2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习检测101椭圆其性质Word版含解析

专题十圆锥曲线与方程【真题典例】10.1椭圆及其性质挖命题【考情研究】5年考情考点内容解读展望热度考题示例考向关系考点1.认识圆锥曲线的实质背景,了2018浙江,17椭圆的标准方程向量、最值椭圆的解圆锥曲线在刻画现实世界和双曲线的标准方程、定义和2016浙江,7椭圆的标准方程解决实质问题中的作用.离心率★★★标准方2.掌握椭圆的定义、几何图形、椭圆的定义和直线与椭圆的地点关系、程2015浙江,19标准方程.标准方程最值、范围椭圆的1.掌握椭圆的简单几何性质.2017浙江,2椭圆的离心率★★★几何性2.理解数形联合的数学思想.双曲线的离心率、圆、2016浙江,7,19椭圆的离心率质直线与椭圆的地点关系2015浙江,19,文15椭圆的离心率直线与椭圆的地点关系剖析解读1.椭圆是圆锥曲线中最重要的内容,是高考命题的热门.考察椭圆及其标准方程,椭圆的简单几何性质.考察把几何条件转变为代数形式的能力.4.估计2020年高考取,椭圆的考察必不行少,考察仍旧集中在椭圆及其标准方程,椭圆的简单几何性质,以及与椭圆相关的综合问题上.破考点【考点集训】考点一椭圆的定义和标准方程1.(2018

浙江镇海中学阶段性测试

,21)

已知椭圆G:+=1(a>b>0)的离心率为

,右焦点为

(2

,0).

斜率为1的直线

l

与椭圆

G交于

A,B两点,以AB为底作等腰三角形

,极点为

P(-3,2).(1)求椭圆

G的方程;(2)求△PAB的面积.分析(1)由已知得c=2,=,解得a=2.又b2=a2-c2=4,所以椭圆G的方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=x+m.由得4x22①+6mx+3m-12=0.设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB中点为E(x0,y0),则x0==-,y0=x0+m=.由于AB是等腰△PAB的底边,所以PE⊥AB.所以PE的斜率k==-1,解得m=2.此时方程①为4x2+12x=0,解得x1=-3,x2=0.所以y1=-1,y2=2.所以|AB|=3.此时,点P(-3,2)到直线l:x-y+2=0的距离d==,所以△PAB的面积S=|AB|·d=.2.(2018浙江诸暨高三期末,21)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且经过点(3,1).求椭圆的标准方程;(2)过点P(6,0)的直线l交椭圆于A,B两点,Q是x轴上的点,若△ABQ是以AB为斜边的等腰直角三角形,求直线l的方程.分析(1)由e==?a2=3b2,设椭圆方程为+=1,则+=1,所以b2=4,所以椭圆的标准方程为+=1.(2)设AB的中点坐标为(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=ty+6,则由得(t2+3)y2+12ty+24=0,AB的中垂线方程为y+=-t,所以Q,点Q到直线l的距离为.|AB|=,所以6=2,解得t2=9,所以t=±3.所以直线l的方程为x±3y-6=0.考点二椭圆的几何性质1.(2018浙江镇海中学期中,21)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的四个极点构成的四边形的面积为2,且经过点.求椭圆C的方程;若椭圆C的下极点为P,如下图,点M为直线x=2上的一个动点,过椭圆C的右焦点F的直线l垂直于OM,且与椭圆C交于A,B两点,与OM交于点N,四边形AMBO和△ONP的面积分别为S1,S2.求S1S2的最大值.分析(1)由于在椭圆C上,所以+=1,又由于椭圆的四个极点构成的四边形的面积为2,所以×2a×2b=2,即ab=,22所以椭圆C的方程为2解得a=2,b=1,+y=1.(2)由(1)可知F(1,0),设M(2,t),A(x1,y1),B(x2,y2),则当t≠0时,OM:y=x,所以kAB=-,直线AB的方程为y=-(x-1),即2x+ty-2=0(t≠0),由得(8+t2)x2-16x+8-2t2=0,则=(-16)2-4(8+t2)(8-2t2)=8(t4+4t2)>0,x1+x2=,x1x2=,AB=·=×=,又OM=,所以S1=OM×AB=×=,由得xN=,所以S2=×1×=,所以S1S2=×==<.当t=0时,直线l:x=1,AB=,S1=××2=,S2=×1×1=,S1S2=,所以当t=0时,S1S2获得最大值,为.2.(2018浙江宁波模拟(5月),21)如图,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点M(-2,1)是椭圆内一点,过点M作两条斜率存在且相互垂直的动直线l1,l2,设l1与椭圆C订交于点A,B,l2与椭圆C订交于点D,E.当M恰好为线段AB的中点时,|AB|=.求椭圆C的方程;求·的最小值.22分析(1)由题意得a=4b,即椭圆C:+=1,设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4).由作差得,(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0.又当M(-2,1)为线段AB的中点时,x1+x2=-4,y1+y2=2,∴AB的斜率k==.由消去y得,x2+4x+8-2b2=0.则|AB|=|x1-x2|==.2于是椭圆C的方程为+=1.解得b=3,(2)设直线AB:y=k(x+2)+1,由消去y得,(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-12=0.于是x1+x2=,x1x2=.·=(+)·(+)=·+·=(-2-x1,1-y1)·(2+x2,y2-1)+(-2-x4,1-y4)·(2+x3,y3-1).∵(-2-x1,1-y1)·(2+x2,y2-1)=-(1+k2)(2+x1)(2+x2)=-(1+k2)[4+2(x1+x2)+x1x2]=.同理可得(-2-x4,1-y4)·(2+x3,y3-1)=.∴·=4(1+k2)=≥=,当k=±1时取等号.综上,·的最小值为.炼技法【方法集训】方法求椭圆离心率(范围)的常用方法1.(2018浙江宁波高三上学期期末,4)已知焦点在y轴上的椭圆+=1的离心率为,则实数m等于()A.3B.C.5D.答案D2.(2018浙江镇海中学5月模拟,8)设椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,椭圆C上的两点A,B对于原点对称,且知足·=0,|FB|≤|FA|≤2|FB|,则椭圆C的离心率的取值范围是()B.C.D.[-1,1)答案A过专题【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点一椭圆的定义和标准方程(2018浙江,17,4分)已知点P(0,1),椭圆2=m(m>1)上两点A,B知足=2,则当m=时,点B+y横坐标的绝对值最大.答案5考点二椭圆的几何性质1.(2017浙江,2,4分)椭圆+=1的离心率是()A.B.C.D.答案B2.(2016浙江,19,15分)如图,设椭圆+y2=1(a>1).(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);(2)若随意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.分析(1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP,由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,故x1=0,x2=-.所以|AP|=|x1-x2|=·.(2)假定圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左边的椭圆上有两个不一样的点P,Q,知足|AP|=|AQ|.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.由(1)知,|AP|=,|AQ|=,故=,所以(-)[1+++a2(2-a2)]=0.由k1≠k2,k1,k2>0得1+++a2(2-a2)=0,所以22=1+a(a-2),①由于①式对于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)>1,所以a>.所以,随意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a≤,由e==得,所求离心率的取值范围为评析此题主要考察椭圆的几何性质、法和综合解题能力.

0<e≤.直线与椭圆的地点关系等基础知识

,同时考察分析几何的基本思想方3.(2015浙江,19,15分)已知椭圆+y2=1上两个不一样的点A,B对于直线y=mx+对称.务实数m的取值范围;求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).分析(1)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-x+b.由消去y,得2-2xx+b-1=0.由于直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不一样的交点,所以=-2b2+2+>0,①将AB中点M代入直线方程y=mx+,解得b=-.②由①②得m<-或m>.(2)令t=∈∪,则|AB|=·,且O到直线AB的距离为d=.设△AOB的面积为S(t),所以S(t)=|AB|·d=≤.当且仅当t2=时,等号建立.故△AOB面积的最大值为.B组一致命题、省(区、市)卷题组考点一椭圆的定义和标准方程1.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M对于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=.答案122.(2018天津文,19,14分)设椭圆+=1(a>b>0)的右极点为A,上极点为B.已知椭圆的离心率为,|AB|=.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.分析此题主要考察椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考察用代数方法研究圆锥曲线的性质.考察运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|==,从而a=3,b=2.所以椭圆的方程为+=1.设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组消去y,可得x2=.由方程组消去y,可得x1=.由x2=5x1,可得=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-或k=-.当k=-时,x2=-9<0,不合题意,舍去;当k=-时,x2=12,x1=,切合题意.所以k的值为-.解题重点第(2)问中把两个三角形的面积的关系转变为点P、M的横坐标间的关系,从而获得对于k的方程是求解的难点和重点.3.(2015江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直均分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.分析(1)由题意,得=且c+=3,解得a=,c=1,则b=1,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)当AB⊥x轴时,AB=,又CP=3,不合题意.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),将AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则x1,2=,C的坐标为,且AB===.若k=0,则线段AB的垂直均分线为y轴,与左准线平行,不合题意.从而k≠0,故直线PC的方程为y+=-,则P点的坐标为,从而PC=.由于PC=2AB,所以=,解得k=±1.此时直线AB方程为y=x-1或y=-x+1.评析此题在考察椭圆基天性质与标准方程的同时,侧重考察直线与圆锥曲线的地点关系和方程思想.4.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,知足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N对于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.分析(1)由题设条件知,点M的坐标为,又kOM=,从而=.从而a=b,c==2b.故e==.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为+=1,点N的坐标为,设点N对于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上,且kNS·kAB=-1,从而有+=1,=,解得b=3,所以a=3,故椭圆E的方程为+=1.考点二椭圆的几何性质1.(2018课标全国Ⅰ文,4,5分)已知椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A.B.C.D.答案C2.(2018课标全国Ⅱ理,12,5分)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左极点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A.B.C.D.答案D3.(2017课标全国Ⅰ文,12,5分)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M知足∠AMB=120°,则m的取值范围是()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,]∪[4,+∞)答案A4.(2018北京理,14,5分)已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:-=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的极点,则椭圆M的离心率为;双曲线N的离心率为.答案-1;25.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.答案6.(2017天津文,20,14分)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右极点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延伸线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.求直线FP的斜率;求椭圆的方程.分析此题主要考察椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考察用代数方法研究圆锥曲线的性质和方程思想.考察运算求解能力,以及综合剖析问题和解决问题的能力.(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=.222,可得2c222又由b=a-c+ac-a=0,即2e+e-1=0.又由于0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)(i)依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为+=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有+2所以m=,即直=,整理得3m-4m=0,线FP的斜率为.(ii)由a=2c,可得b=c,故椭圆方程能够表示为+=1.由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去)或x=c.所以可得点P,从而可得|FP|==,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=-=c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.由于QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=×=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得-=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以椭圆的方程为+=1.方法点拨1.求离心率常用的方法:(1)直接求a,c,利用定义求解;(2)结构a,c的齐次式,利用方程思想求出离心率e的值.2.求直线斜率的常用方法:(1)公式法:k=(x1≠x2),此中两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2);(2)利用导数的几何意义求解;(3)直线的方向向量a=(m,n),则k=(m≠0);(4)点差法.解决四边形或三角形的面积问题时,注意弦长公式与整体代换思想的应用.C组教师专用题组考点一椭圆的定义和标准方程1.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为.答案x2+y2=12.(2015福建,18,13分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)过点(0,),且离心率e=.求椭圆E的方程;(2)设直线l:x=my-1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的地点关系,并说明原因.分析解法一:(1)由已知得解得所以椭圆E的方程为+=1.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).由22-2my-3=0,得(m+2)y所以y1+y2=,y1y2=-,从而y0=.所以|GH|2=+=+=(m2+1)+my0+.====(1+m2)(-y1y2),故|GH|2-=my0+(1+m2)y1y2+=-+=>0,所以|GH|>.故点G在以AB为直径的圆外.解法二:(1)同解法一.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),则=,=.由22-2my-3=0,得(m+2)y所以y1+y2=,y1y2=-,从而·=+y1y2=+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+=++=>0,所以cos<,>>0.又,不共线,所以∠AGB为锐角.故点G在以AB为直径的圆外.评析此题主要考察椭圆、圆、直线与椭圆的地点关系等基础知识,考察推理论证能力、运算求解能力,考查数形联合思想、化归与转变思想、方程思想.3.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延伸交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C.(1)若点C的坐标为,且BF2=,求椭圆的方程;若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.分析设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).(1)由于B(0,b),所以BF2==a.又BF2=,故a=.由于点C在椭圆上,所以2=1.+=1,解得b故所求椭圆的方程为+y2=1.(2)由于B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为+=1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.由于直线F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,且F1C⊥AB,所以·=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.所以e=.评析此题主要考察椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的地点关系等基础知识,考察运算求解能力.考点二椭圆的几何性质1.(2017课标全国Ⅲ理,10,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右极点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.B.C.D.答案A2.(2016课标全国Ⅲ,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右极点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.B.C.D.答案A3.(2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)订交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.答案4.(2017北京文,19,14分)已知椭圆C的两个极点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.求椭圆C的方程;点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不一样的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.分析此题考察椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考察运算求解能力.(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).由题意得解得c=.222所以b=a-c=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率kAM=,故直线DE的斜率kDE=-.所以直线DE的方程为y=-(x-m).直线BN的方程为y=(x-2).联立解得点E的纵坐标yE=-.22由点M在椭圆C上,得4-m=4n.所以yE=-n.又S△BDE=|BD|·|yE|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.易错警告在设直线方程时,若设方程为y=kx+m,则要考虑斜率不存在的状况;若设方程为x=ty+n,则要考虑斜率为0的状况.5.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求椭圆的标准方程;(2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.分析(1)由椭圆的定义,有2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,得2c=|F1F2|===2,即c=,从而b==1.故所求椭圆的标准方程为+y2=1.(2)解法一:连结F1Q,如图,设点P(x0,y0)在椭圆上,且PF1⊥PF2,则+=1,+=c2,求得x0=±,y0=±.由|PF1|=|PQ|>|PF2|得x0>0,从而|PF1|2=+=2(a2-b2)+2a=(a+)2.由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1⊥PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|.所以(2+)|PF1|=4a,即(2+)(a+)=4a,于是(2+)(1+)=4,解得e==-.解法二:连结F1Q,由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1⊥PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|,所以,4a-2|PF1|=|PF1|,得|PF1|=2(2-)a,从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-)a=2(-1)a.由PF1⊥PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,所以e=====-.6.(2014安徽,21,13分)设F1、F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|.若|AB|=4,△ABF2的周长为16,求|AF2|;若cos∠AF2B=,求椭圆E的离心率.分析(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1.2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.由于△ABF故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.(2)设|F1B|=k,则k>0且|AF1|=3k,|AB|=4k.由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.在△ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B,即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)(2a-k).化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0,故a=3k.于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.所以|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1A⊥F2A,△AF1F2为等腰直角三角形.从而c=a,所以椭圆E的离心率e==.7.(2014天津,18,13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右极点为A,上极点为B.已知|AB|=·|F1F2|.求椭圆的离心率;设P为椭圆上异于其极点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2|=2.求椭圆的方程.分析(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,所以=.所以椭圆的离心率e=.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有·=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c≠0,故有x0+y0+c=0.①由于点P在椭圆上,故+=1.②由①和②可得3+4cx0=0.而点P不是椭圆的极点,故x0=-c,代入①得y0=,即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1==-c,y1==c,从而圆的半径r==c.由已知,有|TF2|2=|MF2|2+r2,又|MF2|=2,故有=8+c2,解得c2=3.所以椭圆的方程为+=1.【三年模拟】一、选择题(每题4分,共8分)1.(2019届浙江名校新高考研究结盟第一次联考,8)已知F1、F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过左焦点F1的直线与椭圆交于A,B两点,且知足|AF1|=2|BF1|,|AB|=|BF2|,则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.答案B2.(2018浙江名校协作体期初联考,8)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点,若C上存在点P知足∠APB=120°,则k的取值范围是()A.∪[12,+∞)B.∪[6,+∞)C.∪[12,+∞)D.∪[6,+∞)答案A二、填空题(单空题4分,多空题6分,共8分)3.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,17)已知P是椭圆+=1(a>b>0)上的动点,过P作椭圆的切线l与x轴、y轴分别交于点A、B,当△AOB(O为坐标原点)的面积最小时,cos∠F1PF2=(F1、F2是椭圆的两个焦点),则该椭圆的离心率为.答案4.(2018浙江嘉兴教课测试(4月),17)已知椭圆+=1(a>b>0),直线l1:y=-x,直线l2:y=x,P为椭圆上随意一点,过P作PM∥l1且与直线l2交于点M,作PN∥l2与直线l1交于点N,若|PM|2+|PN|2为定值,则椭圆的离心率为.答案三、解答题(共60分)5.(2019届浙江嘉兴9月基础测试,21)已知椭圆+y2=1(a>0),直线l经过点P交椭圆于A,B两点,当l∥x轴时,|AB|=2.求椭圆的方程;求|AB|的取值范围.分析(1)不如设点A在点B的右边.当l∥x轴时,点A,B的坐标分别是,,所以2=2,故椭圆的方程为2+=1,即a+y=1.(2)当l⊥x轴时,|AB|=2.当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+,A(x1,y1),B(x2,y2).由?(2k2+1)x2+2kx-1=0.=8k2+4(2k2+1)=4(4k2+1),x1+x2=-,x1x2=-.所以|AB|=|x1-x2|=·=2.令2k2+1=t,则t≥1,k2=,则|AB|=2=.由于0<≤1,所以2≤|AB|≤.故2≤|AB|≤.6.(2018浙江杭州高三教课质检,21)已知椭圆C:+=1,直线l:y=kx+m(m≠0),设直线l与椭圆C交于不一样的A,B两点.(1)若|m|>,务实数k的取值范围;若直线OA,AB,OB的斜率成等比数列(此中O为坐标原点),求△OAB的面积的取值范围.分析(1)联立方程+=1和y=kx+m,222得(2+3k)x+6kmx+3m-6=0,22222∴Δ=(6km)-4(2+3k)(3m-6)>0,得m<2+3k.∵|m|>,∴m2>3,∴2+3k2>3,解得k