ρ~-混合序列自正则某些部分和乘积的几乎处处中心极限定理

ρ~--混合序列自正则某些部分和乘积的几乎处处中心极限定理摘要：本文考虑一类具有ρ~自相似性质的混合序列，在该混合序列中，我们将正则某些部分同乘积结合在一起，并得到了该混合序列的几乎处处中心极限定理。我们通过分析序列的自相似性质以及其对应的分形结构特征，探究了混合序列在这样的组合下表现出的高度非线性性质。最后，通过一些数值仿真实验验证理论结果的正确性。

关键词：ρ~混合序列，中心极限定理，自相似性，分形，非线性性质

1.引言

混合序列理论是当今数学中一个热门的研究方向，近年来引起了越来越多的学者的广泛关注。混合序列可以被看作是多个随机过程的线性组合，其中每个随机过程都有着不同的统计特性。大量的研究成果表明，混合序列不仅具有众多的应用价值，而且其自身具有复杂的动力学行为，具有广泛的研究意义。

本文主要考虑一类具有ρ~自相似性质的混合序列，我们将正则某些部分同乘积结合在一起，探究它们在这种组合下的极限性质。本文将采用分形理论的方法来研究这种混合序列的结构与性质，并得出了它们的中心极限定理。

2.ρ~混合序列的定义和分形性质

2.1ρ~混合序列的定义

考虑下列的ρ~混合序列：

$$

X(t)=\sum_{j=1}^{n}a(j)\cdotX_{j}(t)

$$

其中，$a(j)$为给定的正实数，$\sum_{j=1}^{n}a(j)=1$，$X_{j}(t)$为随机过程。我们假设$X_{j}(t)$为一个以$t$为中心的对称随机过程，具有有界变差和标准差。同时，我们假定在这$n$个随机过程中，第$k$个随机过程为$\rho^{k}$-自相似随机过程，这里$\rho$为一个实数。

2.2ρ~混合序列的分形性质

定义$n$个与$X(t)$相同的独立随机变量$Z_{1},Z_{2},...,Z_{n}$，其中每个$Z_{j}$不依赖于$X(t)$，且它们服从如下分布：

$$

P(Z_{j}=a(j))=a(j),j=1,2,...,n

$$

在分形理论中，我们常常使用分形维及其相关概念来描述复杂系统的结构和性质。这里，我们令$D$为满足下面等式的唯一实数：

$$

\sum\limits_{j=1}^{n}a(j)^{D}=\rho

$$

那么，对于任意的$t>0$，$\delta>0$，我们有：

$$

\begin{aligned}

&\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{1}{\epsilon^{\frac{D}{\rho}}}\text{Ln}\biggl(\frac{\sum\limits_{j=1}^{n}a(j)\cdotE[\|X_{j}\cdott\|_{\infty}^{\rho}\cdot\mathbf{1}_{(\|X_{j}\cdott\|_{\infty}\leq\epsilon)}]}{E\|X(t)\|_{\infty}^{\rho}\cdot\mathbf{1}_{(\|X(t)\|_{\infty}\leq\epsilon)}}\biggr)\\

=&(2D)^{-1}\cdot\rho^{-1}\cdot\text{Ln}\left[1+\left(\sum\limits_{j=1}^{n}a(j)^{\frac{\rho}{D}}\cdotE\left[\frac{\bigl\|X_{j}(t)\bigr\|_{\infty}^{\rho}}{Z_{j}\cdotE[\|X_{j}(t)\|_{\infty}^{\rho}]}\cdot\mathbf{1}_{(\|X_{j}(t)\|_{\infty}\leq\epsilon)}\right]\right)

\end{aligned}

$$

这里，$\|X_{j}(t)\|_{\infty}=\text{sup}\bigl\{|X_{j}(s)-X_{j}(u)|:s,u\in\mathbb{R},|s-u|\leqt\bigr\}$表示随机过程$X_{j}(t)$的极差，$\mathbf{1}_{(\cdot)}$表示指示函数。

3.ρ~混合序列的中心极限定理

3.1主要结果

本文主要结论如下：

定理：对于$\rho~$混合序列$X(t)$，当指标$t$趋于正无穷时，我们有如下的中心极限定理成立：

$$

\begin{aligned}

\frac{1}{\epsilon^{\frac{1}{\rho}}}\cdot\Biggl(\sum_{j=1}^{n}a(j)^{\frac{1}{\rho}}\cdotX_{j,\infty}&-E\Biggl[\sum_{j=1}^{n}a(j)^{\frac{1}{\rho}}\cdotX_{j,\infty}\Biggr]\Biggr)\\

\Rightarrow&N\Biggl(0,\frac{1}{4}\cdot\Biggl(\sum_{j=1}^{n}a(j)^{\frac{2}{\rho}}\cdot\Bigl(E[X_{j,\infty}^{4}]-3\cdotE^{2}[X_{j,\infty}^{2}]\Bigr)\Biggr)^{2}\Biggr)

\end{aligned}

$$

其中，$X_{j,\infty}$表示随机过程$X_{j}(t)$的极限分布。$N(0,\sigma^{2})$表示均值为0，方差为$\sigma^{2}$的正态分布。

3.2中心极限定理证明

根据中心极限定理的定义，我们需要证明如下的关于$X(t)$的等式成立：

$$

\begin{aligned}

&\lim_{\epsilon\rightarrow0}\text{Pr}\biggl(\frac{1}{\epsilon^{\frac{1}{\rho}}}\cdot\Biggl(\sum_{j=1}^{n}a(j)^{\frac{1}{\rho}}\cdotX_{j}(t)-E\Biggl[\sum_{j=1}^{n}a(j)^{\frac{1}{\rho}}\cdotX_{j}(t)\Biggr]\Biggr)\leqx\biggr)\\

&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma(x)}\cdot\int_{-\infty}^{x}\exp\biggl(-\frac{y^{2}}{2\cdot\sigma(x)^{2}}\biggr)dy

\end{aligned}

$$

其中$\sigma(x)$为方差与$x$的函数。我们首先考虑单独的$X_{j}(t)$的情形，容易证明$\rho$-自相似随机过程的中心极限定理成立：

$$

\frac{1}{\epsilon^{\frac{1}{\rho}}}\cdot\Biggl(X_{j}(t)-E\Biggl[X_{j}(t)\Biggr]\Biggr)\RightarrowN\Biggl(0,\frac{1}{4}\cdot\Bigl(E[X_{j,\infty}^{4}]-3\cdotE^{2}[X_{j,\infty}^{2}]\Bigr)^{2}\Biggr)

$$

接下来，我们考虑对任意的$\delta>0$，如何在定理中选择$x$和$\epsilon$，以满足定理的限制。具体来说，我们可以通过分解$\epsilon=\epsilon_{1}\cdot\epsilon_{2}$的方法，将混合序列$X(t)$分解为如下形式的加和：

$$

\begin{aligned}

&\sum_{j=1}^{n}a(j)^{\frac{1}{\rho}}\cdotX_{j}(t)-E\Biggl[\sum_{j=1}^{n}a(j)^{\frac{1}{\rho}}\cdotX_{j}(t)\Biggr]\\

=&\sum_{j=1}^{n}a(j)^{\frac{1}{\rho}}\cdot(X_{j}(t)-E[X_{j}(t)])+\frac{\sum_{j=1}^{n}a(j)^{\frac{1}{\rho}}\cdotE[X_{j}(t)]}{\sum_{j=1}^{n}a(j)^{\frac{1}{\rho}}}\cdot\sum_{j=1}^{n}a(j)^{\frac{1}{\rho}}\\

=&\Biggl(\sum_{j=1}^{n}a(j)^{\frac{1}{\rho}}\cdot(X_{j}(t)-E[X_{j}(t)])\Biggr)\\

&+\frac{1}{\epsilon_{1}^{\frac{1}{\rho}}}\cdot\Biggl(\sum_{j=1}^{n}a(j)^{\frac{1}{\rho}}\cdotE[X_{j}(t)]\Biggr)\cdot\epsilon_{1}+\frac{1}{\epsilon_{2}^{\frac{1}{\rho}}}\cdot\Biggl(\sum_{j=1}^{n}a(j)^{\frac{1}{\rho}}-1\Biggr)\cdot\epsilon_{2}

\end{aligned}

$$

显然，此时，同样的$x$与$\epsilon$应当满足以下限制：

$$

\begin{aligned}

&\epsilon_{1}x\leq\frac{1}{\sigma_{1}^{2}}\cdot\Biggl(\sum_{j=1}^{n}a(j)^{\frac{1}{\rho}}\cdotE_{j}^{2}[\epsilon_{1}X_{j}^{2}]\Biggr)\\

&\epsilon_{2}x\leq\frac{1}{\sigma_{2}^{2}}\cdot\Biggl(\sum_{j=1}^{n}a(j)^{\frac{2}{\rho}}\cdotE_{j}^{2}[\epsilon_{2}X_{j}^{2}]^{\frac{2}{\rho}}\Biggr)

\end{aligned}

$$

其中，$\sigma_{i}^{2}$分别表示$X_{j}(t)$在前两个分解项中的方差。显然，最后一个分解项不依赖于$x$，可以省略。接下来，我们只需要证明$\sigma_{1}^{2}$和$\sigma_{2}^{2}$是与$x$无关的。我们发现，当$t$趋于正无穷时，有如下等式成立：

$$

\sigma_{1}^{2}=\sum_{j=1}^{n}a(j)\cdotE[X_{j,\infty}^{2}]

$$

$$

\sigma_{2}^{2}=\Biggl(\sum_{j=1}^{n}a(j)^{\frac{1}{\rho}}\cdotE[X_{j,\infty}^{4}]-3\cdotE^{2}\Biggl[\sum_{j=1}^{n}a(j)^{\frac{1}{\rho}}\cdotX_{j,\infty}^{2}\Biggr]\Biggr)\cdot\Biggl(\sum_{j=1}^{n}a(j)^{\frac{2}{\rho}}\Biggr)

$$

由于定理成立，所以我们可以得出关于$x$与$\epsilon$的限制，也即为了证明$\sigma_{1}^{2}$和$\sigma_{2}^{2}$与$x$无关，我们需要证明$E[X_{j,\infty}^{2}]$和$E[X_{j,\infty}^{4}]$都与$x$无关。根据稳定分布的定义，我们有：

$$

E[X_{j,\infty}^{k}]=\int_{-\infty}^{\infty}x^{k}f_{j}(x)dx,\quadk=2,4

$$

其中，$f_{j}(x)$为$X_{j,\infty}$的稳定分布密度函数。由于$x$没有出现在$f_j(x)$中，所以$E[X_{j,\infty}^{k}]$与$x$无关。因此，$\sigma_{1}^{2}$和$\sigma_{2}^{2}$都与$x$无关。

因此，当$t$趋于正无穷时，方程$\epsilon(t)=\sqrt{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}$的解只与$\rho$和幂律分布的参数$a(j)$有关，与$x$无关进一步，我们可以求解方程$\epsilon(t)=\sqrt{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}$，以得到$t$趋于正无穷时$\epsilon(t)$的解。根据稳定分布的性质，有$X_{j,t}\stackrel{\text{d}}{=}t^{1/\alpha_j}X_{j,1}$，其中$\alpha_j$为稳定分布的指数。因此，有$Y_t=\sqrt{t}\rhoX_{1,1}+t^{1/\alpha_2}X_{2,1}$，通过变量替换$Z_t=Y_t/\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}$可以得到：

$$

Z_t=\frac{\sqrt{t}\rhoX_{1,1}+t^{1/\alpha_2}X_{2,1}}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}

$$

由于$X_{j,1}$服从稳定分布，因此有$E[|X_{j,1}|^k]<\infty$当且仅当$0<k<\alpha_j$。由此可以得到：

\begin{align*}

&E[Z_t^2]=\frac{\rho^2\sigma_1^2+t^{2/\alpha_2}\sigma_2^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\\

&E[Z_t^4]=\frac{(3+\alpha_2^2)\rho^4\sigma_1^4+6\rho^2\sigma_1^2t^{2/\alpha_2}+t^{4/\alpha_2}(3+\alpha_2^2)\sigma_2^4}{(\sigma_1^2+\sigma_2^2)^2}

\end{align*}

因此，我们有：

$$

\epsilon(t)=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\sqrt{\frac{(3+\alpha_2^2)\rho^4\sigma_1^4+6\rho^2\sigma_1^2t^{2/\alpha_2}+t^{4/\alpha_2}(3+\alpha_2^2)\sigma_2^4}{(\rho^2\sigma_1^2+t^{2/\alpha_2}\sigma_2^2)^2}}

$$

当$t$趋于正无穷时，分母中的$t^{2/\alpha_2}\sigma_2^2$项占主导地位，因此$\epsilon(t)$趋于：

$$

\lim_{t\rightarrow\infty}\epsilon(t)=\sqrt{\sigma_2^2}\frac{\sqrt{3+\alpha_2^2}}{\alpha_2}

$$

因此，当$t$趋于正无穷时，$\epsilon(t)$的解与$\rho$和幂律分布的参数$a(