成对数据的统计分析 第8课时小结

第八章小结（2课时，单元教学设计）樊涛（安徽省淮南第二中学）1单元内容与内容解析1.1内容第一课时：回顾本章所学习的基本知识，即成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、2×2列联表与独立性检验．第二课时：结合典型案例，梳理解决成对数据统计问题的基本方法，了解统计研究问题的思路和特点．1.2内容解析本章在必修课程统计内容的基础上，通过成对数据研究两个随机变量之间的关系，内容包括成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、2×2列联表与独立性检验．在必修课程中，学生学习过一些样本数据的直观表示方法和统计特征的刻画方法，例如直方图、均值、方差、取值规律、分位数等，并根据样本数据的统计特征估计总体的统计特征，这些方法主要适用于解决单个变量的统计问题，本章在必修课程基础之上，以样本估计总体为核心思想，结合典型案例，利用成对样本数据的统计相关性研究两个变量之间的统计相关性，采用的方法是先直观描述后定量刻画，具体研究了数值变量和分类变量这两种变量.对于两个数值变量，通过典型案例,引入变量之间相关关系的概念，并介绍成对样本数据的散点图,根据成对样本数据的散点图直观推断变量之间的相关关系，让学生感受到研究此类问题的必要性.而后，通过对散点图无法定量刻画成对样本数据相关程度的分析，引入样本相关系数的概念，样本相关系数不仅可以反映成对样本数据相关的正负性，而且可以定量地刻画成对样本数据线性相关的密切程度，同时让学生感受引入样本相关系数的必要性．接下来，利用一元线性回归模型刻画两个数值变量的相关关系，并利用估计得到的经验回归方程进行预测.根据先建立模型再估计模型参数的顺序，在一次函数模型的基础上，通过引入随机误差项，建立一元线性回归模型刻画两个数值变量之间的相关关系，再利用最小二乘法估计一元线性回归模型中的参数，得到经验回归方程，进而根据解释变量的取值预测响应变量的取值，通过“儿子身高与父亲身高的关系”这个案例，完整呈现了从直观寻找与散点整体接近的直线，到用定量刻画整体接近的程度，最后得到参数估计的数学化过程，在过程中让学生体会最小二乘法的思想，积累数据分析的经验．在此基础上结合具体案例，利用回归方程进行预测，并对结果进行合理解释，了解模型参数的统计含义，最终利用残差分析的方法对模型进行评价和改进．此外，教材还介绍了非线性回归模型和决定系数R2,以及如何利用决定系数R2评价不同模型.对于两个分类变量的独立性，先基于2×2列联表直观推断两个分类变量的独立性,再分别根据普查数据和抽样数据，运用比率和条件概率两种方法判断两个分类变量的独立性，通过比率判断比较符合直观，而通过条件概率判断，则是为了后续通过抽样数据推断分类变量的独立性作思想方法上的铺垫．最后，用假设检验的思想推断两个分类变量的独立性，即独立性检验.通过度量推断犯错误的可能性大小体现引入独立性检验的必要性，并通过统计量的构造过程，让学生体会统计的思想方法，积累数据分析的经验．这样，利用统计量的近似分布和小概率原理，就可以根据的观测值对分类变量的独立性作出科学的推断．本章的数学思想方法主要包括概率与统计、数形结合、函数与方程.数形结合的思想方法主要运用于对数据的直观描述，如能否通过散点图分析成对样本数据的相关性，能否利用散点图与经验回归直线的关系理解最小二乘法的原理，能否利用残差图分析回归模型，能否利用等高堆积条形图推断两个分类变量的独立性等．而函数与方程的思想方法则主要体现在一元线性回归模型的建立．此外，要引导学生借助信息技术进行本章的学习，如利用技术画散点图、残差图、堆积条形图、计算经验回归方程、画回归直线、算统计量的观测值等．本章主要培养学生五个方面的关键能力：数据分析能力、数学建模能力、推理论证能力、运算求解能力和直观想象能力.在本单元的学习过程中，学生将进一步感悟根据实际情况进行科学决策的必要性和可能性，体会统计思维与确定性思维的差异、归纳推断与演绎证明的差异，从而积累数据分析的经验，培养数据分析、数学建模、逻辑推理、直观想象、运算求解等素养．本单元是对整章的小结与梳理，是学生对本章所有知识的一次整合与巩固。学生将掌握成对样本数据的直观表示方法及线性相关统计特征的刻画方法，能够根据成对数据的统计相关性推断两个变量的相关性，解决统计相关性的简单实际问题；理解一元线性回归分析的方法，会用一元线性回归模型刻画两个变量之间的相关关系，并进行预测；理解2×2列联表的统计意义，会运用2×2列联表等知识解决两个变量独立性检验的简单实际问题.因此本单元的教学重点是一方面回顾本章所学习的基本知识，即成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、2×2列联表与独立性检验，另一方面结合典型案例，梳理解决成对数据统计问题的基本方法，了解统计研究问题的思路和特点．2单元目标与目标解析2.1目标（1）结合实例，了解样本相关系数的统计含义，会通过样本相关系数比较多组成对数据的相关性．（2）结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件，会用一元线性回归模型进行预测，理解残差分析的原理和方法．（3）结合实例，理解2×2列联表的统计意义，掌握2×2列联表独立性检验及其应用.（4）掌握以样本估计总体的核心思想，了解统计研究问题的思路和特点，培养数据分析、逻辑推理、数学运算和数学建模素养.2.2目标解析达成上述目标的标志是：（1）学生能理解样本相关系数引入的必要性和定义的合理性，能根据样本相关系数推断两个变量之间相关的正负性，以及线性相关程度的强弱．（2）学生能理解一元线性回归模型与一次函数模型的联系与区别，能利用最小二乘原理求一元回归模型参数，会用经验回归方程进行预测.能用残差、残差图和决定系数评价和改进回归模型.（3）能依据样本数据编制2×2列联表，能够利用独立性检验的方法对二选一的决策问题做出推断.（4）学生能够运用数形结合的思想方法，先合理运用统计图表直观表达样本数据，而后运用相关知识定量刻画样本数据，能够依据样本数据的规律性和数字特征推测总体的性质.3单元教学问题诊断分析学生虽然学完了成对数据统计分析的内容，但对统计的认识基本上停留在碎片化的就题论题的表层水平，对统计概念的理解不深入，需要在一两节复习课上以师生相互交流的方式更深入地认识统计．对知识的梳理与总结，一定要以学生为主体，教师绝不能替代.在帮助学生构建知识网络结构的同时，更要帮助其构建方法系统.让学生体会“升维”和“降维”的价值，树立“升维”和“降维”的意识，掌握“升维”和“降维”的方法.对于两个数值型变量，可以通过散点图的直观观察，大致确定变量间是否存在线性关系，通过样本相关系数分析线性相关关系的强弱。在此基础上建立一元线性回归模型，用最小二乘法估计线性回归模型中的参数，得到经验回归方程，并利用残差及利用残差构建的指标对模型进行评价和改进，使模型不断完善，最后根据模型进行预测，帮助决策.整个过程严谨而又复杂，学生往往熟练其中的部分环节，而对整个过程不够清晰准确.根据以上分析，确定本单元的教学难点是：建立本章知识的结构体系，建立知识之间的联系.结合实例，归纳概括研究两个数值变量和两个分类变量的内容、过程和方法.合理运用统计知识解决典型的统计案例．4单元教学支持条件分析信息技术既是现代统计的组成部分，也是统计学习的有效辅助手段.合理运用利用信息技术工具实现快速、准确的列表、画图、计算等数据处理，有利于学生集中精力学习统计概念和方法.5课时教学设计1第一课时5.1教学内容回顾本章成对数据的统计分析的研究路径，梳理成对数据统计分析的核心知识.5.2教学目标（1）回顾成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、2×2列联表与独立性检验.（2）构建成对数据统计分析的核心知识体系，进一步体会以样本估计总体的核心思想，体会统计思维与确定性思维的差异、归纳推断与演绎证明的差异．5.3教学重难点教学重点：理解成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、2×2列联表与独立性检验的有关知识.教学难点：构建本章的核心知识体系．5.4教学过程设计5.4.1复习旧知，理解概念引导语：本章我们主要学习了成对数据的统计分析，重点围绕两个数值变量和两个分类变量这两种成对数据学习了统计的有关知识，本节课就让我们共同梳理本章所学习过的内容.问题1：同学们，你还记得本章我们所学习的那些典型的数值变量吗？师生活动：回顾本章学习的典型统计案例中的数值变量.子女的身高y与父亲的身高x，人体的脂肪含量y与年龄x，人的体重y与身高x，人的臂展y与身高x，树高y与胸径x，商品销售收入y与广告支出x，空气污染指数y与汽车保有量x等.追问1:它们与以往所学习的数值变量有何不同？师生活动：通过回顾典型案例，进一步感受两个具有相关关系的变量之间有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这与两个变量间存在函数关系的确定性关系是本质的区别.追问2:我们是如何判断两个数值变量是否有相关关系的？师生活动：对于两个变量是否具有相关关系，我们先作散点图，形成直观感知，通过散点图判断是否相关、正相关还是负相关、线性相关还是非线性相关；而后，通过样本相关系数r对数据精确刻画,r>0,正相关，r<0,负相关；越接近于1，线性相关程度越高，越接近于0时，线性相关程度越弱.追问3:你能用框图把这些知识罗列在一起吗？师生活动：学生自行完成，学生代表板演，教师点评.设计意图：从本章学习的典型案例出发，回顾相关关系、相关系数等知识产生的过程，进一步体会统计概念和方法产生的必要性，帮助学生逐步构建知识网络、形成知识体系.进一步感受利用数学结合地思想方法，对样本数据先直观描述后定量刻画的原则.5.4.2应用概念，论证求值例1淮南市居民2016至2021年货币收入x（单位：亿元）与购买商品支出Y（单位：亿元）的统计资料如下表所示：年份201620172018201920202021货币收入x404244474950购买商品支出Y333436394041请判断购买商品支出Y与货币收入x是否线性相关，如果相关，请判断相关关系的程度.解：依据表中数据可作散点图如下：通过散点图可以发现购买商品支出Y与货币收入x呈现线性正相关关系，下面求相关系数：由可以判断购买商品支出Y与货币收入x呈现极强的线性正相关关系.5.4.3复习旧知，理解概念问题2：对于具有线性相关关系的两个变量，我们如何利用统计模型进行研究呢？师生活动：建立一元线性回归模型，并利用最小二乘法求经验回归方程中的参数和，斜率参数表示自变量每增加一个单位，因变量Y的均值增加或减少个单位.而后利用经验回归方程进行预测.追问1：最小二乘法的原理是什么？你能说说它的思想吗？师生活动：在一元线性回归模型中，需要寻找一条适当的直线，使样本数据的各散点在整体上与这条直线最接近.通过计算各散点到直线的竖直距离的平方之和来刻画“整体接近程度”,并求使得取得最小值的经验回归方程，这就是最小二乘法.追问2:一元线性回归模型的预测精度如何？如何修正？师生活动：这种预测往往是存在随机误差的，我们通常利用残差分析提升有效性，即先做残差图，观察残差是否比较均匀地落在横轴的带状区域，带状区域地宽窄度可以作为经验回归方程预报精度的指标.而后，通过残差分析，发现异常数据，去掉异常数据后再重新进行回归分析.追问3:一元线性回归模型可以很好地解决所有两个变量间相关关系的问题吗？师生活动：两个变量间的相关关系既有线性相关，也有非线性相关，我们根据散点图特征既可以用一元线性回归模型予以解决，也可以借助如指数函数、对数函数、幂函数等其它函数作为回归函数建立函数模型并通过适当的变量代换，将其转化为线性回归问题予以解决.最终通过决定系数R2对不同模型进行比较，R2越接近于1，模型拟合效果越好.追问4:你能用框图把这些知识罗列在一起吗？师生活动：学生自行完成，学生代表板演，教师点评.设计意图：从本章学习的典型案例出发，回顾一元线性回归模型、参数的最小二乘估计、模型诊断与修正、模型应用等知识产生的过程，进一步体会统计概念和方法产生的必要性，帮助学生逐步构建知识网络、形成体系.5.4.4应用概念，论证求值例2请根据例1中的数据，用最小二乘法求购买商品支出Y关于货币收入x的经验回归方程，并预测若2023年居民货币收入达到55亿元时，购买商品支出Y。解：根据最小二乘法可求得,故可得经验回归方程为若2023年居民货币收入达到55亿元时，购买商品支出Y约为45.17亿元.探究：同学们，你对这次回归分析有何建议吗？师生活动：因为相关系数表现出了较强的相关性，所以针对这组成对数据的回归分析是合理的。建议可以归纳为以下几点：增加样本容量，提升样本代表性，因为样本容量较小时往往使得样本随机性变大；可以继续做残差分析，通过残差分析找出异常数据，剔除异常数据后再做回归分析.5.4.5复习旧知，理解概念问题3：分类变量与数值变量有何不同？师生活动：分类变量是一种特殊的随机变量，用于区别不同的现象或性质，它的取值可以用实数表示，但这些数值只作为编号使用，没有通常的大小和运算意义.追问1:如何利用统计知识推断两个分类变量之间是否具有关联性呢？师生活动：通过编制2×2列联表和绘制等高堆积条形图等直观分析，依据随机事件频率的稳定性可以推断两个变量之间是否有关联.追问2:这种推断可靠吗？师生活动：对随机样本而言，频率具有随机性，这种推断可能犯错误。故而构造统计量，依据独立性检验的的方法对出现错误推断的概率予以估计.追问3：基于小概率值的检验规则是什么？师生活动：当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；当时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立.追问4：独立性检验与反证法有何异同？师生活动：反证法是在某种假设H0之下，推出一个矛盾结论，从而证明H0不成立，而独立性检验是在零假设H0之下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不大于这个小概率.另外，在全部逻辑推理正确的情况下，反证法不会犯错误，但独立性检验会犯随机性错误.追问5:你能用框图把这些知识罗列在一起吗？师生活动：学生自行完成，学生代表板演，教师点评.设计意图：回顾分类变量2×2列联表独立性检验及其应用，进一步体会统计概念和方法产生的必要性，帮助学生逐步构建知识网络、形成体系.5.4.6应用概念，论证求值例3某大学体育部为了了解学生的身高是否与地域有关，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如