高中数学 平面与平面垂直的性质 新人教A版必修

高中数学平面与平面垂直的性质课件新人教A版必修第一页，共六十二页，2022年，8月28日成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版·必修2第二页，共六十二页，2022年，8月28日点、直线、平面之间的位置关系第二章第三页，共六十二页，2022年，8月28日2.3

直线、平面垂直的判定及其性质第二章2.3.4平面与平面垂直的性质第四页，共六十二页，2022年，8月28日高效课堂2课后强化作业4优效预习1当堂检测3第五页，共六十二页，2022年，8月28日优效预习第六页，共六十二页，2022年，8月28日1．直二面角：二面角的平面角是__________.2．两平面垂直的定义：两平面所成的二面角是__________．3．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的__________，那么这两个平面垂直．●知识衔接90°直二面角一条垂线第七页，共六十二页，2022年，8月28日4．下列命题正确的是(

)A．垂直于同一条直线的两直线平行B．垂直于同一条直线的两直线垂直C．垂直于同一个平面的两直线平行D．垂直于同一条直线的一条直线和平面平行[答案]

C第八页，共六十二页，2022年，8月28日平面与平面垂直的性质定理●自主预习一个平面内交线垂直a⊂αa⊥l垂直第九页，共六十二页，2022年，8月28日[破疑点]平面与平面垂直的性质定理给出了判断直线与平面垂直的另一种方法，即“面面垂直，则线面垂直”，揭示了线面垂直与面面垂直的内在联系．[知识拓展]垂直关系的知识总结：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清，平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝．第十页，共六十二页，2022年，8月28日先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见．借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断．判断线和面垂直，线垂面中两交线．两线垂直同一面，相互平行共伸展．两面垂直同一线，一面平行另一面．要让面和面垂直，面过另面一垂线．面面垂直成直角，线面垂直记心间．第十一页，共六十二页，2022年，8月28日1．已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是(

)①α内的直线必垂直于β内的无数条直线；②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任何一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α.A．4 B．3C．2 D．1[答案]

C●预习自测第十二页，共六十二页，2022年，8月28日[解析]

序号正误理由①√设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线②√β内垂直于α与β交线的直线垂直于平面α，则它垂直于α内的任意直线③×α内不与交线垂直的直线不垂直于β④×垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直第十三页，共六十二页，2022年，8月28日2．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是(

)A．平行B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．相交且垂直[答案]

D[解析]

∵平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面ABB1A1，平面ABB1A1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1.第十四页，共六十二页，2022年，8月28日3．如图所示，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，求证：PD⊥平面ABC．[分析]

转化为证明PD⊥AB．[证明]

∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB．又∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴PD⊥平面ABC．第十五页，共六十二页，2022年，8月28日高效课堂第十六页，共六十二页，2022年，8月28日

已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.求证：l⊥γ.[证明]

证法1：在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，作PB垂直β与γ的交线于B，∵α⊥γ，β⊥γ，则PA⊥α，PB⊥β，∵l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB，平面垂直性质定理的应用●互动探究第十七页，共六十二页，2022年，8月28日∵PA与PB相交，又PA⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ.第十八页，共六十二页，2022年，8月28日第十九页，共六十二页，2022年，8月28日第二十页，共六十二页，2022年，8月28日

规律总结：证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”的这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线．这是证法一、证法二的关键．证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了l′这条辅助线，这是证法三的关键．通过此例，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法．第二十一页，共六十二页，2022年，8月28日又在原题条件下，添加条件b∥α，b∥β，求证b⊥γ.在l上任取一点B，过b和B的平面交α于过B的直线a′，交β于过B的直线a″，∵b∥α，∴a′∥b，同理b∥a″，∵a′和a″同时过B且平行于b.∴a′和a″重合于直线l，由l⊥γ可得b⊥γ.第二十二页，共六十二页，2022年，8月28日如图，已知V是△ABC所在平面外一点，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC，求证：△ABC是直角三角形．[分析]

灵活运用线垂直于面与面垂直于面的转化．第二十三页，共六十二页，2022年，8月28日[证明]

过B作BD⊥VA于D，∵平面VAB⊥平面VAC，∴BD⊥平面VAC，∴BD⊥AC，又∵VB⊥平面ABC，∴VB⊥AC，∴AC⊥平面VAB，∴AC⊥BA，即△ABC是直角三角形．第二十四页，共六十二页，2022年，8月28日

如右图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3cm，BD＝12cm，求线段CD的长．与面面垂直有关的计算[探究]

要求CD的长，由BD⊥l，α⊥β易知△BCD为直角三角形，已知BD的长，只要知道BC的长即可．由AC⊥l知△ABC为直角三角形，从而可解．第二十五页，共六十二页，2022年，8月28日第二十六页，共六十二页，2022年，8月28日

规律总结：1.与面面垂直有关的计算问题的类型：(1)求角的大小(或角的某个三角函数值)：如两异面直线所成的角、线面角、二面角等．(2)求线段的长度或点到直线、平面的距离等．(3)求几何体的体积或平面图形的面积．第二十七页，共六十二页，2022年，8月28日2．计算问题的解决方法：(1)上述计算问题一般在三角形中求解．所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直，然后转化为线线垂直．往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题．(2)求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积)法．第二十八页，共六十二页，2022年，8月28日如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与平面α，β所成的角分别为45°和30°，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，且AB＝12，求A′B′的长．第二十九页，共六十二页，2022年，8月28日第三十页，共六十二页，2022年，8月28日

如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，点E为AB的中点，点F为SC的中点．求证：(1)EF⊥CD；(2)平面SCD⊥平面SCE.线线、线面、面面垂直的综合应用●探索延拓第三十一页，共六十二页，2022年，8月28日第三十二页，共六十二页，2022年，8月28日第三十三页，共六十二页，2022年，8月28日(2)在Rt△SAE和Rt△CBE中，∵SA＝CB，AE＝BE，∴Rt△SAE≌△Rt△CBE，∴SE＝EC，即△SEC为等腰三角形．∵F为SC的中点，∴EF⊥SC．又∵EF⊥CD，且SC∩CD＝C，∴EF⊥平面SCD．又∵EF⊂平面SCE，∴平面SCD⊥平面SCE.第三十四页，共六十二页，2022年，8月28日

规律总结：(1)空间垂直关系的判定方法.垂直关系判定方法线线垂直计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b)面面垂直的定义：若两平面垂直，则两平面相交形成的二面角的平面角为90°第三十五页，共六十二页，2022年，8月28日垂直关系判定方法线面垂直线面垂直定义(一般不易验证任意性)线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α)平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)面面平行性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)面面垂直性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ)面面垂直根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)第三十六页，共六十二页，2022年，8月28日(2)在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：第三十七页，共六十二页，2022年，8月28日(3)在垂直的判定定理和性质定理中，有很多限制条件，如“相交直线”“线在面内”“平面经过一直线”等．这些条件一方面有很强的约束性；另一方面又为证明指出了方向．在利用定理时，既要注意定理的严谨性，又要注意推理的规律性．第三十八页，共六十二页，2022年，8月28日(2015·南昌高二检测)已知在四棱锥S－ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB＝AD＝1，SD＝2，BC⊥BD，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．证明：(1)DE⊥平面SBC；(2)SE＝2EB．第三十九页，共六十二页，2022年，8月28日[解析]

(1)如图，因为SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，又BC⊥BD，所以BC⊥平面BDS，所以BC⊥DE.作BK⊥EC，K为垂足，由平面EDC⊥平面SBC，平面EDC∩平面SBC＝EC，故BK⊥平面EDC．又DE⊂平面EDC，所以BK⊥DE.又因为BK⊂平面SBC，BC⊂平面SBC，BK∩BC＝B，所以DE⊥平面SBC．第四十页，共六十二页，2022年，8月28日第四十一页，共六十二页，2022年，8月28日

如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是一个直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，则平EBD能垂直于平面ABCD吗？请说明理由．易错点考虑问题不全面，导致证明过程不严谨●误区警示第四十二页，共六十二页，2022年，8月28日[错解]

平面EBD不能垂直于平面ABCD．理由如下：假设平面EBD垂直于平面ABCD，过E作EO⊥BD于O，连接AO，CO.∵EO⊂平面EBD，EO⊥BD，平面EBD∩平面ABCD＝BD，∴EO⊥平面ABCD．又∵PA⊥平面ABCD，∴EO∥PA．第四十三页，共六十二页，2022年，8月28日又∵E是PC的中点，∴O是AC的中点．又∵AB∥CD，∴△ABO∽△CDO.又∵AO＝OC，∴AB＝CD，这与CD＝2AB矛盾，∴假设不成立．故平面EBD不能垂直于平面ABCD．第四十四页，共六十二页，2022年，8月28日[错因分析]

错误的原因是默认了A，O，C三点共线，而A，O，C三点若不共线，则△ABO∽△CDO不成立．事实上，很容易证A，O，C三点共线，由于A，O，C是PC上三点P，E，C在平面ABCD上的投影，故P，E，C三点的投影均在直线AC上，故A，O，C三点共线，补上这一点证明就完整了．第四十五页，共六十二页，2022年，8月28日[正解]

平面EBD不能垂直于平面ABCD．理由如下：假设平面EBD垂直于平面ABCD，过E作EO⊥BD于O，连接AO，CO.∵EO⊂平面EBD，EO⊥BD，平面EBD∩平面ABCD＝BD，∴EO⊥平面ABCD．又∵PA⊥平面ABCD，∴EO∥PA．∵A，O，C是PC上三点P，E，C在平面ABCD上的投影，∴P，E，C三点的投影均在直线AC上，∴A，O，C三点共线．第四十六页，共六十二页，2022年，8月28日又∵E是PC的中点，∴O是AC的中点．又∵AB∥CD，∴△ABO∽△CDO.又∵AO＝OC，∴AB＝CD，这与CD＝2AB矛盾，∴假设不成立．故平面EBD不能垂直于平面ABCD．第四十七页，共六十二页，2022年，8月28日如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)求证AD⊥PB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．第四十八页，共六十二页，2022年，8月28日[解析]

(1)证明：设G为AD的中点，连接BG，PG，∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD．又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB．∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB．第四十九页，共六十二页，2022年，8月28日(2)当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD．证明如下：在△PBC中，∵F是PC的中点，∴EF∥PB．在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB，由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD．第五十页，共六十二页，2022年，8月28日当堂检测第五十一页，共六十二页，2022年，8月28日1．设两个平面互相垂直，则(

)A．一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面上C．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直[答案]

B第五十二页，共六十二页，2022年，8月28日2．过两点与一个已知平面垂直的平面(

)A．有且只有一个B．有无数个C．有且只有一个或无数个D．可能不存在[答案]

C第五十三页，共六十二页，2022年，8月28日3．如右图所示，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则(

)A．PD⊂平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD与平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC[答案]

B第五十四页，共六十二页，2022年，8月28日[解析]

∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB．又∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD⊂平面PAB，∴PD⊥平面ABC．第五十五页，共六十二页，2022年，8月28日4．在空间中，用x、y、z表示不同的直线或平面，若命题“x⊥y，x⊥z，则y∥z”成立，则x、y、z分别表示的元素是(

)A．x、y、z