高考数学重点难点复习32：极限及其运算

难点32高考数学重点难点复习：极限及其运算

极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多

问题的工具.旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一.本

节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行

有关极限的运算问题.

・难点磁场

(★★★★球呜：

"->82+a

・案例探究

[例1]已知lim(J/-x+l—ax—。)=0,确定a与b的值.

.r->oo

命题意图：在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利

用的规律，既有章可循，有法可依.因而本题重点考查考生的这种能力.也就是本

知识的系统掌握能力.属★★★★★级题目.

知识依托：解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无

理号的式子常用的一种方法.

错解分析：本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错.

技巧与方法：有理化处理.

解：lim(ylx2-x+\-ax-b)=lim1+

XT8-X+I+QX+匕

(]-a2)x2-(\+2ab)x+(\-b2)

=lim------/,-----------

18-x-\-\+ax+b

要使上式极限存在，则1-.2=0,

当l-a2=0时,

[-b2

2

卜十-(l-2^)x+(l-fe)_r-(1+2帅)+"__(1+2")

」一式"lim/~lim-/—■

eylx2-x+\+ax+h/11^.b"a

、一z----r1HCl

VXXX

由已知得二1LE也=o

1+。

1-a2=0a=1

一(1+2也八解得1

-------------=Ub=——

1+。2

［例2］设数列“1以2,…,4",…的前n项的和S"和“的关系是Sn=\—ban—

—其中b是与〃无关的常数，且bW—l.

(1+b)"

(1)求an和an-\的关系式；

(2)写出用n和b表示an的表达式；

(3)当0V6V1时,求极限limS”

“一►8

命题意图：历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前〃项和S”等

有紧密的联系.有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前〃

项和s„再求极限，本题考查学生的综合能力.属★★★★★级题目.

知识依托：解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系.

错解分析：本题难点是第⑵中由⑴中的关系式猜想通项及〃=1与«=2时的

式子不统一性.

技巧与方法：抓住第一步的递推关系式，去寻找规律.

1b

解：(1)atl=S„—Sn-i=­b(an—an-\)—+-~~—=—b(a,—an-\)+

(1+Z>)(1+6)(1+fe)

(心2)

解得即=白%+17r(心2)

b

(2)a,=S1—1—bai-------,a\

111l+b1("2

bbb,1,bSb2+b

..Cl..=-----1r------Cl..7H-----------1H-------------=(-----)7H------------

〃l+bl+b"2(1+勿〃」(l+b严l+b"2(1+4漳

/b、2rbb、b+b~

=(-----)[-----(la+----------H---------------

\+bl+bn~3(1+6)"T」(1+6严

,b、2b+b2+b3

=(-----)Clq+----------：—•

i+b"~3(l+b严

由此猜想册=(上)》&+b+b-+/+•••+/-

l+b(1+(严

把佝代入上式得

(l+b)?

b+b2+---+b"(l-b)(l+3

(1+b严

\S=D

2”+/

1=l»b-b"+l,1

⑶S“=l一姐,一

(1——)(l+b)"+i(1+b)"

nn

•••0<b<1时,limb=0,nm(-^-)=O,;.|imSn=1.

〃T8〃T81+b〃T8

・锦囊妙计

1.学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限.

学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极

限.

2.运算法则中各个极限都应存在.都可推广到任意有限个极限的情况，不能推

广到无限个•在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能

直接求极限.

3.注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如：

hm^(--1)^"=O,hman=0(1«1<1)

H—>00n〃一>8

当k=/时

kk-1

lim"°*；%"+…+%=0,当出</时

…研+姐+…+仇不存在，当心的

・歼灭难点训练

一、选择题

1(★★★★)即是(1+x)"展开式中含f的项的系数，则iim(‘+,+…+4•)等

"->84]。2

于()

A.2B.OC.lD.-1

2.(*★★★港三数a,l,c成等差数列且a4/又成等比数列，则[加(勺才

〃fooa~+c

的值是()

A.OB.lC.O或1D.不存在

二、填空题

lim(《x+。+y-爪)=.

n—>+<»

4.(★★★★)若lim(ad2n2+〃-1-〃〃)=1,则ab的值是.

n-»oo

三、解答题

5.(★★★★★)在数列｛斯｝中，已知4|=(a2=击,且数歹1」｛斯+1-$斯｝是公比

为g的等比数列，数列｛1g(即+1—J。”｝是公差为一1的等差数列.

(1)求数列｛为｝的通项公式；

⑵5"=。1+&2+…+斯(〃21),求limS".

n-><x>

6.(****")设“¥)是x的三次多项式，已知lim"')=]im=1,试求

〃->2aX-2a〃f4ax-4a

lim上孚的值M为非零常数).

”->8x—3。

7.(****)已知数列｛%｝,｛勾｝都是由正数组成的等比数列，公式分别为p、

%其中p>q,且pWl,qWl,设c”=d"+b",S"为数列助｝的刖n项和，求lim台-的值.

"T8S“_]

8.(*****)已知数列｛斯｝是公差为d的等差数列，dWO且。1=0/"=2册(〃

£N*),S,是｛儿｝的前〃项和，，尸汉(〃WN*).

b“

(1)求｛T,,｝的通项公式；

(2)当2>0时,求limT”.

参考答案

难点磁场

i+Y严

1

解:当"2或一叫吧2”-a_

(-y+aa

a

(?r+l1

小cc"a"+2"''

=lim-------------=—

«->coz+a—02+a(q)"4

a"+2"T3-2"-11

当〃=2时Jim=lim

nn+'一，

n->oo2+an->co6Pi

an+2”T(-2)"+2"T

当。=一2时,

2"+a"+,2"+(-2),,+|

_2"+2"T1

--为奇数）

2"+2n+l~3-2n6

2"+2""'3・2"T

=—1（"为偶数）

2〃_2〃+i-2"

歼灭难点训练

一、1.解析…“=c”中,W=

•'­lim(--+—+,,•+—)=lim2(1--)=2

〃T8Q]a2CLn〃->oon

答案：A

a+c=2,a+c=2a+c=2

2.解析：，匹2=「得22或1

a2+cz=2a2+c2=6

答案：C

(-^x+>[x+^-yfx)=limX+yjx+C-X

二、3.解析:lim

XT+OOA->+X

-lim------Ml

Xrf+002

+

1+1+74

X2

答案：1

a2(2n2+n-1)-n2b2(2a2-b2)n2+a2n-a2

4解析:原式=lim=lim-=1

n—>oo+〃一1+泌71—>00ad2n2+〃一1+泌

2a2-/?2=0\a=2收

v<n<

，2+b=l［b=4

：.a•。=8&

答案：8V2

三、5.解：(1)由他向一工即｝是公比为」的等比数列，且田=3,W=0,

1025100

11

即+i--an=｛a.--ajX-S-r^---X—)(1)"-1-(I)-=-L,

101021005102422n+l

•••斯+1=：斯+广①

又由数列｛馆仅用一：。")｝是公差为一1的等差数列，且首项怆⑷一工m)

=lg3(1--l1x^3)=-2,

10025

其通项lg(4”+i—；%)=—2+(〃—1)(—1)=—(n+1),

(w+l)

—4”=10一("+1),即a„+l=l«„+10-②

22

①②联立解得斯=：［蒋严一(：严］

〃n

⑵S尸"=«；1产一1产］

k=\2k=l2k=\I"

••.limS,中冬_鼻］得

〃T8Z］_1］_1y

~2-To

6.解：由于lim2^=l，可知，人2。)=0

x—>2«X—2。

①

同理八4〃)=0

②

由①②可知於)必含有(x—2〃)与(x—4a)的因式，由于«x)是x的三次多项式,

故可设/(幻斗。一2G(九一4公。一。),这里4、C均为待定的常数，

.f(x)1目门A(x-2a)(x-4a)(x-C)..人、1

由lim------=1,即lim--------------------------------=limAz(x-4aw)(x-C)=1,

A—>2«X—2aA—>2aX—2〃x—>2a

得A(2Q-4a)(2a-C)=1，即4a2A—2aCA=-1

③

同理，由于1而上曳=1,得44。-20)(44—。)=1,即8a2A-2aCA=\

.24。x-4a

④

由③④得C=3〃K=」y,因而兀¥)=(%—2^)(%—4tz)(x—3a),

2a22a2

f(x)1,…、1,、1

••lim----=lim—y(x-2a)(x-4a)=---<7-(-«)=--

x->3aX-3。.t—»3«2〃2〃2

7.解)+地Hl

I-pl-q

■(1-〃〃)

.S“I-pl-q

"S,i一JQ—gl)

I-p\-q

="(I—q)+4(1—〃)一一仇(1—p)g”

一%(1-q)+仇(1一))一可(1一q)/T一仇(1一p)q"-'

由数列｛斯｝、｛勾｝都是由正数组成的等比数列，知p>0,q>0

%(1-4)+―(1--)-%(1-幻。”-b[Q-p)q”

n

Sn

当p>1时lim—^―=lim---------;-----------------;—;---------r

8S’』〃](l-q)+仿(1