2020版高考数学(理)刷题小卷练32Word版含解析

刷题增分练32椭圆的定义、标准方程及性质刷题增分练○32小题基础练提分快一、选择题1．椭圆x2＋y2＝1的离心率为( )4A.1B.322C.5D．22答案：B分析：由题意得a＝2，b＝1，则c＝3，因此椭圆的离心率e＝c＝3，应选B.a2的离心率为1，则m＝2．[2019·佛山模拟]若椭圆mx2＋ny2＝1()2n34A.4B.332334C.2或3D.4或3答案：D11x2y2m－n分析：若焦点在x轴上，则方程化为1＋1＝1，依题意得1＝mnm221，因此m＝3；若焦点在y轴上，则方程化为y＋x＝1，同理可得m＝4n411n434nm3.因此所求值为4或3.3．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2组成的△ABF2的周长为()A．2B．4C．8D．22答案：B分析：由于椭圆方程为4x2＋y2＝1，因此a＝1.依据椭圆的定义，知△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝4.4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF21＝60°，则C的离心率为( )FA．1－3B．2－32C.3－1D.3－12答案：D分析：在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，不如设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|＝2，则|PF2|＝1，|PF1|＝3，x2y2由椭圆的定义可知，方程a2＋b2＝1中，2a＝1＋3，2c＝2，得a＝1＋3，c＝1，2因此离心率e＝c＝2＝3－1.应选D.a1＋35．[2019·河南豫北要点中学联考]已知点P1，2x2＋y22是椭圆a2＝1(a>1)上的点，A，B是椭圆的左、右极点，则△PAB的面积为( )2A．2B.41C.2D．1答案：D11分析：由题可得a2＋2＝1，∴a2＝2，解得a＝2(负值舍去)，则△PAB＝1×2a×2＝1，应选D.S22分别是椭圆x2＋y2＝1(a>b>0)6．·河南安阳模拟]已知F1，F[20192a2b2的左、右焦点，P为椭圆上一点，且→→1→为坐标原PF1·＋OP＝0(O(OF)→＝→，则椭圆的离心率为点)．若|PF12()|2|PF|A.6－36－3B.26－5C.6－5D.2答案：A分析：以OF1，OP为邻边作平行四边形，依据向量加法的平行四边形法例，由→·→＋→＝知此平行四边形的对角线相互垂PF1(OF1OP)0直，则此平行四边形为菱形，∴|OP|＝|OF1|，∴△F1PF2是直角三角形，即PF1⊥PF2.设|PF2|＝x，则2x＋x＝2a，2x2＋x2＝2c2，a＝2＋1x，2∴e＝c＝3＝6－∴3，应选A.3a2＋1c＝2x，7．若点O和点F分别为椭圆x2＋y2＝1的中心和左焦点，点P43为椭圆上的随意一点，则→→的最大值为()OP·FPA．2B．3C．6D．8答案：Cx2y2分析：由椭圆4＋3＝1可得F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)(－≤≤，则→→222x2＝121＋·＝x＋x＋y＝x＋x＋31－44x＋x＋3＝4(x2x2)OPFP2→→2)＋2，－2≤x≤2，当且仅当x＝2时，OP·获得最大值6.FPx2y28．[2019黑·龙江大庆模拟]已知直线l：y＝kx与椭圆C：2＋2＝ab1(a>b>0)交于A，B两点，此中右焦点F的坐标为(c,0)，且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为( )A.2，1B.，2202C.2，1D.，2202答案：C分析：由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA|＝|OF|＝c，由|OA|>b，即c>b，可得c2>b2＝a2－c2，12即c2>2a2，可得2<e<1.应选C.二、非选择题9．[2019·南开封模拟河]如图，已知圆E：(x＋3)2＋y2＝16，点F(3，0)，P是圆E上随意一点．线段PF的垂直均分线和半径PE订交于Q.则动点Q的轨迹Γ的方程为________．答案：x2＋y2＝14分析：连结QF，由于Q在线段PF的垂直均分线上，因此|QP||QF|，得|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝4.又|EF|＝23<4，得Q的x2轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆即4＋y2＝1.10．·金华模拟]假如方程2＋ky2＝2表示焦点在x轴上，且[2019x焦距为3的椭圆，则椭圆的短轴长为________．答案：522x2y232225分析：方程x＋ky＝2可化为2＋2＝1，则2＋k＝2?k＝4，k5∴短轴长为2×2＝5.x2y211．[2019·陕西检测]已知P为椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是其左、右焦点，∠F1PF2取最大值时cos∠F1PF2＝1，则椭圆的离心率为________．3答案：3322分析：易知∠F1PF2取最大值时，点P为椭圆x2＋y2＝1与y轴的ab2a2交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a2－3＝4c2，即a＝3c，因此3椭圆的离心率e＝a＝3.2212．已知椭圆C：x8＋y2＝1与圆M：x2＋y2＋22x＋2－r2＝0(0<r<2)，过椭圆C的上极点P作圆M的两条切线分别与椭圆C订交于A，B两点(不一样于P点)，则直线PA与直线PB的斜率之积等于________．答案：1分析：由题可得，圆心为M(－2，0)，P(0，2)．设切线方程为y＝kx＋2.由点到直线的距离公式得，d＝|－2k＋2|＝r，1＋k2化简得(2－r2)k2－4k＋(2－r2)＝0，则k1k2＝1.刷题课时增分练32○综合提能力课时练赢高分一、选择题1．[2019·河北联考]以椭圆上一点和两个焦点为极点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A．1B.2C．2D．22答案：D分析：设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，12×2cb＝1?bc＝1,2a＝2b2＋c2≥22bc＝22，当且仅当b＝c＝1时，等号建立．应选D.2．[2019·深圳模拟]过点(3,2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有同样焦点的椭圆方程为()x2y2x2y2A.5＋10＝1B.10＋15＝1x2y2x2y2C.15＋10＝1D.10＋5＝1答案：C分析：椭圆3x2＋8y2＝24的焦点为(±5，0)，可得c＝5，设所求椭圆的方程为x2y29＋4＝1，又a2－b2＝5，得b2＝10，＋＝1，可得a2b2a2b2a2＝15，因此所求的椭圆方程为x2＋y2＝1.应选C.15103．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1，12，2成等差数列，则椭圆的方程为()||FF||PF|x2y2x2y2A.8＋6＝1B.16＋6＝1x2y2x2y2C.4＋2＝1D.8＋4＝1答案：A22分析：设椭圆的标准方程为x2＋y2＝1(a>b>0)．由点P(2，3)在椭圆上知4＋3ab＝1.又|PF，，成等差数列，则＋|PF2|a2b21||F1F2||PF2||PF1|42＋32＝1，c＝1，又ab＝2|F12，即＝×2＝2－2，联立c2＝a2－b2，F|2a22ca2c1a＝2得a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为x2＋y2＝1.86．·全国卷Ⅱ已知，Fx2＋y2F1是椭圆C：＝1(a>b>0)的左、4[2018]2a2b2右焦点，A是C的左极点，点P在过A且斜率为3的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F12＝°，则C6( )的离心率为FP120213B.21C.3D.4答案：D分析：如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝3，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，|PB|33tan∠PAB＝|AB|＝a＋2＝6，解得a＝4，1因此e＝a＝4.应选D.5．[2019·广西桂林柳州联考]已知点P是以F1，F2为焦点的椭圆22x2＋y2＝1(a>b>0)上一点．若PF1⊥PF2，tan∠PF2F1＝2，则椭圆的离ab心率e为()51A.3B.321C.3D.2答案：Ax2y2分析：∵点P是以F1，F2为焦点的椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)上一点，|PF1|PF1⊥PF2，tan∠PF2F1＝2，∴|PF2|＝2.设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，由椭圆定义知x＋2x＝2a，∴x＝2a，∴|PF＝2a，则|PF＝4a由勾股32|31|3.定理知|PF2|2＋|PF1|2＝|F1F2|2，解得c＝5c53a，∴e＝a＝3.应选A.6．已知F1，F2是椭圆x2＋y2＝1的两焦点，过点F2的直线交椭169圆于A，B两点．在△AF1B中，如有两边之和是10，则第三边的长度为()A．6B．5C．4D．3答案：A分析：依据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.7．[2019·贵州遵义联考]已知m是两个数2,8的等比中项，则圆2锥曲线x2＋y＝1的离心率为( )m353A.2或2B.2或5C.3D.52答案：B分析：由题意得m2＝16，解得m＝4或m＝－4.y2cb2当m＝4时，曲线方程为x2＋4＝1，故其离心率e1＝a＝1－a231－4＝2；当m＝－4

时，曲线方程为

y2x2－4＝1，故其离心率

ce2＝a＝b21＋a2＝

1＋4＝

5.3因此曲线的离心率为2或5.应选B.b8．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)和圆x2＋y2＝2＋c2有四个交点，此中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为( )A.5，3B.0，25552335C.5，5D.5，5答案：A分析：由题意可知，椭圆的上、下极点在圆内，左、右极点在圆a>b＋c，－212－c2，53外，则2ac>4a解得b整理得5<e<5.b<2＋c，a2－c2<2c，二、非选择题．·铜川模拟22已知椭圆x＋y＝1的左焦点为F，直线x＝m9[2019]43与椭圆交于点

A、B，当△

FAB

的周长最大时，△

FAB

的面积是________．答案：分析：

3如图，设椭圆的右焦点为E，连结AE、BE.由椭圆的定义得，△FAB的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|＝|AB|＋(2a－|AE|)＋(2a－|BE|)＝4a＋|AB||AE|－|BE|.∵|AE|＋|BE|≥|AB|，|AB|－|AE|－|BE|≤0，∴|AB|＋|AF|＋|BF|＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|≤4a.当直线AB过点E时取等号，此时直线x＝m＝c＝1，把x＝1代入椭圆x2y234＋3＝1得y＝±，∴|AB|＝3.∴当△FAB的周长最大时，2△FAB的面积是1×3×|EF|＝1×3×2＝3.222210．[2019·辽宁沈阳东北育才学校月考]已知椭圆C：x2＋y2＝ab1(a>b>0)，A，B是C的长轴的两个端点，点M是C上的一点，知足MAB＝30°，∠MBA＝45°.设椭圆C的离心率为e，则e2＝________.3答案：1－3分析：由椭圆的对称性，设M(x0，y0)，y0>0，A(－a,0)，B(a,0)．因为∠MAB＝30°，∠MBA＝45°，因此kBM＝y0y00－a＝－1，kAM＝0＋a＝xx2223＝1－e2，所3.又由于x02＋y02＝1，三等式联立消去x0，y0可得b2＝3aba3以e2＝1－33.11．[2019·云南昆明月考]已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭2圆E过点C(0,1)，离心率为2.(1)求椭圆E的方程；(2)直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A，B两点，若2△OAB的面积为3，求直线l的方程．x2y2分析：(1)设椭圆E的方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，b＝1，由已知得c2解得a2＝2，b2＝1，a＝2，a2＝b2＋c2，x2因此椭圆E的方程为2＋y2＝1.(2)由已知，直线l过左焦点F(－1,0)．当直线l与x轴垂直时，A－，－2，B－，2，1212此时|AB|＝2，则S12×1＝222，不知足条件．△OAB当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，A(x1，y2)，B(x2，y2)．y＝kx＋1，由x2得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，2＋y2＝122因此