第三章-量子力学中的下

第三章量子力学中的力学量第4(5)节

厄米算符本征函数的正交性正交性定义：则称两个函数（互相）正交性。以后说明这是通常矢量正交性的自然推广定理1：厄米算符分属不同本征值的本征函数彼此正交。定理：厄米算符的本征值是实数。定理2：若厄米算符某个本征值存在k个不同(线性无关)本征函数，则必可从它们的线性组合中选择k个彼此正交的（本征）函数。显然k维子空间V中一定存在k个正交矢量（函数）且都是算符F的本征函数。第4(5)节

厄米算符本征函数的正交性根据前面2个定理，我们总可适当选择厄米算符的本征函数，使它们满足正交归一性！例如动量算符本征函数角动量算符本征函数一维线性谐振子氢原子波函数波函数波函数波函数波函数一维无限深势阱第5(6)节

算符与力学量的关系前面提到，当系统处于力学量算符(厄米算符)的本征态时，力学量有确定值，这个值就是力学量算符在该本征态中的本征值。例如处于哈密顿算符本征态时的能量，动量算符本征态时的动量，角动量算符本征态时的角动量，等等。现在推广这个假定。先引入概念：完全系（完全性、完备集）则称该函数集构成完全系或完备集，满足展开系数称为几率幅。注意展开系数满足若厄米算符的正交归一本征函数集对于量子力学中所遇到的厄米算符，数学中已分别证明其本征函数集都是完备的。综上，厄米算符的本征函数构成正交、归一、完备的函数集。第5(6)节

算符与力学量的关系测量F的结果是其本征值，一般不确定是那个本征值。量子力学基本假定：力学量F对应厄米算符,算符的本征函数构成量F的结果必定是对应算符的本征值，测量到本征值的几率是。展开系数称为几率幅。如果测量F的结果为，波函数塌缩为。完全系。当系统由归一化波函数描述时，测量力学平均值公式未归一化波函数按照几率求平均值的法则，可以求得力学量F在态中的平均值。平均值公式归一化波函数（分立谱）（连续谱）例题氢原子处于基态，求电子动量的几率分布。几率密度几率分布电子动量在范围的几率氢原子基态动量的本征态例题(定理)任何状态下，厄密算符的平均值都是实数。例题任何状态下，厄密算符平方的平均值一定大于等于零。第5(6)节

算符与力学量的关系例题

(p1013.6题)设t=0时，粒子处于状态求此时粒子的平均动量和平均动能。(1)按动能算符的本征函数展开(2)按动量算符的本征函数展开平均动能平均动量平均动能按(1)：按(2)

：第5(6)节

算符与力学量的关系例题

(p1013.7题)一维运动粒子的状态是归一化常数A=?若粒子的能量为E,求系统的势能。动量的几率分布函数。平均动量。动量的几率分布函数平均动量实际上，平均动量一看就知道为零。积分是实数！1)2)3)4)第5(6)节

算符与力学量的关系平均能量实际上，平均能量可以非常方便地计算出例题

(p1013.8题)一维无限深势阱（阱宽为a）中运动，若粒子的状态波函数是求粒子能量的几率分布和能量平均值。能量本征函数和能量本征值是能量的几率分布(阱内)例题一维无限深势阱（）中的粒子处于状态求(1)粒子处于内的概率;(2)求此时测粒子能量得到的可能值、相应的概率及能量的平均值。解：(1)首先对波函数归一化得所以此系统得归一化波函数为：是定态波函数所以，粒子处在的概率：

其中因为：(2)能量的平均值为：概率为：概率为：能量的可能值为：例题设一维无限深势阱中运动粒子的波函数为(0<x<a)，求在此任意态下，粒子能量的可能测量值和相应的几率。可以把分解如下

解：一个算符F在态中可能的测量值，即为将用F的本征态展开时，各本征态相应的本征值。相应的概率即为展开式中本征态前面的系数的模的平方。其中，为无限深势阱中粒子能量的本征函数。因此，

是和两态的叠加，能量的可能测量值为或测量值为和的几率各为。第5(6)节

算符与力学量的关系例题

(p1023.9题)若氢原子处于状态求原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，相应几率和这些量的平均值是能量、角动量平方及角动量z分量算符的共同本征函数氢原子定态波函数角动量z分量角动量平方能量可能值几率平均值例题设氢原子处于的状态上，求其能量、角动量平方及角动量z分量的可能取值与相应的取值概率，进而求出它们的平均值。其中量子数的取值范围是利用归一化条件求出归一化常数为氢原子的能量只与主量子数n有关，依题意可知，n的可能取值有两个，即n=2，3，于是解选为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为角动量量子数的可能取值只有一个，即故有角动量磁量子数的可能取值有两个，即于是第5(6)节

算符与力学量的关系2个有用的定理（1）H-F定理

系统处于束缚定态，则其中，是算符中的一个参数。第5(6)节

算符与力学量的关系由H-F定理（2）维里定理

系统处于束缚定态，则若势能是α次齐次函数则哈密顿算符为即若第5(6)节

算符与力学量的关系由维里定理得

例题一维谐振子处于能量本征态1)求势能的平均值。2)求动能的平均值。3)求动量几率分布。该题当n=0时就是p100的3.1题例题

p100的3.2题氢原子处于基态1)求r的平均值。2)求势能的平均值。3）最可几半径(前面已讲，略)。4)求动能的平均值。5)求动量几率分布(前面已讲，略)。由维里定理得

动量几率分布。其中第6(7)节算符的对易关系

两力学量同时有确定值的条件测不准关系两个算符乘积一般与次序有关

定义对易式坐标算符与动量算符的对易式

基本对易关系同理得到坐标算符与动量算符的其它对易关系。

其它(有经典对应的)物理量的对易关系可从基本对易关系导出。例如角动量算符的对易式

对易式的公式作业对易：

一、两力学量算符对易不对易：

第6(7)节算符的对易关系

两力学量同时有确定值的条件测不准关系证明：必要条件定理

两个力学量算符有共同的构成完全系的本征函数集证明：充分条件若则则若且和（i）如果非简并，则（ii）如果度简并，则维子空间一定存在个正交归一函数满足注意证毕！用取代第6(7)节

算符的对易关系

两力学量同时有确定值的条件测不准关系定理

两个力学量算符有共同的构成完全系的本征函数集若系统处于两个力学量算符的共同本征函数描述的状态则这两个力学量同时有确定值。二、两力学量同时取确定值的条件例如，也就是说，即使两个算符不对易,也不排除它们存在个别的共同本征函数,在这样的函数描述的状态下,两个力学量同时有确定值。氢原子的基态就属于这种情况。注意：即使两个算符对易,但若体系所处的状态不是它们的共同本征函数，则它们都没有确定值。推广：(两个以上的算符)

一组力学量同时具有确定值的充分必要条件是处在这些力学量算符的共同本征态中。两个力学量不对易没有共同构成完全系的本征函数集。但它们可能有共同本征函数！例1：例2：定理：一组力学量算符具有完备的共同本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。力学量完全集合（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。例1：三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：例2：氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：例3：一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。（3）由力学量完全集合所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。第6(7)节

算符的对易关系

两力学量同时有确定值的条件测不准关系第6(7)节

算符的对易关系

两力学量同时有确定值的条件测不准关系三、测不准关系（不确定关系）——不对易情况（1）若2个厄米算符F,G满足对易关系（2）力学量各次测量的结果一般来说并一定等于其平均值，因此我们需要引入一个新的物理量描述力学量在其平均值上下涨落的平均幅度。这个量就是偏差（不确度、涨落）。因此，定义偏差算符证明之前，引入如下新的关系式：（3）定理

两个力学量算符满足对易关系，则它们满足测不准关系或。偏差算符对易关系：力学量的平均值：均方根偏差：均方偏差：描写力学量的可能测值相对于平均值的偏离程度（不确定程）是体系的任意一个波函数第6(7)节

算符的对易关系

两力学量同时有确定值的条件测不准关系厄米算符：是一个任意的实参数。引入非负积分证明：证明之前，引入如下新的关系式：偏差算符对易关系：力学量的平均值：均方根偏差：均方偏差：描写力学量的可能测值相对于平均值的偏离程度（不确定程）是体系的任意一个波函数，第6(7)节

算符的对易关系

两力学量同时有确定值的条件测不准关系定理

两个力学量算符满足对易关系则它们满足测不准关系习题：证明—力学量算符满足是该算符的本征态。是厄米算符！位置与（相应的）动量不能够同时准确决定动能与势能不能同时准确决定总能量=动能+势能不再成立。应该是这也解释了势垒现象中似乎动能为负值的疑问。例题：或Heisenburg（也称为基本）测不准关系：表明：坐标与共轭动量的均方偏差不能同时为零，其一越小，另一就越大。第6(7)节

算符的对易关系

两力学量同时有确定值的条件测不准关系注意线性谐振子束缚态必定有确定宇称例题：

Heisenburg测不准关系可以说明线性谐振子零点能的存在。所以Heisenburg测不准关系:第7(8)节

力学量平均值随时间的演化守恒定律力学量平均值其中归一化波函数满足(含时)薛定谔方程则如果力学量算符不显含时间，若力学量算符不显含时间守恒量又满足则第7(8)节

力学量平均值随时间的演化守恒定律(3)转动不变角动量守恒(1)时间平移不变能量守恒(2)空间平移不变动量守恒空间平移不变系统转动不变是守恒量是守恒量(4)空间反演不变宇称守恒宇称算符空间反演不变是守恒量时间平移不变又第3节

氢原子——习题习题书中第三章3.1—3.9题前面都已讲过