人教A版高中数学选择性必修一直线和圆的方程 第3课时

课题：2.2.1直线的点斜式方程巢湖市第二中学陶婷婷一、内容和内容解析1.内容直线的点斜式方程、直线的斜截式方程.2.内容解析上节课，已知在平面直角坐标系内确定一条直线的几何要素，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，这样在平面直角坐标系中，直线上任意一点的坐标与给定点的坐标和斜率之间的关系是完全确定的，直线上任意一点坐标一定满足该关系式，反之，坐标满足该关系式的点一定在直线上，因此我们能够建立直线方程.直线方程属于解析几何的基础知识，是研究解析几何的开始.直线方程初步体现了解析几何的实质一一用代数的知识研究几何问题.对后续圆、直线与圆的位置关系等内容的学习，无论是知识上还是方法上都有着积极的意义.本节的教学，可以培养学生直观想象素养和逻辑推理素养.基于以上分析，确定本节课的教学重点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用.二、目标和目标解析1.目标(1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围.(2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程.(3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.2.目标解析达成上述目标的标志是：(1)能够知道建立直线方程就是利用确定直线位置的几何要素建立直线上任何点的横坐标x与纵坐标y所满足的关系式.(2)(3)在直线的斜截式方程与一次函数的比较中，体会两者区别与联系,特别是体会两者数形结合的区别,进一步体会解析几何的基本思想.培养学生数学抽象的核心素养.三、教学问题诊断分析直线的方程是学生在初中学习了一次函数的概念和图象及直线的斜率后进行研究的.推导直线点斜式方程时，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，这样在平面直角坐标系中，直线上任意一点的坐标与给定点的坐标和斜率之间的关系是完全确定的，直线上任意一点坐标一定满足该关系式，反之，坐标满足该关系式的点一定在直线上，因此我们能够建立直线方程.学生能听懂建立直线的点斜式的过程，但可能会不知道为什么要这么做.因此还是要跟学生讲清坐标法的实质--把几何问题转化成代数问题,用代数运算研究几何图形性质.但由于学生刚开始学习解析几何,第一次用坐标来求方程,在学习过程中，会出现“数”与“形”相互转化的困难.本单元中还将用坐标法学习圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程.根据以上分析，确定本节课的教学难点：直线点斜式方程的推导及应用范围.四、教学支持条件分析为调动学生的学习兴趣，可以借助多媒体设备展示教学中所需图片。借助教学多媒体数学白板能够帮助学生简单快速的展示.教学过程设计情境导入，激发欲望引导语：在平面直角坐标系中点可以用坐标来表示，那么对于直线可以如何表示呢？为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，上节课我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度，从而把几何问题转化为代数问题，那么这节课我们来一起探究如何在平面直角坐标系中表示直线.思考：如何在平面直角坐标系中建立直线方程？设计意图：通过对确定直线位置几何要素转化代数形式的过程总结回顾，构建单元联系.并复习上节知识点引出如何建立直线方程？明确直线方程是直线上任意点的几何特征进行代数表示，运用坐标法研究问题方程思想，求解直线点斜式方程.（二）问题探究，建构新知问题1：如何表示出过点且斜率为的直线的关系式？师生活动：给予学生独立思考时间，思索并尝试通过斜率建立等式，教师再引导学生明确：过已知点且斜率为的直线的几何特征：直线上任意点与已知点连线的斜率等于直线的斜率.如图，直线l经过点，且斜率为k，设是直线l上不同于点P的任意一点，因为直线l斜率为k，由斜率公式得设计意图：通过确定直线位置几何要素代数形式，联系直线上任一点的坐标建立关系式，初步体会用代数方法来表示直线的几何特征，培养学生自主探索的能力.追问1：点的坐标满足关系式吗？是否满预设答案：明确分式有意义的条件，分式无法表示点师生活动：明确分式有意义的条件，教师引导学生对上述关系式变形，使得关系式可以表示直线上任意一点.只需将分式转化为整式，整式可以表示直线l上的所有点。即直线上任意点的坐标都满足这一关系式.追问2：反之，坐标满足关系式的每个点是否都在直线上？师生活动：所以，直线l上的任意一点的坐标一定满足关系式；坐标满足这个方程的每个点都在直线.教师总结得到直线的点斜式方程设计意图：通过小组合作解决两个追问，培养学生合作探究的能力.明确建立直线方程的过程，培养学生利用坐标法研究直线方程，发展学生逻辑推理、数学运算的核心素养。(三）深入探究，巩固提升问题2：过点P0(x0,y0)的所有直线都有点斜式方程吗？预设回答：不是，直线的点斜式方程需要一点和斜率.追问1：当直线l的倾斜角为0°时,直线l的方程是什么?为什么?师生活动：学生独立思考后找两名同学展示自己的想法与答案.教师在学生回答后引导学生从几何角度思考.直线倾斜角为0°时,此时,k=tan0°=0则由直线的点斜式方程得：y-y0=0从几何角度考虑，这时直线l与x轴平行或重合，直线上所有点的纵坐标都相等，所以，直线l的方程y=y0学生独立思程追问1：当直线l的倾斜角为90°时,直线l的方程是什么?为什么?师生活动：设计意图：进一步使学生理解直线的点斜式方程的适用范围，说明直线的点斜式方程无法表示所有的直线，需要注意斜率不存在的情况掌握特殊直线方程的表示形式,培养学生严谨的数学态度.，发展学生的数学抽象核心素养.例1：师生活动：给予学生一分钟时间思考，引导学生对于直线斜率存在的判断.教师规范板书，学生理解掌握.明确求直线方程的步骤，教会学生规范答题正确书写。引导学生从直线上的点都满足直线方程这一特点，采取两点确定一条直线规范绘画完成画图。设计意图：本例题直接应用新知解决数学问题，同时也为学生规范表达数学过程做出示范。通过例题设计，让学生熟练掌握使用点斜式的两个条件：定点，斜率，以及画图的思想方法。（四）合作讨论，类比探究问题3：如何表示过点，斜率为k的直线方程？预设答案：已知直线的斜率和直线上一点的坐标，可直接将已知代入点斜式方程,得到，化简后得.新知概念：我们把y=kx+b称为直线的的斜截式方程，b是指直线与y轴交点的纵坐标.追问1：截距是否是距离？预设答案：截距不是距离，而是直线与y轴交点的纵坐标，截距可正可负可为零。直线与x轴交点的横坐标为横截距坐标。追问2：是否所有直线都有斜截式方程？预设答案：思考斜截式方程与点斜式方程的区别，类比得到斜截式方程是点斜式方程的特例，两者存在的条件都是斜率存在。设计意图：由直线点斜式方程的一般到特殊，借助直线的点斜式方程探究直线的斜截式方程，说明并理解直线的斜截式方程.问题4：如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx+b？师生活动：引导学生思考：直线方程是直线上任意点的坐标(x，y)所满足的代数关系，由于直线上点的任意性，因此在坐标系中表示变量x，y间的对应关系，而它也就是一次函数对应的图象.初中学习一次函数y=kx+b时，只知道k，b是常数，但是没有说明它们的几何意义.现在，从直线方程的角度我们知道了k，b的几何意义为函数对应的直线的斜率和直线在y轴上的截距.追问：根据方程角度探究一次函数y=2x-1,y=3x及y=-x+3图象的特点.例2：设计意图：从直线方程的角度认识一次函数，充分掌握数形间的内在联系.归纳总结，科学评价1.我们是怎么探究直线的点斜式方程的？建立直线方程的过程是怎样的？2.学习了哪些直线方程？是否所有直线都有这些形式？3.本节课的学习过程体现了哪些数学思想？你有哪些感悟？4.单元框架师生互动：学生概括,教师补充.通过本节课的学习，我们根据一点和一方向可以确定一条直线，用坐标法即可得到直线方程，那么已知两点是否可以确定一条直线呢？你还能得到直线的其他形式吗？下节课我们还将学习直线的其他形式.设计意图：1.让学生明确利用坐标法得到了直线的方程并应用，培养学生的数形结合的思想,熟练掌握本节课重难点.2.引导学生对于本单元知识的衔接与联系，系统掌握形成知识框架.对本单元。（六）作业布置，自我提升1.基础巩固：教科书练习题第1、2、4题2.素养提升：求直线5ax-5y-a+3=0恒过定点3.拓广探究：若直线5ax-5y-a+3=0不经过第二象限，求a的取值范围.六、目标检测设计A组适用普通高中学生1.在y轴上的截距为2且倾斜角为45°的直线方程为________.2.已知的顶点．(1)求边BC上的高AD所在直线的方程；(2)求边BC上的中线AM所在直线的方程．3.过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为？4.将直线绕其上一点沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是______．B组适用重点高中学生1.直线l经过点B(-2,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则l的点斜式方程为______．2.若直线经过第一、二、四象限，则有（

）A．， B．，C．， D．，3