三课时的内容.是古典概型应用的第二个体现：作为素材，在理解互斥事件的概率加法公式中的应用.在前两节的学习过程中，学生已经能够通过具体实例理解古典概型的特征，掌握古典概型的运算，进而构建古典概型对某些实际问题进行刻画.本节是在此基础上，以古典概型为载体，探究互斥事件的概率加法公式及对立事件的概率减法公式，再利用概率的运算法则解决较为复杂的概率问题.在过程中，发展学生的思维，使学生学会发现问题、提出问题、分析问题、解决问题；提升学生的数学能力，培养学生数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养.也是后续学习有关概率的其它内容（概率分布、期望、方差等）的基础，因此起到承上启下的作用.本课时的学习渗透着“从特殊到一般的思想”和“转化思想”.高考中主要考查用互斥事件及对立事件的概率公式求随机事件的概率.教学目标设置课程目标：1.通过三个实例，验证P(A∪B)、P(A)、P(B)之间关系，理解互斥事件的概率加法公式，培养学生发现和提出问题，分析和解决问题的能力;2.通过具体实例让学生体会用概率解决实际问题，当事件比较复杂时，可以通过计算互斥事件、对立事件的概率，使计算得到简化.素养目标：1.由集合中的容斥原理：cardA∪B经历“已学知识—类比猜想—计算推导—实例验证”等方式得出互斥事件的概率加法公式的过程，提升逻辑推理、数学运算核心素养；2.结合古典概型，掌握互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率减法公式，并能利用运算法则解决简单的概率问题，提升数学建模、数学运算核心素养.学生情况分析学生已学习了随机事件的运算、互斥事件和对立事件的定义、古典概型的概念及古典概型的概率计算公式，能够建立古典概型对一些实际问题进行刻画，也具备了研究一个数学对象的基本套路.在此基础上，借助古典概型，探究互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率减法公式，易于学生接受.概率的加法公式成立的前提是事件互斥，在A，B不互斥的情形下不能使用，这一点，学生往往容易忽视，因此在使用公式前需要先判断是否互斥的条件.教学重点和难点项目内容解决措施教学重点理解互斥事件的概率加法法公式和对立事件的概率减法公式.教师通过容斥原理引导学生“类比猜想—计算推导”,通过课本三个实例验证互斥事件的概率加法公式成立，再通过学生自己设计试验加以验证，得出一般性的结论；事件A、B特殊成对立事件，得出对立事件的概率减法公式.教学难点概率加法公式的使用条件，理解两种不同的抽签模型.通过具体实例，要先让学生在使用公式前需要先判断是否满足条件，然后利用概率加法公式解决问题.通过例题，让学生体会有放回和无放回地抽取区别，其应用的情境不同，同时计数的方法和结果也有区别.关于教学策略选择的阐述和教学方式设计课型■新授课□实验(实践)课□练习课□复习课□讲评课学习内容呈现方式□基于主题的□基于案例的■基于问题的□基于项目的学习模式教学模式□传递接受模式□探究发现模式□问题解决模式■自主体验模式教学过程设计意图一、类比猜想，导入新课在课本第12页阅读材料中，集合中元素的个数有这样一个关系式：cardA∪B它表示集合A∪B中元素个数与集合A、B及集合A∩B中元素个数的关系.当A∩B=∅时，上述公式就为：cardA∪B=cardA+cardB在《概率》上一单元的学习中，我们学习了并事件、交事件、互斥事件、对立事件.在《概率》中，公式①中的“A,B,A∪B"分别表示事件A、事件B、事件A与B的并事件.cardA、cardB、cardA∪B分别表示各事件样本点的个数.当A∩B=∅时，事件A与B是互斥事件.上一节课，我们又学习了古典概型的概率计算公式，那么，将公式①中的“card”换成“P”，即：PA∪B=PA由集合中的容斥原理“类比猜想”PA∪B与PA，PB之间的关系，引发思考，培养学生发现问题、提出问题的能力，教学过程设计意图二、计算推导，初识公式【问题1】PA∪B（学生回答）能.（教师追问）你的理由是？（学生回答）将公式①两边同时除以cardΩ，得cardA∪Bcard根据古典概率的概率计算公式得：P运用古典概型，通过计算推导，得出互斥事件的概率加法公式，培养学生分析问题、解决问题的能力，提升学生逻辑推理、数学运算核心素养.三、实例验证，形成结论1.在试验E:“抛掷一枚均匀的骰子，观察骰子掷出的点数”中，设事件A表示“掷出的点数为偶数”，事件B表示“掷出的点数为5”，试验证：PA，PB与P2.在试验E5：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，设事件A表示“第一次掷出的点数为1”，事件B表示“第一次掷出的点数不是1”.试验证PA，PB3.在试验E12“从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，记录它的花色”中，设事件A表示“抽出的牌是黑桃”，事件B表示“抽出的牌是红心”，试验证PA，PB将上述探究的结果填入表格（课件展示）.EEEA与B的关系P(A)P(B)P(A∪B)P(A)+P(B)【问题2】同学们，你能自己设计一个试验，设置事件，加以验证吗？引导学生先用课本上的三个实例，结合古典概型，按表格中内容分三组（每组1个试验）进行探究，并展示成果，验证PA，PB与P教学过程设计意图【结论】在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有PP这一公式称为互斥事件的概率加法公式.特别地，PPA=1-PAP一般地，如果事件A1，A2，⋯，AnPP四、应用公式，解决问题例1某学校准备对秋季运动会的竞赛项目进行调整，为此，学生会进行了一次民意调查.100个人接受了调查，他们被要求在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项.调查结果如表7-3.表7-3随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不男生人数女生人数总人数赞成18927反对122537不发表看法201636总计5050100发表看法的概率是多少？解：方法一、直接法记事件A表示“对这次调整表示反对”，事件B表示“对这次调整不发表看法”，事件C表示“对对这次调整反对或不发表看法”.∴C=∵事件A和事件B是互斥事件引导学生从表格中提取信息，再直接运用互斥事件概率的加法公式、互斥事件概率减法公式解决概率问题.掌握解决复杂概率的问题基本步骤：事件表示、事件运算、计算概率，同时，体会“正难则反”的思维策略.教学过程设计意图∴由互斥事件的概率加法公式，得P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=37100+所以，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是73100方法二、间接法——“正”难则“反”记事件D表示“对这次调整表示赞成”∵事件C和事件D是对立事件∴P(C)=1-P(D)=1-所以，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是73100例2班级联欢时，主持人安排了跳双人舞、独唱和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与.把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生.将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目.（1）为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率.（2）为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片.求：①独唱和独奏由同一个表演的概率；②选出的不全是男生的概率.【问题3】“抽签（摸球）模型”有两种，一种是：不放回的抽取，一种是：有放回地抽取.“连续抽取”属于哪一种抽签模型？若记抽到两张卡片的结果为(i,j),其中i，j分别表示第一次、第二次抽取的卡片号.请列举出第（1）问中抽取的所有可能结果.【问题4】“2人不全是男生”的含义是什么？请列举出事件“2人不全是男生”所包含的样本点？解：记抽到两张卡片的结果为(i,j),其中i，j分别表示第一次、第二次抽取的卡片号.（1）由题意知抽取的所有可能结果为：引导学生从不同角度、用不同的方法解决概率问题，培养学生数学思维能力.教学过程设计意图（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）.共20种可能的结果.因为是随机抽取，所以每个出现的可能性相等，从而用古典概型来解决.记事件A表示“选出的2人不全是男生”，由题知事件A包含的样本点有（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有14个可能的结果.因此，P【追问】事件“2人不全是男生”的对立事件是什么？因此，这一问还可以用哪个公式计算概率呢？【问题5】第（1）问属于“不放回的抽取”，第（2）问属于哪一类抽签模型呢？请列举出抽取的所有可能结果，并完成解答.答案：（2）①15；双人舞不能由同一人表演，是无放回的抽取，独唱和独奏可以由同一人表演，是有放回的抽取；体会抽取方式不同，计数方式不同，抽签模型的区别，提升数学建模和数学计数的能力.活动五、当堂练习，检测反馈1.从一副扑克牌（去掉大，小王，共52张）中随机选取1张，求下列事件的概率：（1）这张牌是K，Q或J；（2）这张牌是草花.答案：（1）313；（2）2.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是16，记事件A为“向上的一面出现奇数”，事件B为“向上的一面出现的点数不超过3”，求：P(A∪B)甲说：PA∪B=PA+PB答：甲的说法不对.因为事件A={1，3，5}，事件B={1，2，3}，显然，A∩B={1,3}≠∅,所以事件A与事件B不是互斥事件，不能用互斥事件的概率加法公式求解.可以古典概型的概率公式直接求解，A∪B={1,2,3,5},包含4个样本点，因此，P(A∪B)=4练习1直接应用互斥事件概率的加法公式求事件A与B和事件的概率问题，练习2事件A和B不互斥，如何求A与B和事件的概率？通过对比，强化互斥事件的概率加法公式的使用条件.同时引出事件A与B积事件的概率，为事件独立性的教学做好铺垫.教学过程设计意图活动六、课堂小结，提升认识1.本节课学习了哪些知识?互斥事件的概率加法公式、对立事件的概率减法公式.2.运用古典概型解决较复杂概率问题的基本步骤是什么？有哪些求解方法和求解策略？事件表示—事件运算—计算概率转化、正难则反以提问的方式，从明（知识、方法）暗（思想、核心素养）两条线进行小节，帮助学生回顾知识，掌握方法，提升素养.活动七、布置作业，巩固新知必做作业：课本P204B组1，2选做作业：课本P204B组3，4巩固新知板书设计古典概型的应用（二）在同一个试验中例2解：互斥对立PA∪B=PA一般地，若事件A1，A2，…，P(A1∪A2教学反思与改进本节课由集合中的容斥原理“类比猜想”PA∪B