2019高中数学第2章推理与证明23数学归纳法学案新人教B版选修2

2.3数学概括法1．认识数学概括法的原理，能用数学概括法证明一些简单命题．2．理解数学概括法两个步骤的作用，进一步规范书写的语言构造．数学概括法一个与自然数有关的命题，假如(1)当n取第一个值n0时命题建立；(2)在假定当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题建立的前提下，推出当n＝______时命题也建立，那么能够判定，这个命题对n取第一个值后边的所有正整数建立．数学概括法是特意证明与自然数集有关的命题的一种方法，它是一种完好概括法，是对不完好概括法的完美．证明分两步，此中第一步是命题建立的基础，称为“概括奠定”；第二步解决的是持续性问题，又称“概括递推”．运用数学概括法证明有关命题时应注意以下几点：两个步骤缺一不行；(2)在第一步中，n的初始值不必定从1取起，也不必定只取一个数(有时需取＝n，0n0＋1等)，证明应视详细状况而定；第二步中，证明n＝k＋1时命题建立，一定使用概括假定，不然就会打破数学概括法步骤间的严实逻辑关系，造成推理无效；证明n＝k＋1时命题建立，要明确求证的目标形式，一般要凑出概括假定里给出的形式，以便使用概括假定，而后再去凑出当n＝k＋1时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性．【做一做】关于不等式n2＋n＜n＋1(n∈N＋)，某同学用数学概括法证明的过程以下：当n＝1时，12＋1＜1＋1，不等式建立．假定当n＝k(k∈N＋)时，不等式建立，即k2＋k＜k＋1，则当n＝k＋1时，(＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3＋2＜(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋1)＋1，kk∴当n＝k＋1时，不等式建立．上述证法( )．A．过程所有正确B．n＝1时考证不正确C．概括假定不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确1．利用数学概括法证明问题时有哪些注意事项？解析：(1)用数学概括法证明有关命题的重点在第二步，即n＝＋1时命题为何建立？kn＝k＋1时命题建立是利用假定n＝k时命题建立，依占有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出来的，而不是直接代入，不然n＝k＋1时命题建立也成假定了，命题并无获得证明．用数学概括法可证明有关的正整数问题，但其实不是所有的正整数问题都能用数学概括法证明，学习时要详细问题详细解析．2．运用数学概括法时易犯的错误有哪些？解析：(1)对项数估量的错误，特别是找寻n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错．没有益用概括假定：概括假定是一定要用的．假定是起桥梁作用的，桥梁断了就通可是去了．重点步骤含糊不清，“假定n＝k时结论建立，利用此假定证明n＝k＋1时结论也建立”是数学概括法的重点一步，也是证明问题中最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完好，注意证明过程的谨慎性、规范性．题型一用数学概括法证明恒等式【例题1】用数学概括法证明1－1＋1－1＋＋1－1＝1＋1＋＋1.2342n－12nn＋1n＋22n解析：左侧式子的特色为：各项分母挨次为1,2，3，，2，右侧式子的特色为：分母由n＋1开始，挨次增大1，向来到2n，共n项．nn取一个值时，对应两项，即11反省：理解等式的特色：在等式左侧，当2n－1－2n；在等式右侧，当n取一个值时，对应一项．不论n取何值，应保证等式左侧有2n项，而等式右侧有n项，而后再按数学概括法的步骤要求给出证明．题型二用数学概括法证明不等式an＋bna＋bn.【例题2】已知a＞0，b＞0，n＞1，n∈N＋，用数学概括法证明：2≥2反省：应用数学概括法证明不等式时，常常经过拼集项或拆项用上概括假定，再应用放缩法或其余证明不等式的方法证得＝＋1时命题建立．nk题型三概括——猜想——证明n项之积为n2.【例题3】某数列的第一项为1，而且对所有的自然数n≥2，数列的前写出这个数列的前五项；写出这个数列的通项公式并加以证明．解析：依据数列前五项写出这个数列的通项公式，要注意察看数列中各项与其序号变化的关系，概括出组成数列的规律．同时还要特别注意第一项与其余各项的差别，必需时可分段表示．证明这个数列的通项公式可用数学概括法．反省：先计算出一个数列的前几项，用不完好概括法猜想获得通项公式，再用数学概括法赐予证明，这是解数列问题的常有思路．题型四易错辨析易错点：在应用数学概括法证明问题时两步缺一不行，且在证明由n＝k到n＝k＋1命题建即刻一定用上概括假定，不然证明过程就是错误的．【例题4】用数学概括法证明：1111n.＋＋＋＋2n(2n＋2)＝2×44×66×84(n＋1)错证：(1)当n＝1时，左侧＝11＝1，右侧＝4(1＋1)，等式建立．2×44×2假定当n＝k时等式建立，那么当n＝k＋1时，直接使用裂项相减法求得1＋1＋111＋＋＋k＋4)2×44×66×82k(2k＋2)(2k＋2)(2111111111＝2－4＋4－6＋＋2－2＋2＋2＋2－2＋42kkkk111k＋1，即当n＝k＋1时等式建立．－＝4[(k＋1)＋1]＝222k＋4由(1)和(2)，可知等式对全部n∈N都建立．＋1用数学概括法证明(n＋1)(＋2)(＋)＝2n·1·3(2－1)(n∈N＋)，从“＝k到nnnnnn＝k＋1”左端需增乘的代数式为()．A．2k＋1B．2(2k＋1)2k＋12k＋3C．＋1D．＋1kk2平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增添一条直线后，它们的交点个数最多为( )．A．f(k)＋kB．f(k)＋1C．f(k)＋k＋1D．kf(k)3利用数学概括法证明1＋1＋1＋＋1＜1(n∈N＋，且n≥2)时，第二步由n＝knn＋1n＋22n到n＝k＋1时不等式左端的变化是()．1A．增添了2＋1这一项kB．增添了11和两项2k＋12k＋2111C．增添了2k＋1和2k＋2两项，同时减少了k这一项D．以上都不对4用数学概括法证明“若f111＋(1)＋(2)＋＋f(－1)＝( )＝1＋＋＋＋，则n23nnffnnf(n)(n∈N＋，且n≥2)”时，第一步要证的式子是___________________________________．5在数列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差数列，则S2，S3，S4分别为________，由此猜想Sn＝________.答案：基础知识·梳理k＋1【做一做】

D

由于从

n＝k到

n＝k＋1的证明过程中没实用到概括假定，故从

n＝k到n＝k＋1的推理不正确．典型例题·意会111【例题1】证明：(1)当n＝1时，左侧＝1－2＝2＝1＋1＝右侧，∴等式建立．假定n＝k时等式建立，即111111－＋－＋＋－2342k－12k111＝k＋1＋k＋2＋＋2k.则当n＝k＋1时，1111111左侧＝1－2＋3－4＋＋2k－1－2k＋2k＋1－2k＋211111＝k＋1＋k＋2＋＋2k＋2k＋1－2k＋211111＝k＋2＋＋2＋2k＋1＋k＋1－2＋2kk1111k＋2＋＋2k＋2k＋1＋k＋＝右侧．∴当n＝k＋1时等式也建立．由(1)和(2)，知等式对随意nN＋都建立．【例题2】证明：(1)当n＝2a2＋b2a＋b2a－b2时，左侧＝2，右侧＝(2)，左侧－右侧＝2≥0，不等式建立．(2)假定当n＝k(k＋时，不等式建立，即ak＋bka＋bkN，k＞1)2≥2，由于a＞0，b＞0，k＞1，N＋，所以(k＋1＋k＋1)－(k＋k)＝(a－)(k－k)≥0，于是k＋1＋k＋1≥k＋k.kabababbababababa＋bk＋1a＋ba＋bkak＋bka＋bak＋1＋bk＋1＋akb＋abk当n＝k＋1时，2＝2×2≤2·2＝4ak＋1k＋1k＋1k＋1ak＋1bk＋1＋b＋a＋b＋，∴当n＝k＋1时，不等式也建立．≤4＝2由(1)和(2)，知关于a＞0，b＞0，n＞1，nN＋，不等式an＋bna＋bn2≥2恒建立．【例题3】解：(1)已知a1＝1，由题意，得a1·a2＝22，22∴a＝2.223∵a1·a2·a3＝3，∴a3＝22.42524252同理，可得a＝3，a＝4.91625所以该数列的前五项为1,4，4，9，16.察看这个数列的前五项，猜想数列的通项公式应为1，n＝1，an＝n2n－2，n≥2.下边用数学概括法证明当n≥2时，a＝n22.nn－①当＝2时，2＝2222＝2，等式建立．na－②假定当n＝k(k≥2)时，结论建立，即kk22.a＝k－∵a1·a2··ak－1＝(k－1)2，1·2··ak－1·k·k＋1＝(k＋1)2，aaaak＋2k＋2k－2k＋2∴ak＋1＝a1·a2··ak－1ak＝k－2·k2＝k2＝k＋2－1]2.k＋∴当＝＋1时，结论也建立．nk依据①和②，可知当n≥2时，这个数列的通项公式是an＝n22.n－1，n＝1，nn2n－

2，n≥2.【例题4】错因解析：由n＝k到n＝k＋1时等式的证明没实用概括假定，是典型的套用数学概括法的一种伪证．正确证法：(1)111，等式建立．当n＝1时，左侧＝＝，右侧＝2×488(2)假定当n＝k时，1111＝k建立．＋＋＋＋2kk＋k＋2×44×66×8那么当n＝k＋1时，1111＋1＋＋＋＋2kk＋k＋k＋2×44×66×8k1kk＋＋1k＋2＝＋＝k＋k＋k＋k＋＝k＋k＋k＋k＋1＝k＋1，＝k＋＋1]k＋∴当n＝k＋1时，等式建立．由(1)和(2)，可得对全部nN＋等式都建立．随堂练习·稳固1．Bn＝k时，左侧＝(k＋1)(k＋2)(k＋k)，而n＝k＋1时，左侧＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2][(k＋1)＋(k－1)][(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(＋1)(k＋2)(＋)(2k＋1)．kkk2．A第k＋1条直线与本来k条直线订交，最多有k个交点．3．C不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n