数值分析第七章微积分

第7章数值微积分§7.1数值积分问题的提出

计算定积分，但在工程技术和科学研究中，常遇到如下情况：1)找的原函数相当困难例如：等，它们的原函数都不能用初等函数表达成有限形式.

2)的原函数存在，但其表达式相当复杂，而且有时难以给出最后的数值结果.如在积分表中可以查到不定积分的解析式

1三峡大学理学院杜廷松

当积分限时，原函数中第一项无定义，得不到定积分值；3)除一些特殊的无穷积分外，通常很难求无穷积分的值;4)被积函数没有有限的解析式，而以表格形式给出.2三峡大学理学院杜廷松

鉴于以上情况，采用数值的方法计算定积分就很必要且很有效.对函数的微分也一样，以表格形式给出的函数，要求出其导数时，还是要依靠数值微分的方法.本章介绍用插值原理得到的常用的数值求积公式、它们的误差估计、代数精度.之后介绍数值微分.3三峡大学理学院杜廷松§7.2插值型求积公式

一、插值型求积公式二、求积公式的代数精度4三峡大学理学院杜廷松一、插值型求积公式

利用插值多项式来构造数值求积公式，具体作法如下：

在积分区间上取一组节点(已知的函数值，作的次插值多项式，则

其中为n次插值基函数，则得：5三峡大学理学院杜廷松公式写成一般形式：(2.1)若记：

(2.2)6三峡大学理学院杜廷松

则得数值求积公式：(2.4)

形如(2.4)式的求积公式称为机械求积公式，其中称为求积节点，称为求积系数.如果公式(2.4)中求积系数是由(2.2)确定的，则称该求积公式为插值型求积公式.

注意：求积系数仅与求积节点、求积区间有关而与被积函数的具体形式无关.7三峡大学理学院杜廷松二、求积公式的代数精度

定义2.1求积公式（2.4）对于任何次数不大于的代数多项式均精确成立，而对不精确成立，则称该求积公式具有次代数精度.例2.1梯形公式代数精度8三峡大学理学院杜廷松

定理7.2.1含有个节点的插值型求积公式的代数精度至少为.例2.2求积公式

已知其余项的表达式为，试确定系数,使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并给出求积公式的余项和代数精度的次数.9三峡大学理学院杜廷松§7.3Newton－Cotes公式

一、Newton－Cotes公式二、误差分析三、数值稳定性四、复合Newton－Cotes公式10三峡大学理学院杜廷松一、Newton－Cotes公式

前面介绍了插值型求积公式及其构造方法，在实际应用时，考虑到计算上的方便，常将积分区间等分之，并取分点为求积节点，这样构造出来的插值型求积公式就称为Newton－Cotes公式.一句话，Newton－Cotes公式是节点等距的插值型求积公式.

将n等分,其节点为,节点处的函数值为.则Newton－Cotes公式为：11三峡大学理学院杜廷松

作变换：，则插值型求积公式中系数为12三峡大学理学院杜廷松

记：(3.1)则于是得等距节点的插值型的Newton－Cotes求积式：(3.2)称为Cotes系数.

当是次数不超过次的多项式时，的插值多项式就是本身，13三峡大学理学院杜廷松

柯特斯(Cotes)系数所满足的重要关系式：

(3.4)

时，求积公式为梯形公（两点公式）(3.5)

时，求积公式为Simpso公式（三点公式）（3.6）

时，求积公式为Cotes公式（五点公式）,但不常用.(3.7)

其中14三峡大学理学院杜廷松二、误差分析

关于型求积公式的截断误差或称余项

的分析，有下列一般性定理.15三峡大学理学院杜廷松

定理7.3.1公式（3.2）的余项可表示为：(1)对为奇数的情形，设，则

其中

(2)对为偶数的情形，设，则

其中16三峡大学理学院杜廷松三、数值稳定性

假设用n阶的Newton-Cotes公式作实际计算，而且可能使用近似值，这时反映到计算上就有误差

记并略去，则有

(3.11)17三峡大学理学院杜廷松

由此可见：（1）若,则,于是有(3.12)即计算公式是数值稳定的.

(2)若存在负值(比如n=8时就出现负值），则有

因而便不能导出（3.12）式.这就是说，初始数据的误差有可能引起计算结果误差的增大，即计算的数值稳定性得不到保证.

18三峡大学理学院杜廷松

定理7.3.2插值型求积公式求积系数之和为

定理7.3.3插值型求积公式中的所有系数，则该求积公式是数值稳定的.19三峡大学理学院杜廷松四、复合Newton－Cotes公式

所谓复合求积，就是先将积分区间分成几个小区间，并在每个小区上用低阶Newton－Cotes公式计算积分的近似值，然后对这些近似值求和，从而得到所求积分的近似值.由此得到一些具有更大实用价值的数值求积公式，统称为复合求积公式.20三峡大学理学院杜廷松

例3.1将等分，记分点为其中称为步长，然后在每个小区间上应用梯形公式.即导出复合梯形公式21三峡大学理学院杜廷松

若将所得积分近似值记为,并注意到则复合梯形公式为：(3.13)

类似可得复合Simpson公式:

(3.15)

式中22三峡大学理学院杜廷松

例3.2已知的函数值如下表：

用复合梯形公式和复合辛甫生（Simpson）公式求的近似值.23三峡大学理学院杜廷松

解用复合梯形公式，小区间数，步长

复合辛甫生公式,小区间数,步长24三峡大学理学院杜廷松§7.4Romberg求积方法

一、Romberg算法二、Romberg求积公式25三峡大学理学院杜廷松一、Romberg算法

1、步长的自动选择

在定步长积分方法中，确定后，由固定给出，这样会存在以下两个问题：

1）步长由余项作出估计，但往往余项的估计非常困难.（主要困难在于余项公式中包含有被积函数的高阶导数，在具体计算时往往会遇到困难）

2）步长取得太大，计算精度难以保证；步长取得太小，计算量将会增大.26三峡大学理学院杜廷松2.对策：实际计算时，往往借助于计算机来完成积分步长的自动选择，也即通常采用变步长求积方法.具体地讲，在实际计算时将步长逐次折半，反复利用复合求积公式，比较相邻两次的结果，直到满足精度要求为止.27三峡大学理学院杜廷松

例4.1对梯形公式，假定区间为等份时，由复合梯形公式算出的近似值为，则：

再把区间分半，成等份，得近似值为28三峡大学理学院杜廷松

由以上两式可得：，或上式说明以作为积分的近似值，其误差近似于计算时只要检验

是否满足，若不满足，则再把区间对分，直到满足结果为止.29三峡大学理学院杜廷松

通过类似推导，可得如下结论：

（1）对于Simpson公式，假定在上变化不大，则有（2）对于Cotes公式，假定在上变化不大，则有30三峡大学理学院杜廷松二、Romberg求积公式

先看复合梯形公式，利用其公式计算时，需要计算个点（它们是积分区间等分的分点，不妨简记为“分点”）上的函数值，当不满足精度要求时，根据上面提供的计算方案，就将各小区间分半，计算出新近似值.若仍旧利用复合梯形公式计算，就需要求出个点（它们是“分点”）上的函数值.而实际上，在这个分点中，包含有个分点，其对应的函数值在计算时早已算出，现在重新计算这些点上的函数值，显然是极不合理的，由复合梯形公式知：31三峡大学理学院杜廷松

注意到在分点中，当取偶数时是分点，当取奇数时才是新增加的分点，将新增加的分点处的函数值从求和记号中分离出来，就有

即32三峡大学理学院杜廷松

即这表明在已经算出的基础上,只要算出个新增的分点

上的函数值就行了,与直接用复合梯形公式算相比较,计算工作量几乎节省了一半.33三峡大学理学院杜廷松

前面我们曾指出，用作为积分真值的近似值，其误差约为,此即启发我们，如果

用作为的一种补偿，可以期望得到新的近似值.(4.1)而有可能比更好地接近积分的真值，其实质又是什么呢？通过直接验证，知，亦即(4.2)34三峡大学理学院杜廷松

此即表明在收敛速度缓慢的梯形序列的基础上，若将与，按上面作线性组合，就可产生收敛速度较快的Simpson序列

同理,在Simpson序列的基础上，将与按线性组合式就可产生收敛速度更快的Cotes序列这种加速过程还可继续下去，通过与的线性组合式：可以在Cotes序列基础上，产生一个称为Romberg序列的新序列35三峡大学理学院杜廷松

综上所述，可以在积分区间逐次分半的过程中利用上述三个线性组合公式，将粗糙的近似值逐步地“加工”成越来越精确的近似值也就是说，将收敛速度缓慢的梯形序列逐步地“加工”成收敛速度越来越快的新序列这种加速的方法就称为Romberg算法.36三峡大学理学院杜廷松

例4.21）利用Neweon－Cotes公式计算的近似值2）利用递推公式:重新计算的近似值，使误差不超过

3)利用三个线性组合公式“加工”2)中得到的的近似值37三峡大学理学院杜廷松§7.5高斯求积公式

一、Gauss积分问题的提出二、不带权的Gauss求积公式三、带权的Gauss求积公式38三峡大学理学院杜廷松一、Gauss积分问题的提出

定理7.5.1形如（5.1）

的插值型求积公式的代数精度最高不超过次.证由代数精度定义：只要找到一个次的多项式，使求积公式（5.1）不能精确成立即可.因是次多项式，则取时,为次多项式,且只在处为零，故39三峡大学理学院杜廷松

而，因此，当取时，求积公式（5.1）不精确成立.所以，求积公式（5.1）的代数精度不能超过.

定义5.1若一组节点使插值型求积公式（5.1）具有次代数精度，则称此组节点为Gauss点，并称相应的求积公式（5.1）为Gauss求积公式.40三峡大学理学院杜廷松二、不带权的Gauss求积公式1.Gauss求积公式存在的条件

定理7.5.2插值型求积公式（5.1）中，节点是Gauss点在区间上，以为零点的次多项式与所有次数不超过的多项式正交，即.

以上讨论知，Gauss求积公式具有特点：

(1)代数精度达到最高，（针对个节点而言）(2)节点是上的次正交多项式的个零点.41三峡大学理学院杜廷松2.Gauss－Legendre求积公式的构造

1）Legendre多项式：以高斯点为零点的次多项式(5.2)称为Legendre多项式.

2）Gauss－Legendre求积公式，以Legendre多项式的个实根为节点的插值求积公式为Gauss－Legendre求积公式.42三峡大学理学院杜廷松

先考虑上Gauss求积公式的构造.（1）一个节点一次Legendre多项式,其零点,以为节点构造形如

的Gauss求积公式,可求得,构造出的Gauss－Legendre求积公式为：

(5.3)即为中矩形公式.43三峡大学理学院杜廷松

（2）二个节点二次Legendre正交多项式，，其零为以为节点构造形如：

的求积公式，由于它的代数精度为3，所以它对精确成立，可得：

从而得到两点的Gauss—Legendre求积公式为：

(5.4)44三峡大学理学院杜廷松

对于一般区间上的积分，可先用变量替换：将转化为，即然后用相应的Gauss－Legendre求积公式计算.例5.1推导三点高斯公式并计算45三峡大学理学院杜廷松3.Gauss求积公式的余项

定理7.5.3若上连续，则Gauss求积公式的余项

(5.5)46三峡大学理学院杜廷松4.Gauss求积公式的稳定性和收敛性

定理7.5.4Gauss求积公式中的求积系数全是正的，且有(5.6)其中是次Lagrange插值基函数.

关于收敛性，有结论：若在上连续，那么，当时，Gauss求积公式收敛，且收敛到积分值47三峡大学理学院杜廷松

三、带权的Gauss求积公式

若被积函数有某种坏的性态，例如在某一点函数值为无穷大，对这些积分，常常考虑有如下形式的所谓带权的积分.

其中上的权函数.48三峡大学理学院杜廷松

可以仿照证普通积分的方法讨论带权的积分，例如,若求积公式对于所有次数不超过次的多项式均能精确成立，则称此求积公式为带权的Gauss求积公式,相应的求积节点仍称为Gauss点.且不带权的Gauss求积公式的一些结论在这里也基本适用，只需要在前面讨论的积分号下加一个权函数，并把“正交”改成“对权函数正交”即可.49三峡大学理学院杜廷松

例5.2求形如的两点Gauss型求积公式.

最后对Gauss求积公式的优缺点作如下小结：

优点：1）积分精度高，精度不够时可以复化；2）计算上数值稳定，当被积函数连续时，积分总是收敛的，且收敛速度快.

缺点：节点无规律,且当积分精度不满足要求而需增加节点时，所用数据都要重新计算.50三峡大学理学院杜廷松§7.6数值微分

一、Taylor展开法二、插值型求导公式51三峡大学理学院杜廷松

一、Taylor展开法

这里用Taylor展开原理构造一阶导数和二阶导数的显式和隐式的数值微分公式.

（6.1）

（6.2）52三峡大学理学院杜廷松由（6.1）式，取两项并整理，有由（6.2）式，取两项并整理，有同理，分别由（6.1）式减（6.2）式及（6.1）式加（6.2）式，经整理分别得

（6.3）

（6.4）53三峡大学理学院杜廷松

略去以上公式中右端的导数或称为截断误差项，就得到在点的一阶和二阶导数的数值计算公式：（6.5）

（6.6）

（6.7）

（6.8）分别称为它们为的一阶导数的向前差商公式、向后差商公式、中心差商公式和二阶导数的中心差商公