2020版高中数学第一章解三角形111正弦定理学案新人教B版

正弦定理学习目标1.掌握正弦定理的内容及其证明方法

.2.

能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即：a＝b＝c＝2.(R为△外接圆的半径)sinAsinBsinCRABC知识点二正弦定理的变形公式(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(2)sin＝a，sin＝b，sin＝c(此中R是△外接圆的半径)．A2RB2RC2RABC知识点三解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其余元素的过程叫做解三角形．1．正弦定理对随意的三角形都建立．(√)2．在△中，等式bsin＝sinB总能建立．(√)ABCCc3．在△ABC中，已知a，b，A，则能求出独一的角B.(×)4．随意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．(×)题型一已知两角及一边解三角形例1在△中，已知＝30°，＝60°，＝10，解三角形．ABCABa解依据正弦定理，得asinB10sin60°＝103.＝＝Asin30°sin又C＝180°－(30°＋60°)＝90°.asinC10sin90°∴c＝＝＝20.sinAsin30°(1)abbcac反省感悟正弦定理其实是三个等式：sinA＝sinB，sinB＝sinC，sinA＝sinC，每个等式波及四个元素，因此只需知道此中的三个就能够求此外一个．(2)由于三角形的内角和为180°，因此已知两角必定能够求出第三个角．追踪训练1在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝45°，C＝60°，c＝1，则△ABC最短边的边长等于()6613A.3B.2C.2D.2答案A分析由三角形内角和定理，得A＝180°－(B＋C)＝75°，因此B是最小角，b为最短边．由bcb16正弦定理，得sinB＝sinC，即sin45°＝sin60°，则b＝3，应选A.题型二已知两边及此中一边的对角解三角形例2在△ABC中，已知c＝6，A＝45°，a＝2，解三角形．accsinA6sin45°3解∵sinA＝sinC，∴sinC＝a＝2＝2，∵>，∈(0°，180°)，∴＝60°或＝120°.caCCCcsinB6sin75°当C＝60°时，B＝75°，b＝sinC＝sin60°＝3＋1；csinB6sin15°当C＝120°时，B＝15°，b＝sinC＝sin120°＝3－1.b＝3＋1，B＝75°，C＝60°或b＝3－1，B＝15°，C＝120°.引申研究若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？2acasinC2·3，∴sin＝2解∵＝＝＝.sinAsinCAc63∵＝6>2＝，∴>.caCA∴A为小于45°的锐角，且正弦值为3A只有一个．，这样的角3反省感悟这一种类题目的解题步骤为①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；②用三角形内角和定理求出第三个角；③依据正弦定理求出第三条边．此中进行①时要注意议论该角能否可能有两个值．追踪训练2在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则C＝.答案105°或15°ab分析由正弦定理sinA＝sinB，得sinB＝bsinA2sin30°2a＝2＝2.∵B∈(0°，180°)，∴B＝45°或135°，C＝180°－45°－30°＝105°或C＝180°－135°－30°＝15°.题型三正弦定理的证明ab例3△ABC的外接圆O的半径为R，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，证明：sinA＝sinBc＝2R.＝sinC证明①若∠A为直角(如图1所示)，在Rt△BAC中，可直接得a＝2RsinA；②在锐角△ABC中，如图2，连结BO并延伸，交外接圆于点A′，连结A′C，则圆周角A′＝A.∵A′B为直径，长度为2R，∴∠A′CB＝90°，BCa∴sinA′＝A′B＝2R，a∴sinA＝2R，a＝2RsinA.③若∠A为钝角(如图3所示)，作直径BA′，连结A′C，则∠A′＝π－∠A，在Rt△BCA′中，BC＝A′BsinA′＝2Rsin(π－A)＝2RsinA，即a＝2RsinA.a由①②③得a＝2RsinA，即2R＝sinA，同理可证，bc2R＝，2R＝.sinBsinCa＝bc＝2R.因此＝sinAsinBsinC反省感悟引入三角形的外接圆半径，能够加深理解正弦定理的几何意义，更为方便实现三角形中的边角互化．三角形形状的判断asinB222典例在△ABC中，已知b＝sinA，且sinA＋sinB＝sinC.求证：△ABC为等腰直角三角形．ab证明∵sinA＝sinB，sinBbsinA＝a，asinB又∵＝，bsinAabb＝a，a2＝b2即a＝b，abcC＝k(k≠0)，设sinA＝sinB＝sinabc则sinA＝k，sinB＝k，sinC＝k，又∵sin2A＋sin2B＝sin2C，a2b2c2222∴k2＋k2＝k2，即a＋b＝c，∴△ABC为等腰直角三角形．[修养评析](1)正弦定理是以比率的形式给出来的，因此在应用时要注意联合比率的基天性质．正弦定理能够实现边角互化．(3)判断和证明要掌握推理的基本形式和规则，形成重论据、有条理、合逻辑的思想质量，突出表现逻辑推理的数学核心修养.在△ABC中，必定建立的等式是( )A．sin＝sinBB．cos＝cosBaAbaAbC．asinB＝bsinAD．acosB＝bcosA答案C分析由正弦定理a＝b，得sin＝sin，应选C.sinAsinBaBbA2．在△ABC中，若sinA＝sinC，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形答案B分析由sin＝sinC及正弦定理，知a＝c，A∴△ABC为等腰三角形．3．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )A．42B．43C．46D．4答案Cab分析易知A＝45°，由sinA＝sinB得3asinB8×2b＝sinA＝2＝46.2π4．在△ABC中，若a＝3，b＝2，B＝4，则A＝.答案π或2π332＝asinB＝3×3，分析由正弦定理，得sin2＝Ab22π2π又A∈(0，π)，a>b，∴A>B，∴A＝3或3.5．在△ABC中，已知a＝5，sinC＝2sinA，则c＝.答案25asinC分析由正弦定理，得c＝sinA＝2a＝25.abc1.正弦定理的表示形式：sinA＝sinB＝sinC＝2R，或a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(此中R为△ABC外接圆的半径)．正弦定理的应用范围已知两角和任一边，求其余两边和其余一角．已知两边和此中一边的对角，求另一边和其余两角．已知三角形两边和此中一边的对角解三角形的方法第一由正弦定理求出另一边对角的正弦值．假如已知的角为大边所对的角，由三角形中大边对大角、大角对大边的法例能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求独一锐角．(3)假如已知的角为小边所对的角，则不可以判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类议论.一、选择题1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sinA∶sinB的值是( )5335A.3B.5C.7D.7答案AsinAa5分析依据正弦定理，得sinB＝b＝3.2．在△中，若＝105°，＝45°，＝22，则c等于( )ABCABbA．1B．2C.2D.3答案B分析∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.bsinC22sin30°由正弦定理，得c＝sinB＝sin45°＝2.3．在△中，a＝bsin，则△必定是()ABCAABCA．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案BabB，则sinB＝1，分析由题意可知sinA＝b＝sin又∈(0，π)，故B为直角，△是直角三角形．BABC4．在△中，若sinAcosCC的值为( )＝，则ABCacA．30°B．45°C．60°D．90°答案BsinAsinC分析由正弦定理知a＝c，sinCcosC∴c＝c，∴cosC＝sinC，∴tanC＝1，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝45°.5．在△ABC中，若sinA>sinB，则A与B的大小关系为( )A．A>BB．A<BC．A≥BD．A，B的大小关系不确立答案A分析设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA>sinB，∴2RsinA>2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)，即a>b，故A>B.6．在△中，已知＝π，a＝3，b＝1，则c的值为()ABCA3A．1B．2C.3－1D.3答案Bab分析由正弦定理sinA＝sinB，可得3＝1，∴sin＝1，sinπsinBB23ππ由a>b，得A>B，∴B∈0，3，∴B＝6.故＝π，由勾股定理得c＝2.C27．在△中，＝15，＝10，＝60°，则cosB等于()ABCabA222266A．－3B.3C．－3D.3答案D1510分析由正弦定理，得sin60°＝sinB，3∴sin10sin60°10×23＝＝＝.B15153∵a>b，∴A>B，又∵A＝60°，∴B为锐角．∴cos＝1－sin2＝1－32＝6.BB338．(2018·北京高二检测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC等于()77A.B.－2525724C.±25D.25答案A分析由于在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，因此48sinB＝5sinC＝5sin2B＝10sinBcosB，因此cosB＝5，又B为三角形内角，因此sinB＝1－cos2B＝3.54324因此sinC＝sin2B＝2×5×5＝25.又cosB＞cos45°，因此B<45°，C＝2B<90°，7cosC＝1－sinC＝25.二、填空题9．在△ABC中，已知a＝2，A＝60°，则△ABC的外接圆的直径为．答案433分析△ABC外接圆直径2R＝a＝2＝43.sinAsin60°3sinB10．在△ABC中，若b－sinA＝0，则△ABC的形状必定是三角形．答案等腰sinBb分析由正弦定理，sinA＝a，asinBab得b－sinA＝b－a＝0，a2＝b2，a＝b.∴△ABC为等腰三角形．11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若知足B＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为．答案(3，2)分析在△中，＝60°，cb＝cc＝bsinC＝2，由正弦定理可得，得.若此三角形ABCBsinBsinCsinB有两解，则一定知足的条件为>>sin，即2>b>3，故答案为(3，2)．cbcB三、解答题12．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.c解∵sinA＝sinC，csinA10sin45°a＝sinC＝sin30°＝102.B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.c又∵sinB＝sinC，csinB10sin105°∴b＝sinC＝sin30°＝20sin75°6＋26＋2)．＝20×＝5(413．在△ABC中，acosπ－A＝bcosπ－B，试判断△ABC的形状．22ππ解方法一∵acos2－A＝bcos2－B，∴asin＝sin.AbBb由正弦定理，可得a·2R＝b·2R，a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．π－A＝bcosπ－B，方法二∵acos22asinA＝bsinB.由正弦定理，可得

2Rsin

2A＝2Rsin2B，又∵A，B∈(0，π)，sinA＝sinB，A＝B(A＋B＝π不合题意，舍去)．故△ABC为等腰三角形．4514．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝5，cosC＝13，a＝1，则b＝.答案2113453